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二、填空题(每小题4分,共32分)
7. 已知一组数据的方差$s^{2}=\dfrac{1}{6}\left \lbrack(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+···+(x_{6}-\overline{x})^{2}\right \rbrack=20$,则这组数据的离差平方和$S^{2}$的值是
7. 已知一组数据的方差$s^{2}=\dfrac{1}{6}\left \lbrack(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+···+(x_{6}-\overline{x})^{2}\right \rbrack=20$,则这组数据的离差平方和$S^{2}$的值是
120
.答案
7. 120
∵ s²=1/6[(x₁−x̄)²+(x₂−x̄)²+…+(x₆−x̄)²]=20,
∴ 这组数据的离差平方和=6s²=6×20=120.
∵ s²=1/6[(x₁−x̄)²+(x₂−x̄)²+…+(x₆−x̄)²]=20,
∴ 这组数据的离差平方和=6s²=6×20=120.
解析
【分析】
首先先理清两个核心概念的关联：我们所学的方差，本质上就是离差平方和除以数据总个数得到的结果。这道题直接给出了方差的完整表达式，其中被系数1/6相乘的那部分总和，就是题目要求的离差平方和，已知方差s²的值为20，只需要用方差乘上对应分母6，就能直接算出离差平方和，不需要额外复杂运算。
【解析】
解：根据离差平方和的定义，这组数据的离差平方和就是所有数据与均值$\overline{x}$的差的平方之和，即：
$S^2=(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+···+(x_{6}-\overline{x})^{2}$
题目已知方差满足$s^2=\frac{1}{6}S^2=20$，对等式变形计算可得：
$S^2=6× s^2=6×20=120$
【答案】
120
【知识点】
方差定义，离差平方和
【点评】
本题是统计模块的基础概念题，核心考察学生对方差公式组成结构的理解，只要能分清方差和离差平方和的倍数关系，不需要复杂计算就能顺利得到结果，属于送分类基础题型。
【难度系数】
0.9
首先先理清两个核心概念的关联：我们所学的方差，本质上就是离差平方和除以数据总个数得到的结果。这道题直接给出了方差的完整表达式，其中被系数1/6相乘的那部分总和，就是题目要求的离差平方和，已知方差s²的值为20，只需要用方差乘上对应分母6，就能直接算出离差平方和，不需要额外复杂运算。
【解析】
解：根据离差平方和的定义，这组数据的离差平方和就是所有数据与均值$\overline{x}$的差的平方之和，即：
$S^2=(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+···+(x_{6}-\overline{x})^{2}$
题目已知方差满足$s^2=\frac{1}{6}S^2=20$，对等式变形计算可得：
$S^2=6× s^2=6×20=120$
【答案】
120
【知识点】
方差定义，离差平方和
【点评】
本题是统计模块的基础概念题，核心考察学生对方差公式组成结构的理解，只要能分清方差和离差平方和的倍数关系，不需要复杂计算就能顺利得到结果，属于送分类基础题型。
【难度系数】
0.9
8. 某校在“科技创新”比赛中,按照作品的创新性占60%,实用性占40%计算最终得分.若某件作品的创新性得分为95分,实用性得分为90分(百分制),则这件作品的最终得分为
93
分.答案
8. 93 这件作品的最终得分为95×60%+90×40%=93(分).
解析
【分析】
这道题考查加权平均数的实际应用，解题思路很清晰：首先明确题目给出的两个评分项的权重，也就是创新性占比60%、实用性占比40%，最终得分是两个分项得分分别乘以自身对应的权重之后求和，我们只需要把已知的创新性得分95分、实用性得分90分代入这个加权求和的公式，就能算出最终结果。
【解析】
根据评分规则，最终得分为两个分项得分分别乘以对应权重后相加，代入数值计算：
最终得分 = 95×60% + 90×40%
= 95×0.6 + 90×0.4
= 57 + 36
= 93（分）
【答案】
93
【知识点】
加权平均数，权重应用
【点评】
本题属于加权平均数的基础应用型题目，结合了生活中常见的赛事评分场景，只要正确理解权重的含义，按照给定的占比规则代入计算即可得到结果，计算量很小，几乎没有易错点，是非常典型的基础送分题。
【难度系数】
0.9
这道题考查加权平均数的实际应用，解题思路很清晰：首先明确题目给出的两个评分项的权重，也就是创新性占比60%、实用性占比40%，最终得分是两个分项得分分别乘以自身对应的权重之后求和，我们只需要把已知的创新性得分95分、实用性得分90分代入这个加权求和的公式，就能算出最终结果。
【解析】
根据评分规则，最终得分为两个分项得分分别乘以对应权重后相加，代入数值计算：
最终得分 = 95×60% + 90×40%
= 95×0.6 + 90×0.4
= 57 + 36
= 93（分）
【答案】
93
【知识点】
加权平均数，权重应用
【点评】
本题属于加权平均数的基础应用型题目，结合了生活中常见的赛事评分场景，只要正确理解权重的含义，按照给定的占比规则代入计算即可得到结果，计算量很小，几乎没有易错点，是非常典型的基础送分题。
【难度系数】
0.9
9. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名射箭选手8次测试成绩的平均数与方差. 若要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参加射箭比赛,应该选择
乙
.答案
9. 乙
∵ 乙、丙和丁的平均数相同,且都大于甲的平均数,
∴ 首先淘汰甲. 又
∵ 乙的方差最小,
∴ 乙发挥得更稳定.
