登录
三、解答题(本大题有8个小题,共52分)
17.(本题6分)计算:
(1)$\sqrt{(-5)^2} - \sqrt{9}$;
(2)$\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{2}(\sqrt{8} - 1)$。
17.(本题6分)计算:
(1)$\sqrt{(-5)^2} - \sqrt{9}$;
(2)$\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{2}(\sqrt{8} - 1)$。
答案
17.解:(1)原式$=5-3=2$；
(2)原式$=\frac{\sqrt{2}}{2}+4-\sqrt{2}=4-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2)原式$=\frac{\sqrt{2}}{2}+4-\sqrt{2}=4-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
解析
【分析】
这道题是二次根式的计算，分为两小问。第(1)问需先根据二次根式的性质化简根号内的平方项，再计算减法；第(2)问要先利用乘法分配律展开式子，再化简各二次根式，最后合并同类二次根式。
【解析】
(1) 原式$=\sqrt{(-5)^2} - \sqrt{9}=5 - 3=2$；
(2) 原式$=\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{2}×\sqrt{8} - \sqrt{2}×1=\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{16} - \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} + 4 - \sqrt{2}=4 - \frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
17.解:(1)原式$=5-3=2$；(2)原式$=\frac{\sqrt{2}}{2}+4-\sqrt{2}=4-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【知识点】
二次根式的性质、二次根式的混合运算
【点评】
本题考查二次根式的基础运算，属于常规基础题，主要检验学生对二次根式化简、同类二次根式合并的掌握程度，运算时需注意化简的准确性。
【难度系数】
0.6
这道题是二次根式的计算，分为两小问。第(1)问需先根据二次根式的性质化简根号内的平方项，再计算减法；第(2)问要先利用乘法分配律展开式子，再化简各二次根式，最后合并同类二次根式。
【解析】
(1) 原式$=\sqrt{(-5)^2} - \sqrt{9}=5 - 3=2$；
(2) 原式$=\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{2}×\sqrt{8} - \sqrt{2}×1=\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{16} - \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} + 4 - \sqrt{2}=4 - \frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
17.解:(1)原式$=5-3=2$；(2)原式$=\frac{\sqrt{2}}{2}+4-\sqrt{2}=4-\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【知识点】
二次根式的性质、二次根式的混合运算
【点评】
本题考查二次根式的基础运算，属于常规基础题，主要检验学生对二次根式化简、同类二次根式合并的掌握程度，运算时需注意化简的准确性。
【难度系数】
0.6
18.(本题6分)解方程：
(1)$x^{2}+2x=0$；
(2)$x^{2}-4x-12=0$。
(1)$x^{2}+2x=0$；
(2)$x^{2}-4x-12=0$。
答案
18.解:(1)$x^2+2x=0$,$x(x+2)=0$,$x_1=0$,$x_2=-2$；
(2)$x^2-4x+4=16$,$(x-2)^2=16$,$x-2=\pm4$,$x_1=6$,$x_2=-2$。
(2)$x^2-4x+4=16$,$(x-2)^2=16$,$x-2=\pm4$,$x_1=6$,$x_2=-2$。
解析
【分析】
本题是解一元二次方程的题目，第(1)题适合用因式分解法，通过提取公因式将方程转化为两个一次式乘积为0的形式，再根据“乘积为0则至少一个因式为0”求解；第(2)题适合用配方法，通过移项、配方将方程转化为完全平方式，再开方求解。
【解析】
(1) 对$x^2 + 2x = 0$提取公因式，得：
$x(x + 2) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x = 0$ 或 $x + 2 = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = -2$。
(2) 对$x^2 - 4x - 12 = 0$移项，得：
$x^2 - 4x = 12$
配方，两边同时加4，得：
$x^2 - 4x + 4 = 12 + 4$
即$(x - 2)^2 = 16$
开方得：$x - 2 = ±4$
当$x - 2 = 4$时，$x = 6$；当$x - 2 = -4$时，$x = -2$。
解得：$x_1 = 6$，$x_2 = -2$。
【答案】
