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7. 已知实数 $a$，$b$ 满足 $ab = 1$，则 $\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} =$。
答案
1
解析
因为 $ab = 1$，所以 $b = \frac{1}{a}$。
$\begin{aligned}\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} &= \frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{(\frac{1}{a})^2 + 1}\\&= \frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{\frac{1}{a^2} + 1}\\&= \frac{1}{a^2 + 1} + \frac{a^2}{1 + a^2}\\&= \frac{1 + a^2}{a^2 + 1}\\&= 1\end{aligned}$
$\begin{aligned}\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} &= \frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{(\frac{1}{a})^2 + 1}\\&= \frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{\frac{1}{a^2} + 1}\\&= \frac{1}{a^2 + 1} + \frac{a^2}{1 + a^2}\\&= \frac{1 + a^2}{a^2 + 1}\\&= 1\end{aligned}$
8. 先化简，再求值：$(\frac{1}{y} - \frac{1}{x}) ÷ (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})$，其中 $x = 2 - y$。
答案
化简过程：
$\begin{aligned}(\frac{1}{y} - \frac{1}{x}) ÷ (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})&=(\frac{x - y}{xy}) ÷ (\frac{x^2 - y^2}{xy})\\&=\frac{x - y}{xy} × \frac{xy}{(x - y)(x + y)}\\&=\frac{1}{x + y}\end{aligned}$
代入求值：
因为$x = 2 - y$，所以$x + y = 2$，则$\frac{1}{x + y} = \frac{1}{2}$。
最终结论：$\frac{1}{2}$
$\begin{aligned}(\frac{1}{y} - \frac{1}{x}) ÷ (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})&=(\frac{x - y}{xy}) ÷ (\frac{x^2 - y^2}{xy})\\&=\frac{x - y}{xy} × \frac{xy}{(x - y)(x + y)}\\&=\frac{1}{x + y}\end{aligned}$
代入求值：
因为$x = 2 - y$，所以$x + y = 2$，则$\frac{1}{x + y} = \frac{1}{2}$。
最终结论：$\frac{1}{2}$
9. 已知 $x - \frac{1}{x} = 3$，求下列各式的值：
(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$；
(2) $x + \frac{1}{x}$；
(3) $\frac{3x}{x^2 - x - 1}$；
(4) $\frac{x^2}{x^4 + 4x^2 + 1}$。
(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$；
(2) $x + \frac{1}{x}$；
(3) $\frac{3x}{x^2 - x - 1}$；
(4) $\frac{x^2}{x^4 + 4x^2 + 1}$。
答案
(1)
∵$x - \frac{1}{x} = 3$，$\therefore (x - \frac{1}{x})^2 = 9$，即$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 9$，$\therefore x^2 + \frac{1}{x^2} = 11$。
(2) $\because (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 11 + 2 = 13$，$\therefore x + \frac{1}{x} = \pm \sqrt{13}$。