∴ 选择乙参加射箭比赛.
∵ 乙、丙和丁的平均数相同,且都大于甲的平均数,
∴ 首先淘汰甲. 又
∵ 乙的方差最小,
∴ 乙发挥得更稳定.
∴ 选择乙参加射箭比赛.
解析
【分析】
要选出成绩好且发挥稳定的选手，我们可以分两步思考：第一步先判断“成绩好”：平均数代表选手的平均射击水平，平均数越大，整体成绩越好，先筛选出平均数最高的选手，淘汰平均成绩更低的人选；第二步判断“发挥稳定”：方差代表成绩的波动程度，方差越小，成绩波动越小，发挥就越稳定，在第一步筛选出的高平均成绩的选手中，挑选方差最小的即可。首先看表格里的平均数，甲的平均数9.0是最低的，乙、丙、丁的平均数都是9.5，比甲更高，所以先淘汰甲；再对比乙、丙、丁的方差，乙的方差3.1是三者里最小的，说明乙的发挥最稳定，符合要求。
【解析】
1. 比较四名选手的平均数：
甲的平均数为9.0环，乙、丙、丁的平均数均为9.5环，由9.5＞9.0可知，乙、丙、丁的整体成绩优于甲，首先淘汰甲。
2. 对比乙、丙、丁三名选手的方差：
方差越小，代表成绩波动越小，发挥越稳定，三者的方差分别为3.1、6.6、5.2，可得3.1＜5.2＜6.6，乙的方差最小，说明乙的发挥最稳定。
综上，乙同时满足成绩好、发挥稳定的要求，应该选择乙。
【答案】
乙
【知识点】
平均数的意义，方差的意义
【点评】
本题是统计量实际应用的基础题型，核心是明确平均数衡量数据的整体平均水平、方差衡量数据的波动稳定性的区别，解题时先从平均数筛选出高水平选手，再通过方差筛选稳定性最优的人选，属于中考常考的基础题型。
【难度系数】
0.9
要选出成绩好且发挥稳定的选手，我们可以分两步思考：第一步先判断“成绩好”：平均数代表选手的平均射击水平，平均数越大，整体成绩越好，先筛选出平均数最高的选手，淘汰平均成绩更低的人选；第二步判断“发挥稳定”：方差代表成绩的波动程度，方差越小，成绩波动越小，发挥就越稳定，在第一步筛选出的高平均成绩的选手中，挑选方差最小的即可。首先看表格里的平均数，甲的平均数9.0是最低的，乙、丙、丁的平均数都是9.5，比甲更高，所以先淘汰甲；再对比乙、丙、丁的方差，乙的方差3.1是三者里最小的，说明乙的发挥最稳定，符合要求。
【解析】
1. 比较四名选手的平均数：
甲的平均数为9.0环，乙、丙、丁的平均数均为9.5环，由9.5＞9.0可知，乙、丙、丁的整体成绩优于甲，首先淘汰甲。
2. 对比乙、丙、丁三名选手的方差：
方差越小，代表成绩波动越小，发挥越稳定，三者的方差分别为3.1、6.6、5.2，可得3.1＜5.2＜6.6，乙的方差最小，说明乙的发挥最稳定。
综上，乙同时满足成绩好、发挥稳定的要求，应该选择乙。
【答案】
乙
【知识点】
平均数的意义，方差的意义
【点评】
本题是统计量实际应用的基础题型，核心是明确平均数衡量数据的整体平均水平、方差衡量数据的波动稳定性的区别，解题时先从平均数筛选出高水平选手，再通过方差筛选稳定性最优的人选，属于中考常考的基础题型。
【难度系数】
0.9
10. 数学活动小组在班上做节水意识调查，收集了班上7名同学家里上个月的用水量(单位：吨)如下：5，6，5，9，10，7，8。分析时发现，去掉其中一个数据后，这组数据的中位数和众数都保持不变，则去掉的这个数据是
7
。答案
10. 7 将数据5,6,5,9,10,7,8按从小到大排列为5,5,6,7,8,9,10,
∴ 众数为5,中位数为7.
