20. (9分)某超市销售一种商品,每件成本为50元,销售人员经调查发现,销售单价为100元时,每月的销售量为50件,而销售单价每降低1元,则每月可多售出5件,且要求销售单价不得低于成本.
(1)求该商品每月的销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元)之间的函数关系式.(不需要求自变量取值范围)
(2)若使该商品每月的销售利润为4 000元,并使顾客获得更多的实惠,销售单价应定为多少元?
(3)超市的销售人员发现:当该商品每月销售量超过某一数量时,会出现所获利润反而减小的情况.为了每月所获利润最大,该商品销售单价应定为多少元?

解：
(1) 根据题意，得
$y = 50 + 5(100 - x)$
整理得 $y = -5x + 550$。
(2) 设每月销售利润为$W$元，单件利润为$(x-50)$元，根据题意得：
$(x - 50)y = 4000$
将$y=-5x+550$代入得：
$(x - 50)(-5x + 550) = 4000$
整理得 $x^2 - 160x + 6300 = 0$
解得 $x_1 = 70$，$x_2 = 90$。
∵ 要使顾客获得更多实惠，销售单价应更低，
∴ $x=70$。
答：销售单价应定为70元。
(3) 设每月总利润为$W$元，
则 $W = (x - 50)(-5x + 550)$
$= -5x^2 + 800x - 27500$
$= -5(x - 80)^2 + 4500$
∵ $-5 ＜ 0$，二次函数图象开口向下，
∴ 当$x=80$时，$W$取得最大值，即每月所获利润最大。
答：该商品销售单价应定为80元。

【分析】
(1) 求销售量y与销售单价x的函数关系：已知销售单价100元时销量为50件，单价每降低1元可多售5件，先计算单价为x元时比100元降低了$(100-x)$元，对应的多售出件数为$5(100-x)$，再加上基础销量50件，整理即可得到函数关系式。
(2) 销售利润=单件利润×销售量，单件利润为$(x-50)$元，销售量为(1)中得到的y，令利润等于4000列方程，解方程得到两个解后，要使顾客获得更多实惠，选择更低的销售单价即可。
(3) 先根据“总利润=单件利润×销售量”列出利润W关于x的二次函数解析式，再将二次函数配方为顶点式，结合二次函数开口方向，即可找到利润最大时对应的销售单价。
【解析】
(1) 根据题意可得：
$y = 50 + 5(100 - x)$
整理得 $y = -5x + 550$。
(2) 设每月销售利润为$W$元，单件利润为$(x-50)$元，根据题意得：
$(x - 50)y = 4000$
将$y=-5x+550$代入得：
$(x - 50)(-5x + 550) = 4000$
整理得 $x^2 - 160x + 6300 = 0$
解得 $x_1 = 70$，$x_2 = 90$。
∵ 要使顾客获得更多实惠，销售单价应更低，
∴ $x=70$。
答：销售单价应定为70元。
(3) 设每月总利润为$W$元，
则 $W = (x - 50)(-5x + 550)$
$= -5x^2 + 800x - 27500$
$= -5(x - 80)^2 + 4500$
∵ $-5 ＜ 0$，二次函数图象开口向下，
∴ 当$x=80$时，$W$取得最大值，即每月所获利润最大。
答：该商品销售单价应定为80元。
【答案】
(1) $y=-5x+550$
(2) 70元
(3) 80元
【知识点】
一次函数解析式求解，一元二次方程实际应用，二次函数最值问题
【点评】
本题为销售类实际应用题，综合考查了函数与方程的相关知识，解题时需注意结合实际情境对解进行取舍，避免出现多解漏选的错误。
【难度系数】
0.6

21. (10分)如图15,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象与正比例函数$y=2x$的图象交于点$A(a,4)$.点B为x轴正半轴上一点,过点B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C,交正比例函数的图象于点D,连接AC.
(1)求$a$的值及反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的解析式;
(2)若$BD=8$,求$△ ACD$的面积.

解：
(1) ∵点$A(a,4)$在正比例函数$y=2x$的图象上，
∴$4=2a$，
解得$a=2$，
∴点$A$的坐标为$(2,4)$。
将$A(2,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得
$4=\frac{k}{2}$，
解得$k=8$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{8}{x}$。
(2) ∵$BD ⊥ x$轴，$BD=8$，
∴点$D$的纵坐标为$8$，
将$y=8$代入$y=2x$，得$8=2x$，解得$x=4$，
∴点$D$的坐标为$(4,8)$，点$B$的坐标为$(4,0)$。
将$x=4$代入$y=\frac{8}{x}$，得$y=\frac{8}{4}=2$，
∴点$C$的坐标为$(4,2)$，
∴$CD=8-2=6$。
点$A$到直线$CD$（直线$x=4$）的距离为$4-2=2$，
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × CD × 2 = \frac{1}{2} × 6 × 2 = 6$。

【分析】
(1) 求解a的值时，因为点A在正比例函数图象上，所以将点A的坐标代入正比例函数解析式即可计算a；得到点A的完整坐标后，再代入反比例函数解析式就能求出k的值，进而得到反比例函数的解析式。
(2) 已知BD垂直x轴且长度为8，说明点D的纵坐标为8，将其代入正比例函数可求出点D的横坐标，也就是点B、点C的横坐标；再将该横坐标代入反比例函数得到点C的纵坐标，即可算出CD的长度；由于CD在竖直直线上，点A到CD的距离为两点横坐标的差，最后代入三角形面积公式即可求出△ACD的面积。
【解析】
(1)
∵点$A(a,4)$在正比例函数$y=2x$的图象上，
∴$4=2a$，
解得$a=2$，
∴点$A$的坐标为$(2,4)$。
将$A(2,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得
$4=\frac{k}{2}$，
解得$k=8$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{8}{x}$。
(2)
∵$BD ⊥ x$轴，$BD=8$，
∴点$D$的纵坐标为$8$，
将$y=8$代入$y=2x$，得$8=2x$，解得$x=4$，
∴点$D$的坐标为$(4,8)$，点$B$的坐标为$(4,0)$。
将$x=4$代入$y=\frac{8}{x}$，得$y=\frac{8}{4}=2$，
∴点$C$的坐标为$(4,2)$，
∴$CD=8-2=6$。
点$A$到直线$CD$（直线$x=4$）的距离为$4-2=2$，
∴$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × CD × 2 = \frac{1}{2} × 6 × 2 = 6$。
【答案】
(1) $a=2$，反比例函数的解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{8}{x}}$；
(2) $△ ACD$的面积为$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
反比例函数解析式求解，一次函数图象上点的坐标特征，坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题是正比例函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是掌握函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式，结合坐标系中竖直线上点的横坐标相同的特点，就能快速计算线段长度和图形面积，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7