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例1 下列函数中，y是x的二次函数的是（）
A.$y=ax^2+2x+1(a$为常数$)$
B.$y=x-\dfrac{1}{x}$
C.$y=-x^2+3x+2$
D.$y=x^2+2xz+3$
【思路导析】形如 $y=ax^2+bx+c(a,b,c$为常数，且$a≠0)$的函数是二次函数，其右边是关于自变量$x$的二次整式，且二次项的系数不能为0.
【请你解答】.
知识点二 实际问题中的二次函数关系
A.$y=ax^2+2x+1(a$为常数$)$
B.$y=x-\dfrac{1}{x}$
C.$y=-x^2+3x+2$
D.$y=x^2+2xz+3$
【思路导析】形如 $y=ax^2+bx+c(a,b,c$为常数，且$a≠0)$的函数是二次函数，其右边是关于自变量$x$的二次整式，且二次项的系数不能为0.
【请你解答】.
知识点二 实际问题中的二次函数关系
答案
C
解析
【分析】
要判断y是否是x的二次函数，需严格依据二次函数的定义梳理判定要点：①函数表达式是关于x的整式；②仅含有x一个自变量，且x的最高次数为2；③二次项的系数不为0。按照这三个要点逐一排查各选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：表达式$y=ax^2+2x+1$中，未说明常数$a≠0$，若$a=0$，函数变为一次函数$y=2x+1$，因此不一定是二次函数，不符合要求；
B选项：表达式$y=x-\dfrac{1}{x}$中含有$\dfrac{1}{x}$（即$x^{-1}$），属于分式，不是整式，不符合二次函数是整式的要求，排除；
C选项：表达式$y=-x^2+3x+2$是整式，仅含自变量$x$，$x$的最高次数为2，且二次项系数为$-1≠0$，完全符合二次函数的定义；
D选项：表达式$y=x^2+2xz+3$中含有$x$、$z$两个自变量，不是$y$关于$x$的二次函数，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的定义 2.整式的概念
【点评】
本题重点考查二次函数定义的理解与应用，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限定条件，以及未注意到自变量的唯一性、表达式需为整式的要求，牢记定义的核心要点即可准确解题。
【难度系数】
0.8
要判断y是否是x的二次函数，需严格依据二次函数的定义梳理判定要点：①函数表达式是关于x的整式；②仅含有x一个自变量，且x的最高次数为2；③二次项的系数不为0。按照这三个要点逐一排查各选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：表达式$y=ax^2+2x+1$中，未说明常数$a≠0$，若$a=0$，函数变为一次函数$y=2x+1$，因此不一定是二次函数，不符合要求；
B选项：表达式$y=x-\dfrac{1}{x}$中含有$\dfrac{1}{x}$（即$x^{-1}$），属于分式，不是整式，不符合二次函数是整式的要求，排除；
C选项：表达式$y=-x^2+3x+2$是整式，仅含自变量$x$，$x$的最高次数为2，且二次项系数为$-1≠0$，完全符合二次函数的定义；
D选项：表达式$y=x^2+2xz+3$中含有$x$、$z$两个自变量，不是$y$关于$x$的二次函数，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的定义 2.整式的概念
【点评】
本题重点考查二次函数定义的理解与应用，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限定条件，以及未注意到自变量的唯一性、表达式需为整式的要求，牢记定义的核心要点即可准确解题。
【难度系数】
0.8
例2 某超市一月份的营业额为200万元,第一季度的营业额为y万元,如果月平均增长率为x,求第一季度的营业额y与月增长率x之间的函数关系式.