∵ 去掉其中一个数据后,这组数据的中位数和众数都保持不变,显然5不能去掉,
∴ 依次尝试去掉6,7,8,9,10,发现只有去掉7后,中位数仍然为7.
∴ 去掉的数据是7.
∴ 众数为5,中位数为7.
∵ 去掉其中一个数据后,这组数据的中位数和众数都保持不变,显然5不能去掉,
∴ 依次尝试去掉6,7,8,9,10,发现只有去掉7后,中位数仍然为7.
∴ 去掉的数据是7.
解析
【分析】
解题思路分三步推进：第一步，先把原始的7个数据从小到大排序，先算出原数据的众数和中位数；第二步，根据“众数保持不变”的要求，先排除不能去掉的数：原数据里5出现了2次，其余数都只出现1次，如果去掉任意一个5，5的出现次数就变成1次，所有数出现次数都为1，众数就会改变，因此两个5都不能去掉；第三步，对剩下的候选数逐一验证：去掉一个数后剩余6个数据，中位数是排序后第3、第4个数据的平均数，要求中位数仍等于原中位数7，逐个尝试就能找到符合条件的数。
【解析】
解：① 先将给定的7个数据从小到大重新排列：5，5，6，7，8，9，10
② 计算原数据的众数和中位数：
众数是一组数据中出现次数最多的数，这里5出现了2次，其余数都仅出现1次，因此原众数为5；
共7个数据，中位数是排序后第4个位置的数，因此原中位数为7。
③ 分析众数不变的条件：
要让众数仍为5，必须保证5的出现次数仍然是所有数里最多的，因此不能去掉任意一个5，否则5仅出现1次，所有数出现次数相同，众数改变。
④ 对剩余候选数逐一验证：
去掉一个数后剩余6个数据，中位数为排序后第3位和第4位数据的平均数，要求中位数仍为7：
若去掉6：剩余数据排序为5,5,7,8,9,10，中位数=(7+8)/2=7.5≠7，不符合要求；
若去掉7：剩余数据排序为5,5,6,8,9,10，中位数=(6+8)/2=7，众数仍为5，完全符合要求；
若去掉8：剩余数据排序为5,5,6,7,9,10，中位数=(6+7)/2=6.5≠7，不符合要求；
若去掉9：剩余数据排序为5,5,6,7,8,10，中位数=(6+7)/2=6.5≠7，不符合要求；
若去掉10：剩余数据排序为5,5,6,7,8,9，中位数=(6+7)/2=6.5≠7，不符合要求；
综上，唯一符合条件的去掉的数据是7。
【答案】7
【知识点】众数定义，中位数定义
【点评】本题属于统计模块的基础应用题，核心考察众数、中位数的概念落地，易错点是容易忽略去掉1个数据后总数据个数从奇数7变为偶数6，中位数的计算规则从取中间单个值变为取中间两个数的平均值，需要同时满足众数、中位数都不变的双重约束，逐一验证即可得到正确结果。
【难度系数】0.6
解题思路分三步推进：第一步，先把原始的7个数据从小到大排序，先算出原数据的众数和中位数；第二步，根据“众数保持不变”的要求，先排除不能去掉的数：原数据里5出现了2次，其余数都只出现1次，如果去掉任意一个5，5的出现次数就变成1次，所有数出现次数都为1，众数就会改变，因此两个5都不能去掉；第三步，对剩下的候选数逐一验证：去掉一个数后剩余6个数据，中位数是排序后第3、第4个数据的平均数，要求中位数仍等于原中位数7，逐个尝试就能找到符合条件的数。
【解析】
解：① 先将给定的7个数据从小到大重新排列：5，5，6，7，8，9，10
② 计算原数据的众数和中位数：
众数是一组数据中出现次数最多的数，这里5出现了2次，其余数都仅出现1次，因此原众数为5；
共7个数据，中位数是排序后第4个位置的数，因此原中位数为7。
③ 分析众数不变的条件：
要让众数仍为5，必须保证5的出现次数仍然是所有数里最多的，因此不能去掉任意一个5，否则5仅出现1次，所有数出现次数相同，众数改变。
④ 对剩余候选数逐一验证：
去掉一个数后剩余6个数据，中位数为排序后第3位和第4位数据的平均数，要求中位数仍为7：
若去掉6：剩余数据排序为5,5,7,8,9,10，中位数=(7+8)/2=7.5≠7，不符合要求；
若去掉7：剩余数据排序为5,5,6,8,9,10，中位数=(6+8)/2=7，众数仍为5，完全符合要求；
若去掉8：剩余数据排序为5,5,6,7,9,10，中位数=(6+7)/2=6.5≠7，不符合要求；
若去掉9：剩余数据排序为5,5,6,7,8,10，中位数=(6+7)/2=6.5≠7，不符合要求；
