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1. 某校举办了国学知识竞赛，满分100分，学生得分均为整数. 在初赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）：
甲组：30,60,60,60,60,60,70,90,90,100.
乙组：50,60,60,60,70,70,70,70,80,90.
(1)填空：$a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_.$
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是________组的学生.
(3)如果你是该校国学竞赛的辅导员，你会选择哪一组同学代表学校参加复赛？并说明理由.
甲组：30,60,60,60,60,60,70,90,90,100.
乙组：50,60,60,60,70,70,70,70,80,90.
(1)填空：$a=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_.$
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是________组的学生.
(3)如果你是该校国学竞赛的辅导员，你会选择哪一组同学代表学校参加复赛？并说明理由.
答案
1. (1)60 68
(2)甲
(3)选乙组参加复赛.理由如下：
$s_乙^2=\frac{1}{10}×[(50-68)^2+3×(60-68)^2+4×(70-68)^2+(80-68)^2+(90-68)^2]=116.$
$\because s_甲^2=376,\therefore s_甲^2＞s_乙^2,$
$\therefore$乙组的成绩比较稳定，而且乙组的中位数大于甲组的中位数.故选乙组参加复赛.
(2)甲
(3)选乙组参加复赛.理由如下：
$s_乙^2=\frac{1}{10}×[(50-68)^2+3×(60-68)^2+4×(70-68)^2+(80-68)^2+(90-68)^2]=116.$
$\because s_甲^2=376,\therefore s_甲^2＞s_乙^2,$
$\therefore$乙组的成绩比较稳定，而且乙组的中位数大于甲组的中位数.故选乙组参加复赛.
解析
【分析】
（1）求中位数需先将数据按从小到大排序，数据个数为偶数时，取中间两个数的平均数即为中位数；求平均数只需将组内所有数据求和，再除以数据总个数即可。（2）“中游略偏上”说明成绩高于本组的中位数，对比两组的中位数即可判断小明所在组别。（3）选择参赛组可从平均数、中位数、方差三个统计量的意义分析：平均数反映平均水平，中位数反映中等水平，方差反映成绩的稳定性，结合三个量的数值综合判断即可。
【解析】
(1) 甲组数据已按从小到大排序，共10个数据，为偶数个，中位数是第5个和第6个数据的平均数，第5、6个数据均为60，因此$a=\frac{60+60}{2}=60$。
乙组的平均数$b=\frac{50+60×3+70×4+80+90}{10}=\frac{680}{10}=68$。
(2) 小明成绩70分属于中游略偏上，说明70分高于该组中位数：甲组中位数为60，70＞60，符合要求；乙组中位数为70，70等于中位数，属于中游水平，不符合要求。因此小明可能是甲组的学生。
(3) 先计算乙组的方差：
$s_乙^2=\frac{1}{10}×[(50-68)^2+3×(60-68)^2+4×(70-68)^2+(80-68)^2+(90-68)^2]=116$
已知$s_甲^2=376$，可得$s_甲^2＞s_乙^2$，说明乙组成绩比甲组更稳定；且乙组的中位数70大于甲组的中位数60，说明乙组的中等成绩更好，两组平均成绩相同，因此选择乙组参加复赛。
【答案】
(1) 60，68
(2) 甲
(3) 选乙组参加复赛，理由：乙组方差更小，成绩更稳定，且乙组中位数大于甲组的中位数，中等成绩更优。
【知识点】
中位数，平均数，方差
【点评】