(3) $\frac{3x}{x^2 - x - 1} = \frac{3}{x - 1 - \frac{1}{x}} = \frac{3}{(x - \frac{1}{x}) - 1} = \frac{3}{3 - 1} = \frac{3}{2}$。
(4) $\frac{x^2}{x^4 + 4x^2 + 1} = \frac{1}{x^2 + 4 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 4} = \frac{1}{11 + 4} = \frac{1}{15}$。
∵$x - \frac{1}{x} = 3$，$\therefore (x - \frac{1}{x})^2 = 9$，即$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 9$，$\therefore x^2 + \frac{1}{x^2} = 11$。
(2) $\because (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 11 + 2 = 13$，$\therefore x + \frac{1}{x} = \pm \sqrt{13}$。
(3) $\frac{3x}{x^2 - x - 1} = \frac{3}{x - 1 - \frac{1}{x}} = \frac{3}{(x - \frac{1}{x}) - 1} = \frac{3}{3 - 1} = \frac{3}{2}$。
(4) $\frac{x^2}{x^4 + 4x^2 + 1} = \frac{1}{x^2 + 4 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 4} = \frac{1}{11 + 4} = \frac{1}{15}$。
10. 若 $(1 + \frac{1}{x - 1}) ÷ \frac{2x}{x^2 - 2x + 1}$ 的计算结果为正整数，则对 $x$ 值的描述最准确的是()
A.$x$ 为自然数
B.$x$ 为大于 $1$ 的奇数
C.$x$ 为大于 $0$ 的偶数
D.$x$ 为正整数
A.$x$ 为自然数
B.$x$ 为大于 $1$ 的奇数
C.$x$ 为大于 $0$ 的偶数
D.$x$ 为正整数
答案
B
解析
首先对给定表达式进行化简：
$(1 + \frac{1}{x - 1}) ÷ \frac{2x}{x^2 - 2x + 1} = \frac{x - 1 + 1}{x - 1} ÷ \frac{2x}{(x - 1)^2} = \frac{x}{x - 1} × \frac{(x - 1)^2}{2x} = \frac{x(x - 1)^2}{2x(x - 1)} = \frac{x - 1}{2}$；
题目要求计算结果为正整数，即：
$\frac{x - 1}{2} \in \mathbb{N}^+$，
即$x - 1$ 是 $2$ 的正整数倍，设 $x - 1 = 2k$，其中 $k$ 为正整数，则 $x = 2k + 1$，
由于 $x - 1 ≠ 0$，即 $x ≠ 1$，且分母 $2x$ 和 $x - 1$ 不能为零，因此 $x$ 必须大于 $1$，
综合以上分析，$x$ 必须是大于 $1$ 的奇数。
$(1 + \frac{1}{x - 1}) ÷ \frac{2x}{x^2 - 2x + 1} = \frac{x - 1 + 1}{x - 1} ÷ \frac{2x}{(x - 1)^2} = \frac{x}{x - 1} × \frac{(x - 1)^2}{2x} = \frac{x(x - 1)^2}{2x(x - 1)} = \frac{x - 1}{2}$；
题目要求计算结果为正整数，即：
$\frac{x - 1}{2} \in \mathbb{N}^+$，
即$x - 1$ 是 $2$ 的正整数倍，设 $x - 1 = 2k$，其中 $k$ 为正整数，则 $x = 2k + 1$，
由于 $x - 1 ≠ 0$，即 $x ≠ 1$，且分母 $2x$ 和 $x - 1$ 不能为零，因此 $x$ 必须大于 $1$，
综合以上分析，$x$ 必须是大于 $1$ 的奇数。
11. 化简 $\frac{a^2 - 1}{a} ÷ (a - \frac{2a - 1}{a}) - 1$，当 $a$ 为整数时，该代数式的值也为整数，请求出所有 $a$ 的值。
答案
化简过程：
1. 处理括号内式子：$a - \frac{2a - 1}{a} = \frac{a^2 - (2a - 1)}{a} = \frac{a^2 - 2a + 1}{a} = \frac{(a - 1)^2}{a}$。
2. 原式变为：$\frac{a^2 - 1}{a} ÷ \frac{(a - 1)^2}{a} - 1$。