若去掉10：剩余数据排序为5,5,6,7,8,9，中位数=(6+7)/2=6.5≠7，不符合要求；
综上，唯一符合条件的去掉的数据是7。
【答案】7
【知识点】众数定义，中位数定义
【点评】本题属于统计模块的基础应用题，核心考察众数、中位数的概念落地，易错点是容易忽略去掉1个数据后总数据个数从奇数7变为偶数6，中位数的计算规则从取中间单个值变为取中间两个数的平均值，需要同时满足众数、中位数都不变的双重约束，逐一验证即可得到正确结果。
【难度系数】0.6
11. 已知一组正整数 a , 1 , b , b , 3 有唯一众数 8 , 中位数是 5 , 则这组数据的平均数为
5
.答案
11. 5
∵ 这组数据有唯一众数8,
∴ b=8.
∵ 中位数是5,
∴ a=5.
∴ 这组数据的平均数为1/5×(1+3+5+8+8)=5.
∵ 这组数据有唯一众数8,
∴ b=8.
∵ 中位数是5,
∴ a=5.
∴ 这组数据的平均数为1/5×(1+3+5+8+8)=5.
解析
【分析】
我们可以分三步梳理解题思路：第一步先利用唯一众数的条件推导b的值，众数是一组数据中出现次数最多的数，这组数据里目前只有b出现了2次，其余已知数1、3都仅出现1次，要让唯一众数是8，说明8的出现次数最多且没有其他数和它出现次数相同，因此b只能等于8，满足唯一众数为8的要求。第二步利用中位数的定义推导a的值，这组数据总共有5个正整数，5个数据的中位数是从小到大排序后的第3个数据，题目给出中位数是5，此时已知的数是1、3、8、8，要让排序后第3位的数为5，剩下的未知正整数a只能是5，排序后数据为1,3,5,8,8，符合中位数为5的条件。第三步将所有数据求和除以数据总个数，就能算出最终的平均数。
【解析】
解：① 由唯一众数为8可得：
众数是出现次数最多的数，该组数据中仅b出现2次，其余数初始仅出现1次，因此b=8，此时8共出现2次，其余数均只出现1次，满足唯一众数是8的条件。
② 由中位数是5可得：
该组数据共5个正整数，中位数为从小到大排序后的第3个数据，已知已有数值1、3、8、8，要让排序后第3位的数为5，可得a=5，排序后数据为1,3,5,8,8，验证中位数为5，符合要求。
③ 计算平均数：
平均数 = $\frac{1+3+5+8+8}{5}$ = $\frac{25}{5}$ = 5
【答案】
5
【知识点】
众数，中位数，平均数
【点评】
本题是统计模块的基础综合题，核心考察三个基础统计量的概念，解题的关键是先后通过唯一众数、中位数的条件依次确定两个未知参数a和b的取值，只要准确掌握三个统计量的定义就能顺利推导，不容易出现概念性错误。
【难度系数】
0.7
我们可以分三步梳理解题思路：第一步先利用唯一众数的条件推导b的值，众数是一组数据中出现次数最多的数，这组数据里目前只有b出现了2次，其余已知数1、3都仅出现1次，要让唯一众数是8，说明8的出现次数最多且没有其他数和它出现次数相同，因此b只能等于8，满足唯一众数为8的要求。第二步利用中位数的定义推导a的值，这组数据总共有5个正整数，5个数据的中位数是从小到大排序后的第3个数据，题目给出中位数是5，此时已知的数是1、3、8、8，要让排序后第3位的数为5，剩下的未知正整数a只能是5，排序后数据为1,3,5,8,8，符合中位数为5的条件。第三步将所有数据求和除以数据总个数，就能算出最终的平均数。
【解析】
解：① 由唯一众数为8可得：
众数是出现次数最多的数，该组数据中仅b出现2次，其余数初始仅出现1次，因此b=8，此时8共出现2次，其余数均只出现1次，满足唯一众数是8的条件。
② 由中位数是5可得：
该组数据共5个正整数，中位数为从小到大排序后的第3个数据，已知已有数值1、3、8、8，要让排序后第3位的数为5，可得a=5，排序后数据为1,3,5,8,8，验证中位数为5，符合要求。
③ 计算平均数：
平均数 = $\frac{1+3+5+8+8}{5}$ = $\frac{25}{5}$ = 5
【答案】
5
【知识点】
众数，中位数，平均数
【点评】
本题是统计模块的基础综合题，核心考察三个基础统计量的概念，解题的关键是先后通过唯一众数、中位数的条件依次确定两个未知参数a和b的取值，只要准确掌握三个统计量的定义就能顺利推导，不容易出现概念性错误。
【难度系数】
0.7
