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1. 如图,正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$,若$\odot O$的周长是$6π$,则正六边形的边长是 （
A.$\sqrt{3}$
B.$3$
C.$6$
D.$2\sqrt{3}$
B
）A.$\sqrt{3}$
B.$3$
C.$6$
D.$2\sqrt{3}$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题可按两步思考：第一步，先根据已知的圆周长求出$\odot O$的半径，因为正六边形内接于圆，它的边长和外接圆半径存在直接关联；第二步，利用正六边形的性质：正六边形的中心角为$60°$，其边长等于外接圆的半径，即可得到正六边形的边长。
【解析】
首先计算$\odot O$的半径：
设$\odot O$的半径为$r$，已知$\odot O$的周长为$6π$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得：
$2π r=6π$，解得$r=3$。
再分析正六边形的性质：正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，其中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，因此正六边形的任意一边与过该边端点的两条半径可构成等边三角形，故正六边形的边长等于外接圆的半径，即边长为3。
【答案】
B
【知识点】
圆的周长计算；正多边形与圆的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查正六边形和其外接圆的对应关系，熟练掌握正六边形边长等于外接圆半径的性质，结合圆周长公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题可按两步思考：第一步，先根据已知的圆周长求出$\odot O$的半径，因为正六边形内接于圆，它的边长和外接圆半径存在直接关联；第二步，利用正六边形的性质：正六边形的中心角为$60°$，其边长等于外接圆的半径，即可得到正六边形的边长。
【解析】
首先计算$\odot O$的半径：
设$\odot O$的半径为$r$，已知$\odot O$的周长为$6π$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得：
$2π r=6π$，解得$r=3$。
再分析正六边形的性质：正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，其中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，因此正六边形的任意一边与过该边端点的两条半径可构成等边三角形，故正六边形的边长等于外接圆的半径，即边长为3。
【答案】
B
【知识点】
圆的周长计算；正多边形与圆的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查正六边形和其外接圆的对应关系，熟练掌握正六边形边长等于外接圆半径的性质，结合圆周长公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性.如图，将正五边形OABCD的边AB固定，向右推动该正五边形，使得O为AD的中点，且点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，过点C作$\odot O$的切线EF，则$∠ BCF$的度数为（
A.$18°$
B.$30°$
C.$36°$
D.$54°$
B
）A.$18°$
B.$30°$
C.$36°$
D.$54°$
答案
2. B
提示:连接OC,OB,由正五边形ABCDO,得$AB=BC=CD$.$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$.$\therefore ∠ BOC=\frac{1}{3}×180°=60°$.$\because OC=OB$,$\therefore △ OBC$为等边三角形.$\therefore ∠ OCB=60°$.根据切线的性质得到$∠ OCF=90°$,于是得到结论
提示:连接OC,OB,由正五边形ABCDO,得$AB=BC=CD$.$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$.$\therefore ∠ BOC=\frac{1}{3}×180°=60°$.$\because OC=OB$,$\therefore △ OBC$为等边三角形.$\therefore ∠ OCB=60°$.根据切线的性质得到$∠ OCF=90°$,于是得到结论
解析
【分析】
解题时首先结合题意，明确正五边形变形后边长不变，且A、B、C、D在以O为圆心的圆上，AD为直径，对应圆心角为180°。首先连接辅助线OB、OC，利用相等的弦对应相等的弧，推出三段弧对应的圆心角相等，求出∠BOC的度数，再判定△OBC为等边三角形得到∠OCB的度数，最后结合切线的性质，用∠OCF减去∠OCB即可求出∠BCF的度数。
【解析】
解：连接OC、OB。
∵点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，且O为AD的中点，
∴AD是⊙O的直径，∠AOD=180°。
∵原图形为正五边形OABCD，变形过程中边长不变，
∴$AB=BC=CD$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ BOC=\frac{1}{3}×180°=60°$。
又
∵OB=OC（同圆的半径相等），
∴△OBC是等边三角形，
∴$∠ OCB=60°$。
∵EF是⊙O的切线，C为切点，
∴$OC⊥ EF$，即$∠ OCF=90°$，
∴$∠ BCF=∠ OCF-∠ OCB=90°-60°=30°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与多边形结合的角度计算题，解题的关键是合理作出辅助线，结合正多边形边长不变的特点，利用圆的相关性质推导角度关系，属于常考的综合基础题。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合题意，明确正五边形变形后边长不变，且A、B、C、D在以O为圆心的圆上，AD为直径，对应圆心角为180°。首先连接辅助线OB、OC，利用相等的弦对应相等的弧，推出三段弧对应的圆心角相等，求出∠BOC的度数，再判定△OBC为等边三角形得到∠OCB的度数，最后结合切线的性质，用∠OCF减去∠OCB即可求出∠BCF的度数。