【思路导析】一月份营业额为200万元,二月份营业额为200(1+x)万元,三月份营业额为$200(1+x)^2$万元.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 二次函数与一次函数的联系
【思路导析】一月份营业额为200万元,二月份营业额为200(1+x)万元,三月份营业额为$200(1+x)^2$万元.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 二次函数与一次函数的联系
答案
解：
一月份营业额为200万元，
二月份营业额为$200(1+x)$万元，
三月份营业额为$200(1+x)^2$万元，
第一季度总营业额为三个月营业额之和，因此：
$\begin{aligned}y&=200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2\\&=200 + 200 + 200x + 200(1+2x+x^2)\\&=200x^2 + 600x + 800\end{aligned}$
结合实际意义，月平均增长率$x＞0$，
所以第一季度的营业额$y$与月增长率$x$之间的函数关系式为$y=200x^2+600x+800\ (x＞0)$。
一月份营业额为200万元，
二月份营业额为$200(1+x)$万元，
三月份营业额为$200(1+x)^2$万元，
第一季度总营业额为三个月营业额之和，因此：
$\begin{aligned}y&=200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2\\&=200 + 200 + 200x + 200(1+2x+x^2)\\&=200x^2 + 600x + 800\end{aligned}$
结合实际意义，月平均增长率$x＞0$，
所以第一季度的营业额$y$与月增长率$x$之间的函数关系式为$y=200x^2+600x+800\ (x＞0)$。
解析
【分析】
要得到第一季度营业额y与月增长率x的函数关系式，首先明确第一季度包含1月、2月、3月，总营业额为三个月营业额之和。第一步，根据月平均增长率x分别表示出各月营业额：1月营业额已知为200万元；2月营业额是在1月基础上增长x，即200(1+x)万元；3月营业额是在2月基础上再增长x，即$200(1+x)^2$万元。第二步，将三个月营业额相加得到y的表达式，再展开化简为标准的整式形式，最后结合增长率的实际意义，确定x的取值范围为x＞0即可。
【解析】
解：已知一月份营业额为200万元，
由月平均增长率为x可得，二月份营业额为$200(1+x)$万元，
三月份营业额为$200(1+x)^2$万元，
第一季度总营业额为三个月营业额之和，因此：
$\begin{aligned}y&=200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2\\&=200 + 200 + 200x + 200(1+2x+x^2)\\&=200x^2 + 600x + 800\end{aligned}$
结合实际意义，月平均增长率$x＞0$，
所以第一季度的营业额$y$与月增长率$x$之间的函数关系式为$y=200x^2+600x+800\ (x＞0)$。
【答案】
$y=200x^2+600x+800\ (x＞0)$
【知识点】
平均增长率计算，列二次函数解析式，实际问题自变量取值范围
【点评】
本题是增长率类的二次函数实际应用基础题，解题核心是准确表示出每个月的营业额，结合第一季度总营业额的构成列出关系式，化简时要遵循整式运算规则，同时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免出现不符合现实情况的结果。
【难度系数】
0.75
要得到第一季度营业额y与月增长率x的函数关系式，首先明确第一季度包含1月、2月、3月，总营业额为三个月营业额之和。第一步，根据月平均增长率x分别表示出各月营业额：1月营业额已知为200万元；2月营业额是在1月基础上增长x，即200(1+x)万元；3月营业额是在2月基础上再增长x，即$200(1+x)^2$万元。第二步，将三个月营业额相加得到y的表达式，再展开化简为标准的整式形式，最后结合增长率的实际意义，确定x的取值范围为x＞0即可。
【解析】
解：已知一月份营业额为200万元，
由月平均增长率为x可得，二月份营业额为$200(1+x)$万元，
三月份营业额为$200(1+x)^2$万元，
第一季度总营业额为三个月营业额之和，因此：
$\begin{aligned}y&=200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2\\&=200 + 200 + 200x + 200(1+2x+x^2)\\&=200x^2 + 600x + 800\end{aligned}$
结合实际意义，月平均增长率$x＞0$，
所以第一季度的营业额$y$与月增长率$x$之间的函数关系式为$y=200x^2+600x+800\ (x＞0)$。
【答案】
$y=200x^2+600x+800\ (x＞0)$
【知识点】
平均增长率计算，列二次函数解析式，实际问题自变量取值范围
【点评】
本题是增长率类的二次函数实际应用基础题，解题核心是准确表示出每个月的营业额，结合第一季度总营业额的构成列出关系式，化简时要遵循整式运算规则，同时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免出现不符合现实情况的结果。
【难度系数】
0.75
例3 已知关于$x$的函数$y=(m-2)·x^{m^2 -2m +2}+(m-1)x+2.$
(1)$m$为何值时，$y$是$x$的二次函数？
(2)$m$为何值时，$y$是$x$的一次函数？
【探究点拨】(1)$x$的最高次数为$2$，且二次项系数不为$0$；(2)$x$的指数为$1$或二次项系数为$0$.
【规范解答】(1)$\begin{cases} m^2 -2m +2=2, \\ m-2≠0, \end{cases}$
$\therefore m=0.$
当$m=0$时，$y=-2x^2 -x +2$，$y$是$x$的二次函数.
(2)当$m-2=0$时，即$m=2$，$y=x+2.$
当$m^2 -2m +2=1$时，即$m=1$，$y=-x+2.$
当$m=2$或$1$时，$y$是$x$的一次函数.
