5. (2025 内江)如图,点$B,F,C,E$在同一条直线上,$AC=DF,\angle A=\angle D,AB// DE$.
(1)求证:$\triangle ABC\cong\triangle DEF$;
(2)若$BF=4,FC=3$,求$BE$的长.

(1)证明见解析；(2)11

(1)∵AB//DE，∴∠B=∠E。在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF，∴△ABC≌△DEF(AAS)。
(2)∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF。∵BC=BF+FC=4+3=7，∴EF=7。∵BE=BF+FC+CE，又∵FC+CE=EF=7，∴BE=BF+EF=4+7=11。

6. (2025 东营改编)如图,小丽在公园里荡秋千,在起始位置$A$处摆绳$OA$与地面垂直,摆绳长2 m,向前荡起到最高点$B$处时距地面高度1.3 m,摆动水平距离$BD$为1.6 m,然后向后摆到最高点$C$处.若前后摆动过程中绳始终拉直,且$OB$与$OC$成$90°$角,求小丽在$C$处时距离地面的高度.

0.9m

以地面为x轴，过O作地面垂线为y轴，O点坐标(0,h)，A为起始点在地面，OA=2m（摆绳长），但实际O到地面高度h需通过B点计算。B点距地面1.3m，水平距离BD=1.6m，设B(1.6,1.3)，OB=2m，由勾股定理：$1.6^2+(h-1.3)^2=2^2$，解得$h-1.3=1.2$，$h=2.5$m，即O(0,2.5)。
设C点坐标(-a,b)，∠BOC=90°，向量$\overrightarrow{OB}=(1.6,-1.2)$，$\overrightarrow{OC}=(-a,b-2.5)$，由$\overrightarrow{OB}·\overrightarrow{OC}=0$得：$-1.6a-1.2(b-2.5)=0$，即$1.6a+1.2b=3$。又OC=2m，$a^2+(b-2.5)^2=4$。联立解得$b=0.9$m，即C处距地面高度0.9m。

7. 【新考向】问题提出:数学课上,学习了直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,小明继续对“两个直角三角形满足一条直角边和周长分别相等”的情形进行探究.
问题解决:如图1,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$和$\mathrm{Rt}\triangle DEF$中,$\angle B=\angle E=90°,AB=DE$,$\triangle ABC$和$\triangle DEF$的周长相等.求证:$\triangle ABC\cong\triangle DEF$.
请你根据小明的思考,继续完成小明的证明.
小明的思考:如图2,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$和$\mathrm{Rt}\triangle DEF$中,分别延长$BC,EF$到点$G,H$,使得$CG=AC,FH=DF$,连接$AG,DH$.

△ABC≌△DEF

延长BC至G，使CG=AC，延长EF至H，使FH=DF，连接AG，DH。
∵△ABC和△DEF周长相等，AB=DE，
∴AB+BC+AC=DE+EF+DF，即BC+AC=EF+DF。
∵CG=AC，FH=DF，
∴BG=BC+CG=BC+AC，EH=EF+FH=EF+DF，故BG=EH。
∵∠B=90°，AB⊥BC，BG为BC延长线，∴∠ABG=90°；同理∠DEH=90°，即△ABG和△DEH均为Rt△。
在Rt△ABG和Rt△DEH中，AB=DE，BG=EH，
∴AG²=AB²+BG²=DE²+EH²=DH²，即AG=DH。
∴Rt△ABG≌Rt△DEH（HL），∴∠AGB=∠DHE。
∵CG=AC，∴∠AGB=∠CAG；同理FH=DF，∠DHE=∠HDF，∴∠CAG=∠HDF。
在△ACG中，∠ACG=180°-2∠AGB；在△DFH中，∠DFH=180°-2∠DHE，∴∠ACG=∠DFH。
∴∠ACB=180°-∠ACG=180°-∠DFH=∠DFE。
在△ABC和△DEF中，∠B=∠E=90°，∠ACB=∠DFE，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF（AAS）。