(1)$x_1 = 0$，$x_2 = -2$；(2)$x_1 = 6$，$x_2 = -2$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法解一元二次方程、配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，分别运用因式分解法和配方法，是一元二次方程求解的核心知识点，题目难度较低，适合巩固基础运算能力。
【难度系数】
0.8
本题是解一元二次方程的题目，第(1)题适合用因式分解法，通过提取公因式将方程转化为两个一次式乘积为0的形式，再根据“乘积为0则至少一个因式为0”求解；第(2)题适合用配方法，通过移项、配方将方程转化为完全平方式，再开方求解。
【解析】
(1) 对$x^2 + 2x = 0$提取公因式，得：
$x(x + 2) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x = 0$ 或 $x + 2 = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = -2$。
(2) 对$x^2 - 4x - 12 = 0$移项，得：
$x^2 - 4x = 12$
配方，两边同时加4，得：
$x^2 - 4x + 4 = 12 + 4$
即$(x - 2)^2 = 16$
开方得：$x - 2 = ±4$
当$x - 2 = 4$时，$x = 6$；当$x - 2 = -4$时，$x = -2$。
解得：$x_1 = 6$，$x_2 = -2$。
【答案】
(1)$x_1 = 0$，$x_2 = -2$；(2)$x_1 = 6$，$x_2 = -2$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法解一元二次方程、配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，分别运用因式分解法和配方法，是一元二次方程求解的核心知识点，题目难度较低，适合巩固基础运算能力。
【难度系数】
0.8
19.(本题6分)如图,在$△ ABC$中,DE是一条中位线,连结BE,过点D作BE的平行线交CB的延长线于点F。
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)若$BF=4$,求BC的长。
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)若$BF=4$,求BC的长。
答案
19.解:(1)证明:因为DE是$△ABC$的中位线,所以$DE// BC$。又因为$BE// DF$,所以四边形BEDF是平行四边形；
(2)因为四边形BEDF是平行四边形,$BF=4$,所以$DE// BF$,$DE=BF=4$。因为DE是$△ABC$的中位线,所以$BC=2DE=8$。
(2)因为四边形BEDF是平行四边形,$BF=4$,所以$DE// BF$,$DE=BF=4$。因为DE是$△ABC$的中位线,所以$BC=2DE=8$。
解析
【分析】
第(1)问要证明四边形BEDF是平行四边形，需依据平行四边形“两组对边分别平行”的判定定理。已知DE是△ABC的中位线，根据中位线性质可得DE平行于BC，而BC与BF共线，故DE平行于BF；题目又给出BE平行于DF，由此可证两组对边分别平行，完成证明。第(2)问，利用(1)中平行四边形对边相等的性质，得到DE=BF，再结合三角形中位线“中位线长度是第三边的一半”的定理，即可计算出BC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC（三角形中位线平行于第三边），
又
∵ BE//DF，且F在CB的延长线上，即DE//BF，
∴ 四边形BEDF的两组对边分别平行，
∴ 四边形BEDF是平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形BEDF是平行四边形，
∴ DE = BF（平行四边形对边相等），
已知BF=4，
∴ DE=4，
又
∵ DE是△ABC的中位线，
∴ BC = 2DE（三角形中位线等于第三边的一半），
∴ BC=2×4=8。
【答案】
(1) 四边形BEDF是平行四边形，证明见解析；(2) BC的长为8。
【知识点】
三角形中位线性质，平行四边形判定
【点评】
本题为基础几何题，核心考查三角形中位线定理和平行四边形的判定与性质，需熟练掌握相关定理，理清图形中线段的位置和数量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.3
第(1)问要证明四边形BEDF是平行四边形，需依据平行四边形“两组对边分别平行”的判定定理。已知DE是△ABC的中位线，根据中位线性质可得DE平行于BC，而BC与BF共线，故DE平行于BF；题目又给出BE平行于DF，由此可证两组对边分别平行，完成证明。第(2)问，利用(1)中平行四边形对边相等的性质，得到DE=BF，再结合三角形中位线“中位线长度是第三边的一半”的定理，即可计算出BC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC（三角形中位线平行于第三边），
又
∵ BE//DF，且F在CB的延长线上，即DE//BF，
∴ 四边形BEDF的两组对边分别平行，
∴ 四边形BEDF是平行四边形。
(2) 解：
∵ 四边形BEDF是平行四边形，
∴ DE = BF（平行四边形对边相等），
已知BF=4，
∴ DE=4，
又
∵ DE是△ABC的中位线，
∴ BC = 2DE（三角形中位线等于第三边的一半），
∴ BC=2×4=8。
【答案】
(1) 四边形BEDF是平行四边形，证明见解析；(2) BC的长为8。
【知识点】
三角形中位线性质，平行四边形判定
【点评】
本题为基础几何题，核心考查三角形中位线定理和平行四边形的判定与性质，需熟练掌握相关定理，理清图形中线段的位置和数量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.3
