23. (2025 漯河三模)阅读与思考
在学习《直线与圆的位置关系》时,老师布置了一道课后探究题:已知⊙O 外一点 P(如图 1),你能用尺规过点 P 作⊙O 的切线吗? 你有几种方法?
小聪同学积极探索作图方法,并且进行了原理说明和总结反思,以下是他的探索过程,请你仔细阅读,并完成相应的任务:
【题目分析】先画草图,发现若 PE 是⊙O 的切线,则 ∠PEO = 90°,所以解决此问题的关键是构造一个直角,即在⊙O 上找一点 E,使 ∠PEO = 90°.
【作法展示】①连接 PO 并延长,交⊙O 于 A,B 两点(如图 2);②以点 P 为圆心,PO 长为半径画弧,再以点 O 为圆心,AB 长为半径画弧,两弧交于点 C;③连接 OC,交⊙O 于点 E;④作直线 PE. 直线 PE 就是所求作的⊙O 的切线.
【原理说明】证明:如图 2,连接 PC,由作法可得,PO = PC,CO = AB. ∴ △OPC 为等腰三角形. 又 OE = OA = $\frac{1}{2}$AB,∴ OE = $\frac{1}{2}$CO. ∴ PE ⊥ CO(
【总结反思】对于较复杂的尺规作图可以按照如下步骤解决:①先画草图;②借助草图,从结论出发,逆向探究,联想相关知识,思考作法;③利用尺规,按照作法,画出正确图形;④写出结论. 我们不仅要会作图,还要知道为什么要这样作图,即实施这些步骤的理由是什么. 并且从不同的知识出发可以得到不同的作法,例如本题还可以利用“直径所对的圆周角是直角”得到另一种作法.
任务:
(1)上述材料【原理说明】中的依据是指
(2)如图 3,在图 2 的基础上,在⊙O 上取一点 M(不与点 A,E 重合),连接 AM,EM,若 ∠CPE = 35°,求 ∠M 的度数;
(3)请同学们根据小聪的【总结反思】尝试在图 1 中用尺规过点 P 作出⊙O 的一条切线. (要求:不写作法,保留作图痕迹)
在学习《直线与圆的位置关系》时,老师布置了一道课后探究题:已知⊙O 外一点 P(如图 1),你能用尺规过点 P 作⊙O 的切线吗? 你有几种方法?
小聪同学积极探索作图方法,并且进行了原理说明和总结反思,以下是他的探索过程,请你仔细阅读,并完成相应的任务:
【题目分析】先画草图,发现若 PE 是⊙O 的切线,则 ∠PEO = 90°,所以解决此问题的关键是构造一个直角,即在⊙O 上找一点 E,使 ∠PEO = 90°.
【作法展示】①连接 PO 并延长,交⊙O 于 A,B 两点(如图 2);②以点 P 为圆心,PO 长为半径画弧,再以点 O 为圆心,AB 长为半径画弧,两弧交于点 C;③连接 OC,交⊙O 于点 E;④作直线 PE. 直线 PE 就是所求作的⊙O 的切线.
【原理说明】证明:如图 2,连接 PC,由作法可得,PO = PC,CO = AB. ∴ △OPC 为等腰三角形. 又 OE = OA = $\frac{1}{2}$AB,∴ OE = $\frac{1}{2}$CO. ∴ PE ⊥ CO(
等腰三角形三线合一（或等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）
)(依据). 又点 E 在⊙O 上,∴ 直线 PE 是⊙O 的切线.【总结反思】对于较复杂的尺规作图可以按照如下步骤解决:①先画草图;②借助草图,从结论出发,逆向探究,联想相关知识,思考作法;③利用尺规,按照作法,画出正确图形;④写出结论. 我们不仅要会作图,还要知道为什么要这样作图,即实施这些步骤的理由是什么. 并且从不同的知识出发可以得到不同的作法,例如本题还可以利用“直径所对的圆周角是直角”得到另一种作法.
任务:
(1)上述材料【原理说明】中的依据是指
等腰三角形三线合一（或等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）
;(2)如图 3,在图 2 的基础上,在⊙O 上取一点 M(不与点 A,E 重合),连接 AM,EM,若 ∠CPE = 35°,求 ∠M 的度数;
(3)请同学们根据小聪的【总结反思】尝试在图 1 中用尺规过点 P 作出⊙O 的一条切线. (要求:不写作法,保留作图痕迹)
答案
解$:(1) $等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合$（$三线合一$）。$
$(2)$∵$PE⊥CO，$$∠CPE=35°，$
∴$∠PCE=55°。$
∵$PO=PC，$
∴$∠POC=∠PCE=55°，$即$∠AOE=55°。$$∠M$为弧$AE$所对圆周角，
∴$∠M=1/2∠AOE=27.5°。$
$(3) $
解析