12. 2025 年在澳大利亚举行的第 66 届国际数学奥林匹克竞赛(IMO)中,中国代表队发挥出色,获得团体总分第一名,也是本届比赛唯一一支所有队员都获得金牌的队伍。中国队参赛队员比赛成绩的方差可用公式 $s^{2}=\dfrac{1}{6}×\big[2×(42-\overline{x})^{2}+(40-\overline{x})^{2}+2×(36-\overline{x})^{2}+(35-\overline{x})^{2}\big]$来计算，由该公式可知中国队的团体总分为
231
分.答案
12. 231
∵ 中国队参赛队员比赛成绩的方差可用公式s²=1/6×[2×(42−x̄)²+(40−x̄)²+2×(36−x̄)²+(35−x̄)²]来计算,
∴ 中国队的团体总分为2×42+40+2×36+35=231(分).
∵ 中国队参赛队员比赛成绩的方差可用公式s²=1/6×[2×(42−x̄)²+(40−x̄)²+2×(36−x̄)²+(35−x̄)²]来计算,
∴ 中国队的团体总分为2×42+40+2×36+35=231(分).
解析
【分析】
我们首先回忆方差的标准定义公式，方差是所有数据与平均数差的平方的平均值，公式中每一项的系数就代表对应成绩出现的频数。观察题目给出的方差公式，分母为6说明共有6名参赛队员，括号内的项分别对应：2名队员成绩为42，1名队员成绩为40，2名队员成绩为36，1名队员成绩为35。我们不需要额外计算平均数，直接将所有队员的成绩相加，就能得到团体总分。
【解析】
根据方差的定义公式：$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$，其中n为样本总数量，每一项$(a-\overline{x})^2$前的系数就是数值a出现的次数。
从题中给出的方差公式可得：
参赛队员总人数为6，其中成绩为42分的有2人，成绩为40分的有1人，成绩为36分的有2人，成绩为35分的有1人。
计算团体总分：
$2×42 + 40 + 2×36 + 35 = 84 + 40 + 72 + 35 = 231$（分）
【答案】
231
【知识点】
方差计算公式，样本数据求和
【点评】
本题灵活考察对方差公式结构的理解，没有直接考察方差的复杂计算，而是引导学生从公式中提取数据的分布信息，避免了机械套用公式的误区，只要理解方差定义的含义就能快速求解，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
我们首先回忆方差的标准定义公式，方差是所有数据与平均数差的平方的平均值，公式中每一项的系数就代表对应成绩出现的频数。观察题目给出的方差公式，分母为6说明共有6名参赛队员，括号内的项分别对应：2名队员成绩为42，1名队员成绩为40，2名队员成绩为36，1名队员成绩为35。我们不需要额外计算平均数，直接将所有队员的成绩相加，就能得到团体总分。
【解析】
根据方差的定义公式：$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$，其中n为样本总数量，每一项$(a-\overline{x})^2$前的系数就是数值a出现的次数。
从题中给出的方差公式可得：
参赛队员总人数为6，其中成绩为42分的有2人，成绩为40分的有1人，成绩为36分的有2人，成绩为35分的有1人。
计算团体总分：
$2×42 + 40 + 2×36 + 35 = 84 + 40 + 72 + 35 = 231$（分）
【答案】
231
【知识点】
方差计算公式，样本数据求和
【点评】
本题灵活考察对方差公式结构的理解，没有直接考察方差的复杂计算，而是引导学生从公式中提取数据的分布信息，避免了机械套用公式的误区，只要理解方差定义的含义就能快速求解，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
13. 小明在计算一组数据的方差时,列出的算式如下:$s^{2}=\dfrac{1}{6}×[2×(7-\overline{x})^{2}+3×(8-\overline{x})^{2}+(9-\overline{x})^{2}]$.根据算式信息,这组数据的众数是
8
.答案
13. 8 由题意知,这组数据为7,7,8,8,8,9.