(1)$m$为何值时，$y$是$x$的二次函数？
(2)$m$为何值时，$y$是$x$的一次函数？
【探究点拨】(1)$x$的最高次数为$2$，且二次项系数不为$0$；(2)$x$的指数为$1$或二次项系数为$0$.
【规范解答】(1)$\begin{cases} m^2 -2m +2=2, \\ m-2≠0, \end{cases}$
$\therefore m=0.$
当$m=0$时，$y=-2x^2 -x +2$，$y$是$x$的二次函数.
(2)当$m-2=0$时，即$m=2$，$y=x+2.$
当$m^2 -2m +2=1$时，即$m=1$，$y=-x+2.$
当$m=2$或$1$时，$y$是$x$的一次函数.
答案
解：
(1) 要使$y$是$x$的二次函数，需满足自变量$x$的最高次数为2，且二次项系数不为0，即：
$\begin{cases}m^2 - 2m + 2 = 2 \\m - 2 ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 - 2m + 2 = 2$，得$m=0$或$m=2$，结合$m≠2$，得$m=0$。
此时函数为$y=-2x^2 -x +2$，符合二次函数定义。
即当$m=0$时，$y$是$x$的二次函数。
(2) 要使$y$是$x$的一次函数，分两种情况讨论：
① 二次项系数为0，且剩余项为一次式：
令$m-2=0$，得$m=2$，此时函数为$y=x+2$，是一次函数。
② $x$的最高次数为1，且合并后一次项系数不为0：
令$m^2 - 2m + 2 = 1$，解得$m=1$，此时函数为$y=-x+2$，是一次函数。
综上，当$m=1$或$m=2$时，$y$是$x$的一次函数。
(1) 要使$y$是$x$的二次函数，需满足自变量$x$的最高次数为2，且二次项系数不为0，即：
$\begin{cases}m^2 - 2m + 2 = 2 \\m - 2 ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 - 2m + 2 = 2$，得$m=0$或$m=2$，结合$m≠2$，得$m=0$。
此时函数为$y=-2x^2 -x +2$，符合二次函数定义。
即当$m=0$时，$y$是$x$的二次函数。
(2) 要使$y$是$x$的一次函数，分两种情况讨论：
① 二次项系数为0，且剩余项为一次式：
令$m-2=0$，得$m=2$，此时函数为$y=x+2$，是一次函数。
② $x$的最高次数为1，且合并后一次项系数不为0：
令$m^2 - 2m + 2 = 1$，解得$m=1$，此时函数为$y=-x+2$，是一次函数。
综上，当$m=1$或$m=2$时，$y$是$x$的一次函数。
解析
【分析】
（1）判断二次函数需紧扣定义：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，据此列出关于m的方程组，求解后排除不符合条件的m值即可。
（2）判断一次函数需分两类情况讨论：第一类是原二次项系数为0，此时剩余的项需是一次式；第二类是原最高次项的次数为1，且合并后一次项系数不为0，分别求解两类情况的m值，再汇总结果。
【解析】
(1) 要使$y$是$x$的二次函数，需满足自变量$x$的最高次数为2，且二次项系数不为0，即：
$\begin{cases}m^2 - 2m + 2 = 2 \\m - 2 ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 - 2m + 2 = 2$，移项得$m^2-2m=0$，因式分解得$m(m-2)=0$，得$m=0$或$m=2$，结合$m≠2$，得$m=0$。
此时函数为$y=-2x^2 -x +2$，符合二次函数定义。
即当$m=0$时，$y$是$x$的二次函数。
(2) 要使$y$是$x$的一次函数，分两种情况讨论：
① 二次项系数为0，且剩余项为一次式：
令$m-2=0$，得$m=2$，此时函数为$y=x+2$，是一次函数。
② $x$的最高次数为1，且合并后一次项系数不为0：
令$m^2 - 2m + 2 = 1$，移项得$m^2-2m+1=0$，即$(m-1)^2=0$，解得$m=1$，此时函数为$y=-x+2$，是一次函数。
综上，当$m=1$或$m=2$时，$y$是$x$的一次函数。
【答案】
(1) $\boldsymbol{m=0}$；
(2) $\boldsymbol{m=1}$或$\boldsymbol{m=2}$
【知识点】
二次函数的定义、一次函数的定义、分类讨论思想
【点评】
本题重点考查函数定义的应用，易错点有两处：一是求解二次函数时忽略二次项系数不为0的限制条件，容易误得m=0或m=2；二是求解一次函数时没有分类讨论，漏算其中一种情况，解题时要紧扣定义，全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.7
（1）判断二次函数需紧扣定义：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，据此列出关于m的方程组，求解后排除不符合条件的m值即可。
