1.已知下列一组数:1, $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{9}$, $\frac{7}{16}$, $\frac{9}{25}$, …. 用式子表示第$n$个数,则第$n$个数是 ()

A.$\frac{2n-1}{3n-2}$
B.$\frac{2n-1}{n^2}$
C.$\frac{2n+1}{3n-2}$
D.$\frac{2n+1}{n^2}$

1.B

【分析】
要找数列的第n项，可分别观察分子、分母和序号n的对应规律，也可采用代入排除法，将n=1、n=2等小序号代入选项验证，排除错误选项得到答案。
第一步先看分子：给出的数的分子依次是1、3、5、7、9，是从1开始的连续奇数，第n个奇数可表示为2n-1；
第二步看分母：给出的数的分母依次是1、4、9、16、25，是对应序号的平方，第n项的分母可表示为n²；
也可以把n代入各选项，排除不符合前几项的选项，快速锁定答案。
【解析】
方法一：分别推导分子、分母的规律
将数列按序号对应排列：
当n=1时，第1个数：$1=\frac{2×1-1}{1^2}$
当n=2时，第2个数：$\frac{3}{4}=\frac{2×2-1}{2^2}$
当n=3时，第3个数：$\frac{5}{9}=\frac{2×3-1}{3^2}$
当n=4时，第4个数：$\frac{7}{16}=\frac{2×4-1}{4^2}$
……
由此可得，第n个数的分子为$2n-1$，分母为$n^2$，即第n个数是$\frac{2n-1}{n^2}$。
方法二：代入排除法
将n=1代入各选项：
A选项：$\frac{2×1-1}{3×1-2}=1$，暂时符合；
B选项：$\frac{2×1-1}{1^2}=1$，暂时符合；
C选项：$\frac{2×1+1}{3×1-2}=3≠1$，排除；
D选项：$\frac{2×1+1}{1^2}=3≠1$，排除；
再将n=3代入剩余的A、B选项：
A选项：$\frac{2×3-1}{3×3-2}=\frac{5}{7}≠\frac{5}{9}$，排除；
B选项：$\frac{2×3-1}{3^2}=\frac{5}{9}$，符合规律。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
数字规律探究；列代数式
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，解题核心是找到数字各部分和序号的对应关系，代入排除法是解决这类选择题的常用技巧，能有效提高解题效率。
【难度系数】
0.8

2.如图,下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,x的值为 ()


A.135
B.153
C.170
D.189

2.C

【分析】首先观察每个正方形四个位置的数字特征，分别推导各位置的数字规律：1. 左上数字依次为1、2、3，是连续正整数；2. 右上数字依次为4、6、8，均为对应左上数字的2倍加2；3. 左下数字依次为2、3、4，均比对应左上数字大1；4. 右下数字可通过其余三个数字的运算得到，验证可知右下数字=右上数字×左下数字+左上数字。先根据右上数字18求出a，再推导b，最后代入运算规律求出x即可。
【解析】
1. 推导左上数字a的数值：
观察前3组数据可得规律：右上数字=2×左上数字+2
已知最后一个正方形右上数字为18，列方程：$2a+2=18$，解得$a=8$
2. 推导左下数字b的数值：
观察规律可知：左下数字=左上数字+1，因此$b=a+1=8+1=9$
3. 推导右下数字x的数值：
验证前3组数据可得规律：右下数字=右上数字×左下数字+左上数字
代入数值计算：$x=18×9+8=162+8=170$
【答案】C
【知识点】数字规律探究，代数式求值
【点评】本题属于典型的图形类数字规律题，解题核心是先观察固定位置的数字变化规律，再验证不同位置数字的运算关系，按规律逐步推导即可得到结果。
【难度系数】0.7

3. 观察一列数：1,2,4,8,16,…我们发现，这一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于2.一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数叫作等比数列，这个常数就叫作等比数列的公比.
(1)等比数列3,−12,48,…的第4项是；
(2)如果一列数 $a_1,a_2,a_3,a_4,\dots$ 是等比数列，且公比为 $q$，那么有 $a_2=a_1q,a_3=a_2q=(a_1q)q=a_1q^2,a_4=a_3q=(a_1q^2)q=a_1q^3$，则 $a_5=$ ，$a_n=$ ；(用含 $a_1$ 与 $q$ 的式子表示，其中 $n$ 为正整数)
(3)一个等比数列的第2项是9，第4项是36，求它的公比.