∵ 8出现的次数最多,
∴ 这组数据的众数为8.
∵ 8出现的次数最多,
∴ 这组数据的众数为8.
解析
【分析】
我们首先要从给出的方差算式里提取原始数据的相关信息，先回忆方差的标准计算公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，公式里的n是数据总个数，当有多个相同数值时，相同的项可以合并为$k×(a-\overline{x})^2$的形式，其中k就是数值a出现的次数。首先从算式的分母1/6得到数据总共有6个，再分别看每一项的系数，就能得到7、8、9各自的出现次数，最后根据众数“出现次数最多的数”的定义，就能直接找出众数。
【解析】
1. 对比方差的定义式，从算式$s^{2}=\dfrac{1}{6}×[2×(7-\overline{x})^{2}+3×(8-\overline{x})^{2}+(9-\overline{x})^{2}]$可知，这组数据的总个数为6。
2. 分析各项系数的含义：
系数2代表数值7一共出现了2次；
系数3代表数值8一共出现了3次；
最后一项的隐含系数为1，代表数值9一共出现了1次。
3. 验证总数据量：2+3+1=6，和总个数一致，因此这组数据为7、7、8、8、8、9。
4. 统计出现频次：8出现的次数最多，因此这组数据的众数是8。
【答案】
8
【知识点】
方差公式，众数定义
【点评】
本题没有直接给出原始数据，而是通过方差的合并表达式间接给出各数据的出现频次，重点考查对方差公式结构含义的理解，避免死记硬背公式，同时结合众数的基础定义即可解题，属于概念类的基础综合题。
【难度系数】
0.7
我们首先要从给出的方差算式里提取原始数据的相关信息，先回忆方差的标准计算公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，公式里的n是数据总个数，当有多个相同数值时，相同的项可以合并为$k×(a-\overline{x})^2$的形式，其中k就是数值a出现的次数。首先从算式的分母1/6得到数据总共有6个，再分别看每一项的系数，就能得到7、8、9各自的出现次数，最后根据众数“出现次数最多的数”的定义，就能直接找出众数。
【解析】
1. 对比方差的定义式，从算式$s^{2}=\dfrac{1}{6}×[2×(7-\overline{x})^{2}+3×(8-\overline{x})^{2}+(9-\overline{x})^{2}]$可知，这组数据的总个数为6。
2. 分析各项系数的含义：
系数2代表数值7一共出现了2次；
系数3代表数值8一共出现了3次；
最后一项的隐含系数为1，代表数值9一共出现了1次。
3. 验证总数据量：2+3+1=6，和总个数一致，因此这组数据为7、7、8、8、8、9。
4. 统计出现频次：8出现的次数最多，因此这组数据的众数是8。
【答案】
8
【知识点】
方差公式，众数定义
【点评】
本题没有直接给出原始数据，而是通过方差的合并表达式间接给出各数据的出现频次，重点考查对方差公式结构含义的理解，避免死记硬背公式，同时结合众数的基础定义即可解题，属于概念类的基础综合题。
【难度系数】
0.7
14. 某工程队有14名员工，他们的工种及每人每月的工资如下表：
现该工程队进行人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名.与调整前相比，该工程队的员工月工资的方差
现该工程队进行人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名.与调整前相比，该工程队的员工月工资的方差
变大
（填“变大”“变小”或“不变”）.答案
14. 变大
∵ 减少木工2名,增加电工、瓦工各1名,6000×2=7000+5000,
∴ 这组数据的平均数不变.
∵ 易得这组数据的平均数为6 000,
∴ 每个数据减去平均数后的平方和变大.
∴ 该工程队员工月工资的方差变大.
∵ 减少木工2名,增加电工、瓦工各1名,6000×2=7000+5000,
∴ 这组数据的平均数不变.
∵ 易得这组数据的平均数为6 000,
∴ 每个数据减去平均数后的平方和变大.
∴ 该工程队员工月工资的方差变大.