本题考查统计特征量的实际应用，解题的关键是理解平均数、中位数、方差各自代表的统计意义，结合实际需求选择合适的统计量分析数据、做出决策。
【难度系数】
0.7
（1）求中位数需先将数据按从小到大排序，数据个数为偶数时，取中间两个数的平均数即为中位数；求平均数只需将组内所有数据求和，再除以数据总个数即可。（2）“中游略偏上”说明成绩高于本组的中位数，对比两组的中位数即可判断小明所在组别。（3）选择参赛组可从平均数、中位数、方差三个统计量的意义分析：平均数反映平均水平，中位数反映中等水平，方差反映成绩的稳定性，结合三个量的数值综合判断即可。
【解析】
(1) 甲组数据已按从小到大排序，共10个数据，为偶数个，中位数是第5个和第6个数据的平均数，第5、6个数据均为60，因此$a=\frac{60+60}{2}=60$。
乙组的平均数$b=\frac{50+60×3+70×4+80+90}{10}=\frac{680}{10}=68$。
(2) 小明成绩70分属于中游略偏上，说明70分高于该组中位数：甲组中位数为60，70＞60，符合要求；乙组中位数为70，70等于中位数，属于中游水平，不符合要求。因此小明可能是甲组的学生。
(3) 先计算乙组的方差：
$s_乙^2=\frac{1}{10}×[(50-68)^2+3×(60-68)^2+4×(70-68)^2+(80-68)^2+(90-68)^2]=116$
已知$s_甲^2=376$，可得$s_甲^2＞s_乙^2$，说明乙组成绩比甲组更稳定；且乙组的中位数70大于甲组的中位数60，说明乙组的中等成绩更好，两组平均成绩相同，因此选择乙组参加复赛。
【答案】
(1) 60，68
(2) 甲
(3) 选乙组参加复赛，理由：乙组方差更小，成绩更稳定，且乙组中位数大于甲组的中位数，中等成绩更优。
【知识点】
中位数，平均数，方差
【点评】
本题考查统计特征量的实际应用，解题的关键是理解平均数、中位数、方差各自代表的统计意义，结合实际需求选择合适的统计量分析数据、做出决策。
【难度系数】
0.7
2. 三个生产日光灯管的厂家在广告中宣称，他们生产的日光灯管在正常情况下，灯管的使用寿命为12个月.工商部门为了检查他们宣传的真实性，从三个厂家各抽取11只日光灯管进行检测，灯管的使用寿命(单位:月)如下：
(1)这三个厂家的广告分别利用了统计中的哪一个特征数(平均数、中位数、众数)进行宣传？
(2)如果三种产品的售价一样，作为顾客的你会选购哪个厂家的产品？请说明理由.
(1)这三个厂家的广告分别利用了统计中的哪一个特征数(平均数、中位数、众数)进行宣传？
(2)如果三种产品的售价一样，作为顾客的你会选购哪个厂家的产品？请说明理由.
答案
2. (1)甲厂的广告利用了统计中的平均数，乙厂的广告利用了统计中的众数，丙厂的广告利用了统计中的中位数.
(2)选购甲厂的产品，因为平均数较真实地反映了灯管的使用寿命；或选购丙厂的产品，因为丙厂有一半以上的灯管使用寿命在12个月及以上.
(2)选购甲厂的产品，因为平均数较真实地反映了灯管的使用寿命；或选购丙厂的产品，因为丙厂有一半以上的灯管使用寿命在12个月及以上.
解析
【分析】
解决本题首先要明确平均数、中位数、众数三个统计特征数的定义：平均数是所有数据的总和除以数据个数，反映数据的平均水平；中位数是将数据从小到大排列后位于中间位置的数（数据个数为奇数时是最中间的那个），反映数据的中等水平；众数是数据中出现次数最多的数，反映数据的多数水平。
对于第(1)问，我们分别计算三个厂家数据的平均数、中位数、众数，看哪个特征数等于宣传的12个月，就能确定厂家用的是哪个特征数宣传。
对于第(2)问，作为顾客优先考虑灯管使用寿命的可靠性，结合三个特征数的实际意义分析，给出合理选择和对应理由即可。
【解析】
(1)分别计算三个厂家的统计特征数：
①甲厂：
数据从小到大排列为：7,8,9,9,9,11,13,14,16,17,19
平均数：$\frac{7+8+9+9+9+11+13+14+16+17+19}{11}=\frac{132}{11}=12$
中位数：第6个数据为11，众数：出现次数最多的是9
因此甲厂宣传的12是平均数，利用了平均数宣传。
②乙厂：
数据从小到大排列为：7,7,9,9,10,10,12,12,12,13,14
