三、解答题(共40分)
12. (12分)围棋起源于中国，古代称为“弈”，距今已有4 000多年的历史.如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两枚棋子的坐标分别为A(-2,4),B(1,2).
(1) 根据题意，画出相应的平面直角坐标系；
(2) 分别写出C,D两颗棋子的坐标；
(3) 有一枚黑色棋子E的坐标为(3,-1)，请在图中画出黑色棋子E.

12. (1) 建立如图所示的直角坐标系
(2) 点C的坐标$(2,1)$,点D的坐标$(-2,-1)$
(3) 如图,点E即为所求

【分析】
1. 第(1)问需要根据已知两点坐标确定坐标系，核心是找原点位置：由A(-2,4)可知，原点在A点右侧2个单位、下方4个单位的交点处，确定原点后画出规定了正方向的x轴、y轴即可。
2. 第(2)问依据坐标的定义判断：横坐标是点到y轴的水平距离，y轴右侧为正、左侧为负；纵坐标是点到x轴的竖直距离，x轴上方为正、下方为负，据此可写出C、D的坐标。
3. 第(3)问根据坐标找对应位置：横坐标对应x轴上的刻度，纵坐标对应y轴上的刻度，两个方向垂线的交点就是目标点的位置，描点即可。
【解析】
(1) 首先定位原点：从点A(-2,4)出发，向右数2个单位长度，再向下数4个单位长度，得到的交点即为坐标原点O；过点O作水平向右为正方向的x轴，作竖直向上为正方向的y轴，即可得到所需的平面直角坐标系，如图所示：
(2) 观察坐标系内的点：
点C在y轴右侧2个单位，x轴上方1个单位，因此坐标为$\boldsymbol{(2,1)}$；
点D在y轴左侧2个单位，x轴下方1个单位，因此坐标为$\boldsymbol{(-2,-1)}$。
(3) 根据点E的坐标$(3,-1)$，沿x轴正方向数3个单位长度，再沿y轴负方向数1个单位长度，两个方向的交点即为点E的位置，描点后如图所示：
【答案】
(1) 建立如图所示的直角坐标系
(2) 点C的坐标$(2,1)$,点D的坐标$(-2,-1)$
(3) 如图,点E即为所求
【知识点】
平面直角坐标系；点的坐标；坐标描点
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，考查坐标与平面内点的一一对应关系，掌握坐标系建立规则和坐标读写方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

13. (14分)在某工程项目实施中,勘测队在勘测地图上标示了A,B,C三地的坐标,坐标系中1个单位长度的实际距离为1 km.
(1) A,B两地间的实际距离为 km.
(2) 有一条笔直的铁路经过A,B两地,现计划修一条从C地到铁路AB的最短公路l,并在l上建一个维修站D,使维修站D到A,C两地的距离相等.在图中画出维修站D的位置,并求出其坐标.

13. (1) 20
(2) 图略,$D(0,-4)$

【分析】
(1) 观察A、B两点坐标可知纵坐标相同，说明AB平行于x轴，两点距离等于横坐标差的绝对值，结合单位长度对应实际距离即可算出结果。
(2) 首先根据“垂线段最短”，过C作AB的垂线就是最短公路l，由于AB平行于x轴，因此垂线l平行于y轴，即l为直线x=0，所以D点横坐标为0；再设D点坐标为(0,y)，根据“D到A、C两地距离相等”，利用两点间距离公式列方程求解，即可得到D点坐标。
【解析】
(1)
∵A(12,1)，B(-8,1)，两点纵坐标相等，
∴AB的长度为|12 - (-8)| = 20（单位长度），
∵1个单位长度对应实际距离1km，
∴A、B两地实际距离为20km。
(2) 画图：过点C作AB的垂线，在该垂线上取点D，使得DA=DC即可（图略）。
求坐标：
∵A、B两点纵坐标均为1，
∴直线AB的解析式为y=1，AB平行于x轴，
∴过C垂直于AB的公路l平行于y轴，又
∵C(0,-17)，
∴直线l的解析式为x=0，即D点横坐标为0，
设D点坐标为(0,y)，根据题意DA=DC，
由两点间距离公式得：$DA^2=(12-0)^2 + (1-y)^2$，$DC^2=(0-0)^2 + (y+17)^2$，
∵DA=DC，
∴$DA^2=DC^2$，
即$12^2 + (1-y)^2 = (y+17)^2$，
展开得：$144 + 1 - 2y + y^2 = y^2 + 34y + 289$，
整理得：$-36y = 144$，
解得：$y=-4$，
∴D点坐标为(0,-4)。
【答案】
(1) 20；(2) 画图略，$D(0,-4)$
【知识点】
坐标与图形性质；垂线段最短；两点间的距离
【点评】
本题结合实际场景考查平面直角坐标系的相关应用，解题的关键是熟练掌握平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，能利用方程思想结合距离相等的关系求解未知点坐标，同时要灵活运用垂线段最短的性质解决最短路径问题。
【难度系数】
0.7