解析
【分析】
拿到这道题，我们的思考路径是：首先先判断人员调整前后整组数据的平均数是否发生变化，因为方差的计算依赖平均数。先分别算出调整前后的总工资和总人数，很容易发现总工资不变、总人数始终是14，因此平均数没有变化。接下来我们对比调整前后数据和平均数的偏离程度：原本被调整走的2名木工的工资恰好等于平均数，它们和平均数的偏差平方和为0，而新增的1名电工工资高于平均数、1名瓦工工资低于平均数，二者和平均数的偏差平方和远大于0，其余数据的偏差完全没有变化，因此整体的偏差平方和会变大，总人数不变的情况下方差自然变大。
【解析】
1. 计算调整前的平均数：
调整前总工资 = 5×7000 + 4×6000 + 5×5000 = 35000 + 24000 + 25000 = 84000元，总人数为14，因此调整前月平均工资为 84000÷14 = 6000元。
2. 计算调整后的平均数：
调整后电工人数为6，木工人数为2，瓦工人数为6，总工资 = 6×7000 + 2×6000 + 6×5000 = 42000 + 12000 + 30000 = 84000元，总人数仍为14，因此调整后月平均工资同样为 84000÷14 = 6000元，即平均数保持不变。
3. 判断方差变化：
方差的计算公式为$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$，原本2名木工的工资都是6000，和平均数的差值为0，对应偏差平方和为0；替换成1名电工（工资7000，偏差为1000，偏差平方为$1000^2=10^6$）和1名瓦工（工资5000，偏差为-1000，偏差平方为$(-1000)^2=10^6$）后，这部分的偏差平方和变为$2×10^6$，远大于原来的0，其余数据的偏差完全没有变化，因此整组数据的偏差平方和变大，n=14不变，最终方差变大。
【答案】
变大
【知识点】
平均数计算，方差的意义，方差计算
【点评】
本题不需要完整计算出调整前后的全部方差，核心考察对方差本质含义的理解：方差是衡量数据偏离平均数程度的统计量，先确认平均数不变，再对比调整部分数据的偏离程度即可快速得到结论，避免了复杂的数值运算。
【难度系数】
0.6
拿到这道题，我们的思考路径是：首先先判断人员调整前后整组数据的平均数是否发生变化，因为方差的计算依赖平均数。先分别算出调整前后的总工资和总人数，很容易发现总工资不变、总人数始终是14，因此平均数没有变化。接下来我们对比调整前后数据和平均数的偏离程度：原本被调整走的2名木工的工资恰好等于平均数，它们和平均数的偏差平方和为0，而新增的1名电工工资高于平均数、1名瓦工工资低于平均数，二者和平均数的偏差平方和远大于0，其余数据的偏差完全没有变化，因此整体的偏差平方和会变大，总人数不变的情况下方差自然变大。
【解析】
1. 计算调整前的平均数：
调整前总工资 = 5×7000 + 4×6000 + 5×5000 = 35000 + 24000 + 25000 = 84000元，总人数为14，因此调整前月平均工资为 84000÷14 = 6000元。
2. 计算调整后的平均数：
调整后电工人数为6，木工人数为2，瓦工人数为6，总工资 = 6×7000 + 2×6000 + 6×5000 = 42000 + 12000 + 30000 = 84000元，总人数仍为14，因此调整后月平均工资同样为 84000÷14 = 6000元，即平均数保持不变。
3. 判断方差变化：
方差的计算公式为$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$，原本2名木工的工资都是6000，和平均数的差值为0，对应偏差平方和为0；替换成1名电工（工资7000，偏差为1000，偏差平方为$1000^2=10^6$）和1名瓦工（工资5000，偏差为-1000，偏差平方为$(-1000)^2=10^6$）后，这部分的偏差平方和变为$2×10^6$，远大于原来的0，其余数据的偏差完全没有变化，因此整组数据的偏差平方和变大，n=14不变，最终方差变大。
【答案】
变大
【知识点】
平均数计算，方差的意义，方差计算
【点评】
本题不需要完整计算出调整前后的全部方差，核心考察对方差本质含义的理解：方差是衡量数据偏离平均数程度的统计量，先确认平均数不变，再对比调整部分数据的偏离程度即可快速得到结论，避免了复杂的数值运算。
【难度系数】
0.6
三、解答题（共44分）
15. （12分）某食品商店将甲、乙、丙三种糖果的质量按$5:4:1$的比配置成一种什锦糖果，已知甲、乙、丙三种糖果的价格分别为16元/千克、20元/千克、27元/千克.若将这种什锦糖果的价格定为这三种糖果价格的算术平均数，你认为合理吗？如果合理，请说明理由；如果不合理，请求出该什锦糖果合理的价格.