（2）判断一次函数需分两类情况讨论：第一类是原二次项系数为0，此时剩余的项需是一次式；第二类是原最高次项的次数为1，且合并后一次项系数不为0，分别求解两类情况的m值，再汇总结果。
【解析】
(1) 要使$y$是$x$的二次函数，需满足自变量$x$的最高次数为2，且二次项系数不为0，即：
$\begin{cases}m^2 - 2m + 2 = 2 \\m - 2 ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 - 2m + 2 = 2$，移项得$m^2-2m=0$，因式分解得$m(m-2)=0$，得$m=0$或$m=2$，结合$m≠2$，得$m=0$。
此时函数为$y=-2x^2 -x +2$，符合二次函数定义。
即当$m=0$时，$y$是$x$的二次函数。
(2) 要使$y$是$x$的一次函数，分两种情况讨论：
① 二次项系数为0，且剩余项为一次式：
令$m-2=0$，得$m=2$，此时函数为$y=x+2$，是一次函数。
② $x$的最高次数为1，且合并后一次项系数不为0：
令$m^2 - 2m + 2 = 1$，移项得$m^2-2m+1=0$，即$(m-1)^2=0$，解得$m=1$，此时函数为$y=-x+2$，是一次函数。
综上，当$m=1$或$m=2$时，$y$是$x$的一次函数。
【答案】
(1) $\boldsymbol{m=0}$；
(2) $\boldsymbol{m=1}$或$\boldsymbol{m=2}$
【知识点】
二次函数的定义、一次函数的定义、分类讨论思想
【点评】
本题重点考查函数定义的应用，易错点有两处：一是求解二次函数时忽略二次项系数不为0的限制条件，容易误得m=0或m=2；二是求解一次函数时没有分类讨论，漏算其中一种情况，解题时要紧扣定义，全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.7
1.把函数$y=x^2+(x+1)^2$化成一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项.
答案
解：
化简函数：
$\begin{aligned}y&=x^2+(x+1)^2\\&=x^2+x^2+2x+1\\&=2x^2+2x+1\end{aligned}$
该函数的一般形式为$y=2x^2+2x+1$，二次项系数为2，一次项系数为2，常数项为1。
化简函数：
$\begin{aligned}y&=x^2+(x+1)^2\\&=x^2+x^2+2x+1\\&=2x^2+2x+1\end{aligned}$
该函数的一般形式为$y=2x^2+2x+1$，二次项系数为2，一次项系数为2，常数项为1。
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）。解题时第一步先利用完全平方公式展开$(x+1)^2$，再合并同类项，将原式整理为按$x$降幂排列的形式，最后对照一般形式的定义，对应提取二次项系数、一次项系数和常数项即可。
【解析】
对给定函数进行化简：
$\begin{aligned}y&=x^2+(x+1)^2\\&=x^2+x^2+2x+1\\&=2x^2+2x+1\end{aligned}$
结合二次函数一般形式的定义可知，该函数的一般形式为$y=2x^2+2x+1$，其中二次项系数为2，一次项系数为2，常数项为1。
【答案】
一般形式为$y=2x^2+2x+1$，二次项系数为2，一次项系数为2，常数项为1。
【知识点】
二次函数的一般形式；完全平方公式；整式化简
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考查对二次函数一般形式的理解和整式化简的运算能力，熟练掌握完全平方公式与合并同类项法则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需要明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）。解题时第一步先利用完全平方公式展开$(x+1)^2$，再合并同类项，将原式整理为按$x$降幂排列的形式，最后对照一般形式的定义，对应提取二次项系数、一次项系数和常数项即可。
【解析】
对给定函数进行化简：
$\begin{aligned}y&=x^2+(x+1)^2\\&=x^2+x^2+2x+1\\&=2x^2+2x+1\end{aligned}$
结合二次函数一般形式的定义可知，该函数的一般形式为$y=2x^2+2x+1$，其中二次项系数为2，一次项系数为2，常数项为1。
【答案】
一般形式为$y=2x^2+2x+1$，二次项系数为2，一次项系数为2，常数项为1。
【知识点】
二次函数的一般形式；完全平方公式；整式化简
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考查对二次函数一般形式的理解和整式化简的运算能力，熟练掌握完全平方公式与合并同类项法则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