3. 除法转化为乘法：$\frac{(a - 1)(a + 1)}{a} · \frac{a}{(a - 1)^2} - 1 = \frac{a + 1}{a - 1} - 1$。
4. 通分计算：$\frac{a + 1 - (a - 1)}{a - 1} = \frac{2}{a - 1}$。
求a的值：
要使$\frac{2}{a - 1}$为整数，且$a$为整数，则$a - 1$是2的因数。2的因数为$\pm1, \pm2$，即：
$a - 1 = 1 ⇒ a = 2$；
$a - 1 = -1 ⇒ a = 0$（舍去，原分式分母$a=0$无意义）；
$a - 1 = 2 ⇒ a = 3$；
$a - 1 = -2 ⇒ a = -1$。
结论：
所有$a$的值为$-1, 2, 3$。
$-1, 2, 3$
1. 处理括号内式子：$a - \frac{2a - 1}{a} = \frac{a^2 - (2a - 1)}{a} = \frac{a^2 - 2a + 1}{a} = \frac{(a - 1)^2}{a}$。
2. 原式变为：$\frac{a^2 - 1}{a} ÷ \frac{(a - 1)^2}{a} - 1$。
3. 除法转化为乘法：$\frac{(a - 1)(a + 1)}{a} · \frac{a}{(a - 1)^2} - 1 = \frac{a + 1}{a - 1} - 1$。
4. 通分计算：$\frac{a + 1 - (a - 1)}{a - 1} = \frac{2}{a - 1}$。
求a的值：
要使$\frac{2}{a - 1}$为整数，且$a$为整数，则$a - 1$是2的因数。2的因数为$\pm1, \pm2$，即：
$a - 1 = 1 ⇒ a = 2$；
$a - 1 = -1 ⇒ a = 0$（舍去，原分式分母$a=0$无意义）；
$a - 1 = 2 ⇒ a = 3$；
$a - 1 = -2 ⇒ a = -1$。
结论：
所有$a$的值为$-1, 2, 3$。
$-1, 2, 3$
12. 若分式 $\frac{8 - 2x}{x^2 + 4}$ 的值为正数，则 $x$ 的取值范围为。
答案
$x＜ 4$
解析
分式$\frac{8 - 2x}{x^{2} + 4}$的值为正数，且$x^{2}≥0$，则$x^{2}+4＞0$。
要使分式值为正，只需分子$8 - 2x＞0$，
解不等式$8 - 2x＞0$，移项可得$-2x＞ - 8$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x＜ 4$。
要使分式值为正，只需分子$8 - 2x＞0$，
解不等式$8 - 2x＞0$，移项可得$-2x＞ - 8$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x＜ 4$。
13. 若分式 $(\frac{a^2 - 2a}{a^2 - 4a + 4} + 1) · \frac{a^2}{a - 1}$ 的值是负数，求 $a$ 的取值范围。
答案
1. 化简原式：
括号内：$\frac{a^2 - 2a}{a^2 - 4a + 4} + 1 = \frac{a(a - 2)}{(a - 2)^2} + 1 = \frac{a}{a - 2} + 1 = \frac{a + (a - 2)}{a - 2} = \frac{2(a - 1)}{a - 2}$（$a ≠ 2$）。
整体：$\frac{2(a - 1)}{a - 2} · \frac{a^2}{a - 1} = \frac{2a^2}{a - 2}$（$a ≠ 1$）。
2. 由题意$\frac{2a^2}{a - 2} ＜ 0$：
$2a^2 ＞ 0$（$a ≠ 0$），则需$a - 2 ＜ 0$，即$a ＜ 2$。
3. 分式有意义条件：$a ≠ 2$，$a ≠ 1$，且$a ≠ 0$（$a = 0$时原式值为0，非负数）。
综上，$a$的取值范围是$a ＜ 2$且$a ≠ 0$，$a ≠ 1$。
$a ＜ 2$且$a ≠ 0$，$a ≠ 1$
括号内：$\frac{a^2 - 2a}{a^2 - 4a + 4} + 1 = \frac{a(a - 2)}{(a - 2)^2} + 1 = \frac{a}{a - 2} + 1 = \frac{a + (a - 2)}{a - 2} = \frac{2(a - 1)}{a - 2}$（$a ≠ 2$）。
整体：$\frac{2(a - 1)}{a - 2} · \frac{a^2}{a - 1} = \frac{2a^2}{a - 2}$（$a ≠ 1$）。
2. 由题意$\frac{2a^2}{a - 2} ＜ 0$：
$2a^2 ＞ 0$（$a ≠ 0$），则需$a - 2 ＜ 0$，即$a ＜ 2$。
3. 分式有意义条件：$a ≠ 2$，$a ≠ 1$，且$a ≠ 0$（$a = 0$时原式值为0，非负数）。
综上，$a$的取值范围是$a ＜ 2$且$a ≠ 0$，$a ≠ 1$。
$a ＜ 2$且$a ≠ 0$，$a ≠ 1$