15. （12分）某食品商店将甲、乙、丙三种糖果的质量按$5:4:1$的比配置成一种什锦糖果，已知甲、乙、丙三种糖果的价格分别为16元/千克、20元/千克、27元/千克.若将这种什锦糖果的价格定为这三种糖果价格的算术平均数，你认为合理吗？如果合理，请说明理由；如果不合理，请求出该什锦糖果合理的价格.
答案
15. 不合理.
∵ 加权平均数=16×5/(5+4+1)+20×4/(5+4+1)+27×1/(5+4+1)=18.7(元/千克),
∴ 该什锦糖果合理的价格为18.7元/千克.
∵ 加权平均数=16×5/(5+4+1)+20×4/(5+4+1)+27×1/(5+4+1)=18.7(元/千克),
∴ 该什锦糖果合理的价格为18.7元/千克.
解析
【分析】
解题思路：首先要区分算术平均数和加权平均数的适用场景，题目中三种糖果是按5:4:1的固定质量比配置的，不同糖果在什锦糖中的占比（权重）完全不同，算术平均数默认三种糖果权重相等，不符合实际配置规则，因此可以直接判断该定价方式不合理。接下来计算合理价格：什锦糖的合理定价本质是单位质量的平均成本，需要用各糖果的单价乘以对应质量占总质量的权重，求和得到加权平均数即可。先算出总质量对应的总份数为5+4+1=10，得到三种糖果各自的权重，代入加权平均数公式计算就能得到结果。
【解析】
解：该定价方式不合理，理由如下：
若按算术平均数定价，计算得到的价格为$\frac{16+20+27}{3}=21$元/千克，该计算默认三种糖果的占比完全相等，和题目中5:4:1的实际配置比例不符，因此定价不合理。
计算什锦糖的合理价格，即按质量占比计算的加权平均数：
总质量份数为$5+4+1=10$，
甲、乙、丙三种糖果的权重分别为$\frac{5}{10}$、$\frac{4}{10}$、$\frac{1}{10}$，
代入加权平均数公式得：
什锦糖合理价格$=16×\frac{5}{10}+20×\frac{4}{10}+27×\frac{1}{10}=8+8+2.7=18.7$（元/千克）
【答案】
不合理，该什锦糖果合理的价格为18.7元/千克。
【知识点】
加权平均数，算术平均数
【点评】
本题是统计知识在生活中的典型应用题，核心考察算术平均数和加权平均数的概念差异，易错点是忽略不同糖果的质量权重差异，直接用算术平均计算定价。通过本题可以加深对“权重反映数据实际重要程度”的理解，学会用统计知识解决实际定价类问题。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先要区分算术平均数和加权平均数的适用场景，题目中三种糖果是按5:4:1的固定质量比配置的，不同糖果在什锦糖中的占比（权重）完全不同，算术平均数默认三种糖果权重相等，不符合实际配置规则，因此可以直接判断该定价方式不合理。接下来计算合理价格：什锦糖的合理定价本质是单位质量的平均成本，需要用各糖果的单价乘以对应质量占总质量的权重，求和得到加权平均数即可。先算出总质量对应的总份数为5+4+1=10，得到三种糖果各自的权重，代入加权平均数公式计算就能得到结果。
【解析】
解：该定价方式不合理，理由如下：
若按算术平均数定价，计算得到的价格为$\frac{16+20+27}{3}=21$元/千克，该计算默认三种糖果的占比完全相等，和题目中5:4:1的实际配置比例不符，因此定价不合理。
计算什锦糖的合理价格，即按质量占比计算的加权平均数：
总质量份数为$5+4+1=10$，
甲、乙、丙三种糖果的权重分别为$\frac{5}{10}$、$\frac{4}{10}$、$\frac{1}{10}$，
代入加权平均数公式得：
什锦糖合理价格$=16×\frac{5}{10}+20×\frac{4}{10}+27×\frac{1}{10}=8+8+2.7=18.7$（元/千克）
【答案】
不合理，该什锦糖果合理的价格为18.7元/千克。
【知识点】
加权平均数，算术平均数
【点评】
本题是统计知识在生活中的典型应用题，核心考察算术平均数和加权平均数的概念差异，易错点是忽略不同糖果的质量权重差异，直接用算术平均计算定价。通过本题可以加深对“权重反映数据实际重要程度”的理解，学会用统计知识解决实际定价类问题。
【难度系数】
0.7