【解析】
解：连接OC、OB。
∵点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，且O为AD的中点，
∴AD是⊙O的直径，∠AOD=180°。
∵原图形为正五边形OABCD，变形过程中边长不变，
∴$AB=BC=CD$，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠ BOC=\frac{1}{3}×180°=60°$。
又
∵OB=OC（同圆的半径相等），
∴△OBC是等边三角形，
∴$∠ OCB=60°$。
∵EF是⊙O的切线，C为切点，
∴$OC⊥ EF$，即$∠ OCF=90°$，
∴$∠ BCF=∠ OCF-∠ OCB=90°-60°=30°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与多边形结合的角度计算题，解题的关键是合理作出辅助线，结合正多边形边长不变的特点，利用圆的相关性质推导角度关系，属于常考的综合基础题。
【难度系数】
0.6
3. 如图,要拧开一个边长为a的正六边形螺帽,则扳手张开的开口b至少为
$\sqrt{3}a$
.答案
3. $\sqrt{3}a$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确扳手张开的最小开口b对应正六边形螺帽一组对边之间的距离。我们可以利用正六边形的性质：正六边形的边长等于其外接圆半径，每个中心角为60°，将对边距离的计算转化为求正六边形边心距的2倍，再通过勾股定理计算即可。
【解析】
正六边形的边长为a，其外接圆半径等于边长a。
取正六边形的中心O，连接相邻两个顶点A、B，得到等边△OAB，边长OA=OB=AB=a。
过O作AB的垂线，垂足为C，OC即为正六边形的边心距：
在Rt△OAC中，$AC=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$
正六边形对边之间的距离等于2倍的边心距，因此：
$b=2× OC=2×\frac{\sqrt{3}a}{2}=\sqrt{3}a$
【答案】
$\sqrt{3}a$
【知识点】
正六边形的性质，勾股定理，正多边形与圆
【点评】
本题结合生活实际考查正多边形相关计算，解题的关键是将实际场景中的扳手开口宽度转化为正六边形的对边间距，把实际问题转化为几何计算问题，难度不大。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确扳手张开的最小开口b对应正六边形螺帽一组对边之间的距离。我们可以利用正六边形的性质：正六边形的边长等于其外接圆半径，每个中心角为60°，将对边距离的计算转化为求正六边形边心距的2倍，再通过勾股定理计算即可。
【解析】
正六边形的边长为a，其外接圆半径等于边长a。
取正六边形的中心O，连接相邻两个顶点A、B，得到等边△OAB，边长OA=OB=AB=a。
过O作AB的垂线，垂足为C，OC即为正六边形的边心距：
在Rt△OAC中，$AC=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$
正六边形对边之间的距离等于2倍的边心距，因此：
$b=2× OC=2×\frac{\sqrt{3}a}{2}=\sqrt{3}a$
【答案】
$\sqrt{3}a$
【知识点】
正六边形的性质，勾股定理，正多边形与圆
【点评】
本题结合生活实际考查正多边形相关计算，解题的关键是将实际场景中的扳手开口宽度转化为正六边形的对边间距，把实际问题转化为几何计算问题，难度不大。
【难度系数】
0.7
4. 将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图是排的前3个正五边形，要完成这一圆环还需要
7
个这样的正五边形.答案
4. 7
提示:设正五边形的两边交于点O,求出正五边形的外角为$\frac{360°}{5}=72°$,可得$∠ 1$的度数,即可求解
提示:设正五边形的两边交于点O,求出正五边形的外角为$\frac{360°}{5}=72°$,可得$∠ 1$的度数,即可求解
解析
【分析】
要解决本题，首先需要利用正多边形外角和的性质求出正五边形的外角度数，再结合等腰三角形内角和计算出单个正五边形对应的圆心角，随后根据周角为360°求出完成圆环总共需要的正五边形数量，最后减去已有的3个，即可得到还需要的正五边形个数。
【解析】
1. 求正五边形的外角度数：任意正多边形的外角和均为$360°$，因此正五边形每个外角的度数为$\frac{360°}{5}=72°$。
2. 求单个正五边形对应的圆心角：相邻两个正五边形的边延长后交于圆环中心，形成的等腰三角形两个底角均为正五边形的外角$72°$，因此对应的圆心角为$180° - 72°×2=36°$。
3. 求总需求个数：整个圆环的中心周角为$360°$，因此完成圆环共需要正五边形$\frac{360°}{36°}=10$个。
4. 求还需要的个数：已知已有3个正五边形，因此还需要$10-3=7$个。
【答案】
7
【知识点】
正多边形与圆，多边形外角和，周角性质
【点评】
本题将正多边形性质和角度计算结合，解题关键是通过图形观察找到圆心角和正五边形外角的关系，能较好地考查学生的图形分析能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先需要利用正多边形外角和的性质求出正五边形的外角度数，再结合等腰三角形内角和计算出单个正五边形对应的圆心角，随后根据周角为360°求出完成圆环总共需要的正五边形数量，最后减去已有的3个，即可得到还需要的正五边形个数。
【解析】
1. 求正五边形的外角度数：任意正多边形的外角和均为$360°$，因此正五边形每个外角的度数为$\frac{360°}{5}=72°$。
2. 求单个正五边形对应的圆心角：相邻两个正五边形的边延长后交于圆环中心，形成的等腰三角形两个底角均为正五边形的外角$72°$，因此对应的圆心角为$180° - 72°×2=36°$。
3. 求总需求个数：整个圆环的中心周角为$360°$，因此完成圆环共需要正五边形$\frac{360°}{36°}=10$个。
4. 求还需要的个数：已知已有3个正五边形，因此还需要$10-3=7$个。
【答案】
7
【知识点】
正多边形与圆，多边形外角和，周角性质
【点评】
本题将正多边形性质和角度计算结合，解题关键是通过图形观察找到圆心角和正五边形外角的关系，能较好地考查学生的图形分析能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.6
5. 尺规作图:分别按要求作出如图所示的$\odot O$的内接正多边形(保留作图痕迹,不写作法).
