17. 新视角 新定义题 我们规定用$(a,b)$表示一对数对，给出如下定义：记$m=\frac{1}{\sqrt{a}},n=\sqrt{b}(a＞0,b＞0)$，将$(m,n)$和$(n,m)$称为数对$(a,b)$的一对“对称数对”。
例如：$(4,1)$的一对“对称数对”为$(\frac{1}{2},1)$和$(1,\frac{1}{2})$。
(1) 数对$(25,4)$的一对“对称数对”是和；
(2) 若数对$(3,y)$的一对“对称数对”的两个数对相同，求$y$的值；
(3) 若数对$(x,2)$的一对“对称数对”的一个数对是$(\sqrt{2},1)$，求$x$的值；
(4) 若数对$(a,b)$的一对“对称数对”的一个数对是$(\sqrt{3},3\sqrt{3})$，求$ab$的值。

17.【解】(1)$(\dfrac{1}{5},2)$；$(2,\dfrac{1}{5})$
(2)根据定义，对于$(3,y)$，$m=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$n=\sqrt{y}$.
$∵$数对$(3,y)$的一对“对称数对”的两个数对相同，
$∴\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{y}$，解得 $y=\dfrac{1}{3}.$
(3)根据定义，对于$(x,2)$，$m=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$，$n=\sqrt{2}.$
$∵$数对$(x,2)$的一个“对称数对”是$(\sqrt{2},1)$，
$∴ m=\dfrac{1}{\sqrt{x}}=1$，解得 $x=1.$
(4)$∵$数对$(a,b)$的一个“对称数对”是$(\sqrt{3},3\sqrt{3})$，
$∴\begin{cases}\dfrac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{3},\\\sqrt{b}=3\sqrt{3}\end{cases}$ 或 $\begin{cases}\dfrac{1}{\sqrt{a}}=3\sqrt{3},\\\sqrt{b}=\sqrt{3},\end{cases}$ $∴\begin{cases}a=\dfrac{1}{3},\\b=27\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=\dfrac{1}{27},\\b=3.\end{cases}$
$∴ab=9$ 或 $ab=\dfrac{1}{9}.$

18. ★★ [株洲天元区自主招生]
材料一:由$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2=2$可以看出,两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式.在进行二次根式计算时,利用有理化因式,有时可以化去分母中的根号,例如:
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}.$
材料二:二次根式化简:
$\frac{1}{3+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{\sqrt{3}});$
$\frac{1}{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{15}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}).$
根据以上材料,请完成下列问题:
(1)$\frac{3}{3-\sqrt{6}}=$;
(2) 计算:$\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}};$
(3)计算:$\frac{1}{3+\sqrt{3}}+\frac{1}{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}+\frac{1}{7\sqrt{5}+5\sqrt{7}}+\dots+\frac{1}{49\sqrt{47}+47\sqrt{49}}.$

18.【解】(1)$3+\sqrt{6}$
(2)$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+ \dots + \dfrac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}} = \dfrac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} + \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} + \dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})} + \dots + \dfrac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{(\sqrt{100}+\sqrt{99})(\sqrt{100}-\sqrt{99})} = \dfrac{\sqrt{2}-1}{2-1} + \dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} + \dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3} + \dots + \dfrac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{100-99} = (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{100}-\sqrt{99}) = -1 + \sqrt{100} = -1 + 10 = 9.$
(3)$\dfrac{1}{3+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}+\dfrac{1}{7\sqrt{5}+5\sqrt{7}}+ \dots + \dfrac{1}{49\sqrt{47}+47\sqrt{49}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)} + \dfrac{1}{\sqrt{3×5}(\sqrt{5}+\sqrt{3})} + \dfrac{1}{\sqrt{5×7}(\sqrt{7}+\sqrt{5})} + \dots + \dfrac{1}{\sqrt{47×49}(\sqrt{49}+\sqrt{47})} = \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} + \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{3×5}(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} + \dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{5×7}(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})} + \dots + \dfrac{\sqrt{49}-\sqrt{47}}{\sqrt{47×49}(\sqrt{49}+\sqrt{47})(\sqrt{49}-\sqrt{47})} = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}} + \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2\sqrt{3×5}} + \dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2\sqrt{5×7}} + \dots + \dfrac{\sqrt{49}-\sqrt{47}}{2\sqrt{47×49}} = \dfrac{1}{2} × (1 - \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} - \dfrac{1}{\sqrt{5}} + \dfrac{1}{\sqrt{5}} - \dfrac{1}{\sqrt{7}} + \dots + \dfrac{1}{\sqrt{47}} - \dfrac{1}{\sqrt{49}}) = \dfrac{1}{2} × (1 - \dfrac{1}{\sqrt{49}}) = \dfrac{1}{2} × (1 - \dfrac{1}{7}) = \dfrac{3}{7}.$