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1. 比较$\frac{17}{31}$和$\frac{52}{93}$的大小.
答案
1.【解】因为$\frac{52}{93}-\frac{17}{31}=\frac{52}{93}-\frac{51}{93}=\frac{1}{93}＞0$,所以$\frac{52}{93}＞\frac{17}{31}$.
【点拨】当比较的两个数的大小非常接近,无法直接比较大小时,作差法是常用的方法.
【点拨】当比较的两个数的大小非常接近,无法直接比较大小时,作差法是常用的方法.
2. 比较$-\dfrac{17}{2025}$和$-\dfrac{34}{4071}$的大小.
答案
2.【解】$\left|-\frac{17}{2025}\right|=\frac{17}{2025},\left|-\frac{34}{4071}\right|=\frac{34}{4071}$.
因为$\frac{17}{2025}÷\frac{34}{4071}=\frac{17}{2025}×\frac{4071}{34}=\frac{4071}{4050}＞1$,
所以$\frac{17}{2025}＞\frac{34}{4071}$.
所以$-\frac{17}{2025}＜-\frac{34}{4071}$.
【点拨】作商法是比较两个数大小的常用方法.当比较的两个正分数作商易约分时,作商比较往往能起到事半功倍的效果;当比较大小的两个数是负分数时,可先分别求出它们的绝对值,再作商比较它们绝对值的大小,最后根据绝对值大的反而小得出结论.
因为$\frac{17}{2025}÷\frac{34}{4071}=\frac{17}{2025}×\frac{4071}{34}=\frac{4071}{4050}＞1$,
所以$\frac{17}{2025}＞\frac{34}{4071}$.
所以$-\frac{17}{2025}＜-\frac{34}{4071}$.
【点拨】作商法是比较两个数大小的常用方法.当比较的两个正分数作商易约分时,作商比较往往能起到事半功倍的效果;当比较大小的两个数是负分数时,可先分别求出它们的绝对值,再作商比较它们绝对值的大小,最后根据绝对值大的反而小得出结论.
3. 比较$\frac{1011}{2026}$与$\frac{1013}{2025}$的大小.
答案
3.【解】因为$\frac{1011}{2026}＜\frac{1}{2},\frac{1013}{2025}＞\frac{1}{2}$,
所以$\frac{1011}{2026}＜\frac{1013}{2025}$.
【点拨】对于类似的两数的大小比较,我们可以引入一个中间量,分别比较它们与中间量的大小,从而得出问题的答案.
所以$\frac{1011}{2026}＜\frac{1013}{2025}$.
【点拨】对于类似的两数的大小比较,我们可以引入一个中间量,分别比较它们与中间量的大小,从而得出问题的答案.
4. 比较$\frac{111}{1111}$和$\frac{1111}{11111}$的大小.
答案
4.【解】$\frac{111}{1111}$的倒数是$10\frac{1}{111}$,$\frac{1111}{11111}$的倒数是$10\frac{1}{1111}$.
因为$10\frac{1}{111}＞10\frac{1}{1111}$,
所以$\frac{111}{1111}＜\frac{1111}{11111}$.
【点拨】利用倒数法比较两个正分数的大小时,需先求出其倒数,再根据倒数大的反而小确定这两个正分数的大小.
因为$10\frac{1}{111}＞10\frac{1}{1111}$,
所以$\frac{111}{1111}＜\frac{1111}{11111}$.
【点拨】利用倒数法比较两个正分数的大小时,需先求出其倒数,再根据倒数大的反而小确定这两个正分数的大小.
5. 比较$-\dfrac{2025}{2026}, -\dfrac{20}{21}, -\dfrac{2028}{2029}, -\dfrac{19}{20}$的大小.
答案
5.【解】每个分数都加1,分别得$\frac{1}{2026},\frac{1}{21},\frac{1}{2029},\frac{1}{20}$.
因为$\frac{1}{2029}＜\frac{1}{2026}＜\frac{1}{21}＜\frac{1}{20}$,
所以$-\frac{2028}{2029}＜-\frac{2025}{2026}＜-\frac{20}{21}＜-\frac{19}{20}$.
【点拨】本题直接比较很困难,但通过把这些数进行适当变形,再进行比较就简单多了.
因为$\frac{1}{2029}＜\frac{1}{2026}＜\frac{1}{21}＜\frac{1}{20}$,
所以$-\frac{2028}{2029}＜-\frac{2025}{2026}＜-\frac{20}{21}＜-\frac{19}{20}$.
【点拨】本题直接比较很困难,但通过把这些数进行适当变形,再进行比较就简单多了.
6.已知$a＞0,b＜0$,且$|b|＜a$,试比较$a,-a,b,-b$的大小.
答案
6.【解】因为$a＞0,b＜0$,所以表示$a,b$的点分别在原点的右边和左边.又由$|b|＜a$,知表示$a$的点到原点的距离大于表示$b$的点到原点的距离,则四个数表示在数轴上如图：
故$-a＜b＜-b＜a$.
点方法 本题运用数轴法比较有理数的大小,在数轴上找出这几个数对应的点的大致位置,即可作出判断.
7. 当$0＜x＜1$时，将$x,\frac{1}{x},x^2$按从小到大的顺序用“＜”连接起来。
答案
7.【解】因为$0＜x＜1$,
所以不妨设$x=\frac{1}{2}$,
则$\frac{1}{x}=2,x^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$.
因为$\frac{1}{4}＜\frac{1}{2}＜2$,
所以$x^2＜x＜\frac{1}{x}$.
所以不妨设$x=\frac{1}{2}$,
则$\frac{1}{x}=2,x^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$.
因为$\frac{1}{4}＜\frac{1}{2}＜2$,
所以$x^2＜x＜\frac{1}{x}$.
8. 比较 $a$ 与 $\frac{a}{3}$ 的大小.
答案
8.【解】分三种情况讨论：
当$a＞0$时,$a＞\frac{a}{3}$;
当$a=0$时,$a=\frac{a}{3}$;
当$a＜0$时,因为$|a|＞\left|\frac{a}{3}\right|$,
所以$a＜\frac{a}{3}$.
综上,当$a＞0$时,$a＞\frac{a}{3}$;
当$a=0$时,$a=\frac{a}{3}$;
当$a＜0$时,$a＜\frac{a}{3}$.
当$a＞0$时,$a＞\frac{a}{3}$;
当$a=0$时,$a=\frac{a}{3}$;
当$a＜0$时,因为$|a|＞\left|\frac{a}{3}\right|$,
所以$a＜\frac{a}{3}$.
综上,当$a＞0$时,$a＞\frac{a}{3}$;
当$a=0$时,$a=\frac{a}{3}$;
当$a＜0$时,$a＜\frac{a}{3}$.