(1)正八边形； (2)正三角形.
(1)正八边形； (2)正三角形.
答案
5. 如图所示:(1) 正八边形
(2) 正三角形
解析
【分析】
要作圆的内接正多边形，核心是将圆周n等分（n为正多边形的边数），因为圆内接正多边形的各边对应的中心角均为$\frac{360°}{n}$，等分圆周后顺次连接各分点即可得到对应正多边形。
(1) 作正八边形时，中心角为$360°÷8=45°$，可先作两条互相垂直的直径将圆周4等分（每份对应中心角$90°$），再平分每份$90°$的弧，即可得到8个等分点，连接后得到正八边形。
(2) 作正三角形时，中心角为$360°÷3=120°$，可先作一条直径，以直径的一个端点为圆心、圆的半径为半径画弧，得到圆上另外两个等分点，三个点正好将圆周3等分，连接后得到正三角形。
【解析】
(1) 先画出$\odot O$两条互相垂直的直径，得到4个圆周等分点，再分别平分相邻两个直径的夹角（即平分每段弧），得到共8个圆周等分点，顺次连接这8个点，即为$\odot O$的内接正八边形。
(2) 先画出$\odot O$的任意一条直径，以直径的其中一个端点为圆心、$\odot O$的半径为半径作弧，与$\odot O$交于两个点，这两个点和直径的另一个端点就是圆周的3个等分点，顺次连接这3个点，即为$\odot O$的内接正三角形。
【答案】
(1)
(2)
【知识点】
正多边形与圆、尺规作图、圆周等分
【点评】
本题考查圆内接正多边形的作图方法，解题关键是掌握正多边形中心角与圆周等分的对应关系，属于基础作图题，需熟练掌握常见正多边形的作图技巧。
【难度系数】
0.7
要作圆的内接正多边形，核心是将圆周n等分（n为正多边形的边数），因为圆内接正多边形的各边对应的中心角均为$\frac{360°}{n}$，等分圆周后顺次连接各分点即可得到对应正多边形。
(1) 作正八边形时，中心角为$360°÷8=45°$，可先作两条互相垂直的直径将圆周4等分（每份对应中心角$90°$），再平分每份$90°$的弧，即可得到8个等分点，连接后得到正八边形。
(2) 作正三角形时，中心角为$360°÷3=120°$，可先作一条直径，以直径的一个端点为圆心、圆的半径为半径画弧，得到圆上另外两个等分点，三个点正好将圆周3等分，连接后得到正三角形。
【解析】
(1) 先画出$\odot O$两条互相垂直的直径，得到4个圆周等分点，再分别平分相邻两个直径的夹角（即平分每段弧），得到共8个圆周等分点，顺次连接这8个点，即为$\odot O$的内接正八边形。
(2) 先画出$\odot O$的任意一条直径，以直径的其中一个端点为圆心、$\odot O$的半径为半径作弧，与$\odot O$交于两个点，这两个点和直径的另一个端点就是圆周的3个等分点，顺次连接这3个点，即为$\odot O$的内接正三角形。
【答案】
(1)
(2)
【知识点】
正多边形与圆、尺规作图、圆周等分
【点评】
本题考查圆内接正多边形的作图方法，解题关键是掌握正多边形中心角与圆周等分的对应关系，属于基础作图题，需熟练掌握常见正多边形的作图技巧。
【难度系数】
0.7
