一、选择题
1. 将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置(如图),使得点D落在对角线CF上,EF与AD相交于点H,则AH= ()



A.$\frac{1}{2}$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$2-\sqrt{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

1.C

【分析】本题需结合旋转的性质、正方形的性质求解：首先利用正方形对角线的特点求出旋转后对角线CF的长度，再根据等腰直角三角形的判定得到DH的长度，最后通过线段的和差关系计算AH。
【解析】解：
∵ 四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴ CD=AD=1，∠ADC=90°，正方形的对角线长为边长的√2倍。
将正方形ABCD绕点C旋转得到正方形FECG，
∴ CF是正方形FECG的对角线，故CF=√(1²+1²)=√2，且∠F=45°。
∵ 点D在对角线CF上，
∴ DF=CF - CD=√2 -1。
又
∵ ∠FDH=∠ADC=90°，
∴ △DFH为等腰直角三角形，因此DH=DF=√2 -1。
∴ AH=AD - DH=1 - (√2 -1)=2 -√2。
【答案】C
【知识点】旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质
【点评】本题综合考查旋转与正方形的性质，核心是利用旋转后图形的边长、角度不变的特点，结合等腰直角三角形的性质计算线段长度，难度适中，需掌握几何图形旋转的基本性质。
【难度系数】0.5

2.(2025·台州路桥)如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为$(-4,0)$,点 C 的坐标为$(0,2)$,以 OA,OC 为边作矩形 OABC。若将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转$90°$得到矩形$OA'B'C'$,则点$B'$的坐标为 （）

A.$(-4,-2)$
B.$(-4,2)$
C.$(2,4)$
D.$(4,2)$

2.C

【分析】
要解决本题，需先利用矩形性质确定原矩形中点B的坐标，再根据平面直角坐标系中绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规则，计算旋转后点B'的坐标，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 确定原矩形中点B的坐标：
已知四边形OABC是矩形，O为坐标原点(0,0)，A(-4,0)，C(0,2)。根据矩形对边平行且相等的性质，点B的横坐标与点A相同，纵坐标与点C相同，因此点B的坐标为(-4,2)。
2. 计算旋转后点B'的坐标：
平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点顺时针旋转90°后的坐标变换公式为$(y,-x)$。将点B(-4,2)代入公式，可得B'的坐标为$(2,4)$。
3. 匹配选项：与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
图形的旋转；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题结合矩形性质考查坐标旋转变换，核心是掌握绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规则，属于基础应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.5

3.(2025·临海、仙居)如图,把正方形ABCD的对角线AC绕着顶点A旋转到AE,以AE为一边作正方形AEFG,过点E,C作直线EC,过点G作$GH⊥EC$,垂足为H,连结FH,则$\frac{EC}{FH}$的值是 （）

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{3}{2}\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$

3.B 解析:如图,分别过点A,F作AM⊥EC,FN⊥EH,垂足分别记为M,N,并在EH上取EK=GH,连结FK,设EM=x,则由AE=AC,易得EM=MC=x,所以EC=2x,易证△AEM≌△EFN,所以FN=EM=x。又易证△EFK≌△GFH,所以FK=FH,∠EFK=∠GFH,所以∠KFH=90°,即△KFH为等腰直角三角形,所以FH=√2 FN=√2 x,故EC/FH=2x/(√2 x)=√2。故选B。

【分析】
要计算$\frac{EC}{FH}$的值，需利用正方形的边、角性质，通过作辅助线构造全等三角形，结合等腰直角三角形的边长关系推导。首先根据正方形ABCD的对角线AC与旋转后的AE相等，作辅助线得到EC中点；再利用正方形AEFG的性质证明两组全等三角形，将EC、FH转化为与同一线段相关的表达式，进而求出比值。
【解析】
分别过点A、F作$AM⊥EC$，$FN⊥EH$，垂足分别为M、N，在EH上取$EK=GH$，连接FK。
1. 因为四边形ABCD是正方形，AC为对角线，故$AC=AE$，又$AM⊥EC$，所以M是EC中点，即$EM=MC$。设$EM=x$，则$EC=2x$。
2. 因为四边形AEFG是正方形，所以$AE=EF$，$∠ AEF=90°$，故$∠ AEM + ∠ FEN=90°$。又$∠ AEM + ∠ EAM=90°$，所以$∠ EAM=∠ FEN$。结合$∠ AME=∠ ENF=90°$，可证$△ AEM ≌ △ EFN$（AAS），得$FN=EM=x$。
3. 因为$GH⊥EC$，所以$∠ GHF=90°$，故$∠ GFH + ∠ FGH=90°$。又$∠ FEG + ∠ FGH=90°$，所以$∠ FEG=∠ FGH$。结合$EF=FG$，$EK=GH$，可证$△ EFK ≌ △ GFH$（SAS），得$FK=FH$，$∠ EFK=∠ GFH$。
4. 由$∠ EFG=90°$，得$∠ KFH=∠ EFK + ∠ KFG=∠ GFH + ∠ KFG=∠ EFG=90°$，故$△ KFH$是等腰直角三角形，因此$FH=\sqrt{2}FN=\sqrt{2}x$。
5. 所以$\frac{EC}{FH}=\frac{2x}{\sqrt{2}x}=\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合题，通过作辅助线构造全等三角形是解题核心，需要学生灵活运用正方形、全等三角形及等腰直角三角形的性质进行线段转化，考查几何推理能力。
【难度系数】
0.5