3.解:(1)−192 (2)$a_1q^4$ $a_1q^{n-1}$ (3)依题意,得 $a_4=a_2q^2$.所以 $36=9× q^2$,所以 $q^2=4$.所以 $q=\pm2$.所以其公比为 2 或−2.

【分析】
(1) 先根据等比数列的定义计算公比：公比等于后项除以前项，再用第三项乘公比就能得到第四项；
(2) 观察给出的$a_2、a_3、a_4$的表达式规律，可发现q的指数比项数小1，按照这个规律就能推导$a_5$和$a_n$的表达式；
(3) 等比数列中第4项是第2项乘2次公比，即$a_4=a_2q^2$，代入已知数值列方程求解即可，注意平方等于正数的数有正负两个，不要漏解。
【解析】
(1) 先计算公比：$q=-12÷3=-4$，因此第4项为$48×(-4)=-192$；
(2) 由$a_2=a_1q^1$，$a_3=a_1q^2$，$a_4=a_1q^3$的规律可得：$a_5=a_1q^{5-1}=a_1q^4$，以此类推，第$n$项$a_n=a_1q^{n-1}$（$n$为正整数）；
(3) 根据等比数列项的关系可得$a_4=a_2q^2$，将$a_2=9$，$a_4=36$代入得$36=9q^2$，两边同时除以9得$q^2=4$，因为$(\pm2)^2=4$，所以$q=\pm2$，即公比为2或-2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-192}$；(2) $\boldsymbol{a_1q^4}$，$\boldsymbol{a_1q^{n-1}}$；(3) 公比为$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
1. 等比数列概念 2. 规律归纳 3. 平方根应用
【点评】
本题属于新定义类规律探究题，通过给出等比数列的新概念，考查对新定义的理解能力、规律总结能力以及基础方程的求解能力，解题时要注意公比可以为负数，避免漏解。
【难度系数】
0.7

4.(重庆B卷)用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形……按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是 ()


A.20
B.21
C.23
D.26

4.C

【分析】
首先观察已知的4个图案对应的菱形数量：第①个2个，第②个5个，第③个8个，第④个11个，对比相邻两个图案的菱形数量差，发现后一个图案总比前一个多3个菱形，属于等差变化规律。我们可以先推导第n个图案的菱形个数的通用表达式，再将n=8代入表达式计算，即可得到第⑧个图案的菱形个数。
【解析】
解：根据题意整理已知条件：
第①个图案中菱形的个数：$2 = 3×1 -1$
第②个图案中菱形的个数：$5 = 3×2 -1$
第③个图案中菱形的个数：$8 = 3×3 -1$
第④个图案中菱形的个数：$11 = 3×4 -1$
……
由此可归纳规律：第$n$个图案中菱形的个数为$3n-1$
当$n=8$时，代入得：$3×8 -1 = 24-1=23$
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题的核心是观察数量的变化特征，找到恒定的变化量，进而归纳出通用的数量表达式，再代入目标数值求解即可。
【难度系数】
0.7

5. 观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“〇”的个数是。
第1个 第2个 第4个 …

5.49

【分析】
要解决这个问题，我们先从已知的前几个图案入手分析：首先逐个计数前4个图案的“〇”数量，观察数量的变化特点，发现每往后一个图案，“〇”的数量就固定增加3个，属于固定增量的规律，接下来我们可以推导得出第n个图案对应“〇”数量的代数式，最后把n=16代入代数式就能算出结果。
【解析】
先统计前4个图案中“〇”的个数：
第1个图案：4个；
第2个图案：7个；
第3个图案：10个；
第4个图案：13个；
观察可得：后一个图案比前一个图案多3个“〇”，因此第n个图案中“〇”的个数为：
$4+3(n-1)=3n+1$
当$n=16$时，代入代数式得：
$3×16+1=48+1=49$
【答案】
49
【知识点】
图形规律探究、代数式求值
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题核心是通过前几个特例找到数量和序号之间的对应关系，列出通用代数式后代入计算即可得到答案，解题时可以通过多验证几个序号对应的数值，确保推导的规律正确。
【难度系数】
0.7

6.如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子.观察图形的变化规律,写出第9个小房子用了个石子,第n个小房子用了个石子.