14.（14分）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”。下图中的P，Q两点即为“等距点”。
（1）已知点A的坐标为$(-3,1)$。
① 在点$E(0,3)$，$F(3,-3)$，$G(2,-5)$中，为点A的“等距点”的是；
② 若点B的坐标为$(m,m+6)$，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为。
（2）若$T_1(-1,-k-3)$，$T_2(4,4k-3)$两点为“等距点”，求k的值。

14. (1) ① $E,F$ ② $(-3,3)$
(2) $k$的值是1或2

【分析】
首先理解“等距点”的定义：对于任意一点，先求它到x轴的距离（纵坐标的绝对值）、到y轴的距离（横坐标的绝对值），取这两个值的最大值，若两个点的该最大值相等，则两点为等距点。
解题思路：
(1)①先计算点A的横、纵坐标绝对值的最大值，再分别计算E、F、G三点的该最大值，与点A的对比，相等的即为等距点；
(1)②点B与A是等距点，说明点B的横、纵坐标绝对值的最大值与A相等，据此列方程求解m，再验证是否符合最大值要求即可；
(2)分别表示出$T_1$、$T_2$两点横、纵坐标绝对值的最大值，根据两个最大值相等分情况列方程求解，舍去不符合条件的解即可得到k的值。
【解析】
首先明确：点$(x,y)$到x轴距离为$|y|$，到y轴距离为$|x|$，记该点的“最大距离”为$\max\{|x|, |y|\}$，等距点即两点的“最大距离”相等。
(1) 先求点$A(-3,1)$的最大距离：
$|-3|=3$，$|1|=1$，故$\max\{3,1\}=3$。
① 分别计算E、F、G的最大距离：
点$E(0,3)$：$|0|=0$，$|3|=3$，$\max\{0,3\}=3$，与A相等，是等距点；
点$F(3,-3)$：$|3|=3$，$|-3|=3$，$\max\{3,3\}=3$，与A相等，是等距点；
点$G(2,-5)$：$|2|=2$，$|-5|=5$，$\max\{2,5\}=5$，与A不相等，不是等距点。
故等距点是E、F。
② 点$B(m,m+6)$与A是等距点，故B的最大距离为3，即$\max\{|m|, |m+6|\}=3$：
情况1：若$|m|=3$，则$m=3$或$m=-3$：
$m=3$时，$m+6=9$，$|9|=9＞3$，$\max\{3,9\}=9≠3$，舍去；
$m=-3$时，$m+6=3$，$|3|=3$，$\max\{3,3\}=3$，符合要求，此时$B(-3,3)$。
情况2：若$|m+6|=3$，则$m+6=±3$，即$m=-3$或$m=-9$：
$m=-9$时，$|-9|=9＞3$，$\max\{9,3\}=9≠3$，舍去；
$m=-3$时，同情况1的结果，符合要求。
综上，点B的坐标为$(-3,3)$。
(2) 分别计算$T_1$、$T_2$的最大距离：
$T_1(-1,-k-3)$的横、纵坐标绝对值为$|-1|=1$，$|-k-3|=|k+3|$，故最大距离为$\max\{1, |k+3|\}$；
$T_2(4,4k-3)$的横、纵坐标绝对值为$|4|=4$，$|4k-3|$，故最大距离为$\max\{4, |4k-3|\}$。
因为$T_1$、$T_2$是等距点，所以$\max\{1, |k+3|\}=\max\{4, |4k-3|\}$，分两种情况讨论：
情况1：当$\max\{4, |4k-3|\}=4$时，即$|4k-3|≤4$，此时需满足$\max\{1, |k+3|\}=4$，故$|k+3|=4$：
解得$k+3=4$或$k+3=-4$，即$k=1$或$k=-7$。
验证：$k=1$时，$|4×1-3|=1≤4$，符合要求；$k=-7$时，$|4×(-7)-3|=31＞4$，不符合，舍去。
情况2：当$\max\{4, |4k-3|\}=|4k-3|$时，即$|4k-3|＞4$，此时需满足$\max\{1, |k+3|\}=|4k-3|$，因为$|4k-3|＞4＞1$，故$|k+3|=|4k-3|$：
解方程：$4k-3 = k+3$ 或 $4k-3 = -(k+3)$
$4k-3 = k+3$时，$3k=6$，$k=2$，验证：$|4×2-3|=5＞4$，$|2+3|=5$，符合要求；
$4k-3 = -k-3$时，$5k=0$，$k=0$，验证：$|4×0-3|=3＜4$，不符合前提，舍去。
综上，$k$的值为1或2。
【答案】
(1) ① $E,F$；② $(-3,3)$
(2) $k$的值是1或2
【知识点】
点的坐标特征；绝对值的性质；新定义运算
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解“等距点”的定义，将新规则转化为绝对值计算、最值判断的常规问题，求解时注意分情况讨论后验证解的合理性，避免出现错解、漏解。
【难度系数】
0.7