众数：出现次数最多的是12，共出现3次
平均数：$\frac{7+7+9+9+10+10+12+12+12+13+14}{11}\approx10.45$，中位数：第6个数据为10
因此乙厂宣传的12是众数，利用了众数宣传。
③丙厂：
数据从小到大排列为：7,7,8,8,8,12,13,14,15,16,17
中位数：第6个数据为12
平均数：$\frac{7+7+8+8+8+12+13+14+15+16+17}{11}\approx11.36$，众数：出现次数最多的是8
因此丙厂宣传的12是中位数，利用了中位数宣传。
(2)可选甲厂或丙厂，理由如下：
选甲厂：甲厂的灯管平均使用寿命为12个月，整体平均水平更高，高使用寿命的灯管占比更多，平均数更能真实反映灯管的整体使用寿命情况。
选丙厂：丙厂的灯管使用寿命中位数为12个月，说明有一半以上的灯管使用寿命不低于12个月，使用可靠性更高。
【答案】
(1)甲厂的广告利用了统计中的平均数，乙厂的广告利用了统计中的众数，丙厂的广告利用了统计中的中位数。
(2)选购甲厂的产品，因为平均数较真实地反映了灯管的使用寿命；或选购丙厂的产品，因为丙厂有一半以上的灯管使用寿命在12个月及以上。
【知识点】
平均数、中位数、众数
【点评】
本题紧密结合生活实际场景，考查对三个常见统计特征数概念的理解和实际应用，解题的核心是明确不同统计量的意义和适用场景，能帮助学生提升运用统计知识解决实际决策问题的能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确平均数、中位数、众数三个统计特征数的定义：平均数是所有数据的总和除以数据个数，反映数据的平均水平；中位数是将数据从小到大排列后位于中间位置的数（数据个数为奇数时是最中间的那个），反映数据的中等水平；众数是数据中出现次数最多的数，反映数据的多数水平。
对于第(1)问，我们分别计算三个厂家数据的平均数、中位数、众数，看哪个特征数等于宣传的12个月，就能确定厂家用的是哪个特征数宣传。
对于第(2)问，作为顾客优先考虑灯管使用寿命的可靠性，结合三个特征数的实际意义分析，给出合理选择和对应理由即可。
【解析】
(1)分别计算三个厂家的统计特征数：
①甲厂：
数据从小到大排列为：7,8,9,9,9,11,13,14,16,17,19
平均数：$\frac{7+8+9+9+9+11+13+14+16+17+19}{11}=\frac{132}{11}=12$
中位数：第6个数据为11，众数：出现次数最多的是9
因此甲厂宣传的12是平均数，利用了平均数宣传。
②乙厂：
数据从小到大排列为：7,7,9,9,10,10,12,12,12,13,14
众数：出现次数最多的是12，共出现3次
平均数：$\frac{7+7+9+9+10+10+12+12+12+13+14}{11}\approx10.45$，中位数：第6个数据为10
因此乙厂宣传的12是众数，利用了众数宣传。
③丙厂：
数据从小到大排列为：7,7,8,8,8,12,13,14,15,16,17
中位数：第6个数据为12
平均数：$\frac{7+7+8+8+8+12+13+14+15+16+17}{11}\approx11.36$，众数：出现次数最多的是8
因此丙厂宣传的12是中位数，利用了中位数宣传。
(2)可选甲厂或丙厂，理由如下：
选甲厂：甲厂的灯管平均使用寿命为12个月，整体平均水平更高，高使用寿命的灯管占比更多，平均数更能真实反映灯管的整体使用寿命情况。
选丙厂：丙厂的灯管使用寿命中位数为12个月，说明有一半以上的灯管使用寿命不低于12个月，使用可靠性更高。
【答案】
(1)甲厂的广告利用了统计中的平均数，乙厂的广告利用了统计中的众数，丙厂的广告利用了统计中的中位数。
(2)选购甲厂的产品，因为平均数较真实地反映了灯管的使用寿命；或选购丙厂的产品，因为丙厂有一半以上的灯管使用寿命在12个月及以上。
【知识点】
平均数、中位数、众数
【点评】
本题紧密结合生活实际场景，考查对三个常见统计特征数概念的理解和实际应用，解题的核心是明确不同统计量的意义和适用场景，能帮助学生提升运用统计知识解决实际决策问题的能力。
【难度系数】
0.7