…

6.117 $(n^2+4n)$

【分析】
要解决这道规律探究题，我们可以先数出前几个小房子的石子数量，观察数量和对应序号的关系，也可以把小房子拆成下方正方形点阵、上方尖顶两部分分别找规律，再合并得到通用表达式，最后代入n=9计算即可。
【解析】
首先计算前3个小房子的石子数量：
第1个小房子：共5个石子，对应n=1时，$1^2 + 4×1=5$；
第2个小房子：共12个石子，对应n=2时，$2^2 + 4×2=4+8=12$；
第3个小房子：共21个石子，对应n=3时，$3^2 + 4×3=9+12=21$；
我们也可以拆分图形验证规律：
1. 下方正方形部分：第n个小房子的下方是边长为$n+1$的正方形点阵，石子数为$(n+1)^2$；
2. 上方尖顶部分：第n个小房子的尖顶石子数为$2n-1$（是连续的奇数，n=1时1个、n=2时3个、n=3时5个）；
总石子数 = 下方数量 + 上方数量，即：
$(n+1)^2 + (2n-1) = n^2+2n+1+2n-1 = n^2+4n$，和前面观察的规律一致。
当n=9时，代入表达式得：$9^2 + 4×9=81+36=117$。
【答案】
117；$n^2+4n$
【知识点】
图形规律探究，整式的加减
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题核心是通过观察前几个图形的特征，要么直接归纳数量和序号的关系，要么拆分图形分别找规律再合并，侧重考查观察归纳能力和基础的整式运算能力。
【难度系数】
0.65

7. 观察下列各个等式的规律：
第一个等式：$\frac{2^2 -1^2 -1}{2}=1$，
第二个等式：$\frac{3^2 -2^2 -1}{2}=2$，
第三个等式：$\frac{4^2 -3^2 -1}{2}=3$，
…
请用上述等式反映出的规律解答下列问题：
(1)直接写出第四个等式；
(2)猜想第$n$个等式(用含$n$的式子表示)。

7.解:(1)第四个等式是$\frac{5^2 -4^2 -1}{2}=4$;(2)第$n$个等式是$\frac{(n+1)^2 -n^2 -1}{2}=n$.

【分析】
解题时先将等式与对应序号绑定观察：首先观察各等式的固定不变部分：分母恒为2，分子结构均为“较大数的平方-较小数的平方-1”，等式右边为正整数。再找变化部分和序号的对应关系：第1个等式对应序号1，分子里较大底数为2=1+1，较小底数为1，右边结果为1；第2个等式对应序号2，分子里较大底数为3=2+1，较小底数为2，右边结果为2；第3个等式对应序号3，分子里较大底数为4=3+1，较小底数为3，右边结果为3。由此可归纳通用规律：第k个等式中，分子较大底数为k+1，较小底数为k，右边结果为k。按照这个规律即可写出第四个等式和第n个等式。
【解析】
(1) 根据上述规律，第四个等式对应序号k=4，因此分子较大底数为4+1=5，较小底数为4，右边结果为4，代入等式结构即可得到第四个等式。
(2) 第n个等式对应序号k=n，因此分子较大底数为n+1，较小底数为n，右边结果为n，代入结构即可得到第n个等式，也可通过化简验证等式成立：左边$\frac{(n+1)^2 -n^2 -1}{2}=\frac{n^2+2n+1-n^2-1}{2}=\frac{2n}{2}=n$，与右边相等，猜想成立。
【答案】
(1) $\frac{5^2 -4^2 -1}{2}=4$；(2) $\frac{(n+1)^2 -n^2 -1}{2}=n$
【知识点】
数式规律探究，列代数式，整式化简
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，核心考查观察归纳能力，解题关键是梳理等式各部分和序号的对应关系，找到不变的结构和变化的规律，归纳得到通用表达式后可通过简单运算验证猜想的正确性。
【难度系数】
0.8