1[2026浙江温州质检,中]在数学习题课中,同学们为了求$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\dots+\frac{1}{2^n}$的值,进行了如下探索:
(1)某同学将一张面积为1的长方形纸片对折几次后展开,得到如图所示的图形(部分折痕未画出).
(Ⅰ)求图中图形④的面积;
(Ⅱ)请你利用图形求$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}$的值.
(2)请你利用备用图(面积为1),再设计一个能求$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}$的值的几何图形.

(1)(Ⅰ)由题图可知,图形①的面积为$\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}=\frac{1}{2^1}$,图形②的面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}$,图形③的面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}$,图形④的面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{8}=\frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}$.
(Ⅱ)如图(1)所示,将原图形⑤分成两个相同的小长方形a,b,则$S_a=S_b=\frac{1}{2}×\frac{1}{16}=\frac{1}{32}=\frac{1}{2^5}$.
因为$S_①+S_②+S_③+S_④+S_a+S_b=1$,所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^5}=1$,所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{2^5}=\frac{31}{32}$.
(2)如图(2)所示,在长方形ABCD中,点E为AC的中点,点F为DC的中点,点G为EC的中点,点H为FC的中点.(设计的几何图形不唯一)
由图(2)可知$S_①+S_②+S_③+S_④+S_⑤+S_⑥=1$,所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^5}=1$,所以$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{2^5}=\frac{31}{32}$.

2[2026江苏南京调研,较难]“24点”扑克牌游戏深受青少年朋友的喜爱.该游戏的规则如下:将两张王牌去掉,规定扑克牌中的J为11,Q为12,K为13,A为1,从扑克牌中按要求抽取若干张牌,将牌面所表示的数进行有理数的加、减、乘、除运算(可用括号,每张牌用且只用一次),使结果等于24即可.
【问题情境】
假设抽取的牌如图所示:

可列算式:$(9-5)×(13-7)=4×6=24$.
你还可以列出其他结果为24的算式吗?
【思考探究】
(1)用两张牌算“24”:①$2×12=24$,②$3×8=24$,③$4×6=24$,④$11+13=24$,…;用三张牌算“24”:可以将其中两张牌看成整体,转化为两张牌的情况来思考,例如:抽到的牌数字为2,3,4,可以转化为①,列式为$2×(3×4)=2×12=24$,还可以转化为③,列式为.
(2)请你用数字为8,9,12,13的四张牌按规则进行有理数的加、减、乘、除运算,使得算式结果为24.
(3)用五张牌算“24”:请你考虑1~9这九个数字中,若恰巧五张牌的数字都相同(5个1,5个2,…,5个9),请写出可以列式算出24的情况.

【问题情境】$13+9+(7-5)=22+2=24$.
【思考探究】
(1)$4×(2×3)=4×6=24$
(2)$(8+12-9)+13=11+13=24$(答案不唯一).
(3)5个1不可以列式算出24;$(2+2)×(2+2+2)=4×6=24$,则5个2可以列式算出24;
$(3+3)×3+(3+3)=18+6=24$,则5个3可以列式算出24;$4×[4+(4+4)÷4]=4×(4+2)=4×6=24$,则5个4可以列式算出24;$(5-5÷5÷5)×5=(5-1÷5)×5=(5-0.2)×5=4.8×5=24$,则5个5可以列式算出24;$(6-6÷6)×6-6=(6-1)×6-6=5×6-6=30-6=24$,则5个6可以列式算出24;5个7不可以列式算出24;
$(8×8÷8)+8+8=64÷8+8+8=8+8+8=24$,则5个8可以列式算出24;5个9不可以列式算出24.综上所述,5个2、5个3、5个4、5个5、5个6和5个8可以列式算出24.