1[中]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AB＞BC$,点$D$在边$BC$上,$CD=2BD$,点$E$,$F$在线段$AD$上,$∠1=∠2=∠ BAC$,若$△ ABC$的面积为18,则$△ ACF$与$△ BDE$的面积之和是 ()


A.6
B.8
C.9
D.12

1.A 【解析】因为∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2=∠FCA+∠CAF,所以∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA. 在△ABE 和△CAF 中, 因为$\begin{cases} ∠ABE=∠CAF,\\ AB=CA,\\ ∠BAE=∠ACF, \end{cases}$所以△ABE ≌ △CAF ( ASA ), 所以 $S_{△ACF}=S_{△ABE}$,所以$S_{△ACF}+S_{△BDE}=S_{△ABE}+S_{△BDE}=S_{△ABD}$. 因为△ABC 的面积为 18,CD=2BD,所以$S_{△ABD}=\frac{1}{3}×18=6$,所以$S_{△ACF}+S_{△BDE}=S_{△ABD}=6$. 故选 A.
▶关键点拨
根据 ASA 证明 $△ABE ≌ △CAF$,得出△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD 的面积是解题的关键.

2[较难]如图,在$△ ABO$和$△ CDO$中,$OA=OB=a$,$OC=OD=b(0＜a＜b)$,$∠ AOB$与$∠ COD$互补,连结$AC$,$BD$,$BC$,$AD$,$E$是$BD$的中点,下列结论正确的是()

A.$AD=BC$
B.$AC=2OE$
C.$∠ BOD=2∠ AOC$
D.$\dfrac{b-a}{2}＜2OE＜\dfrac{b+a}{2}$

2.B 【解析】因为 OA=OB,OC=OD,所以 AD=BC 需满足的条件是△AOD≌△BOC. 因为∠AOB 与∠COD 不一定相等,所以△AOD 与△BOC 不一定全等,所以 AD 与 BC 不一定相等,故 A 错误.
如图,作 DF//OB 交 OE 的延长线于 F,则∠F=∠BOE. 因为 E 是 BD 的中点,所以 DE=BE.
在 △DFE 和 △BOE 中,$\begin{cases} ∠F=∠BOE,\\ ∠DEF=∠BEO,\\ DE=BE, \end{cases}$所以△DFE≌△BOE(AAS),所以 DF=OB=OA,OE=EF. 因为∠AOB+∠COD=180°,所以∠AOC+∠BOD=180°. 因为 DF//OB,所以 ∠FDO + ∠BOD = 180°,所以∠FDO=∠AOC. 在△FDO 和△AOC 中,$\begin{cases} DF=OA,\\ ∠FDO=∠AOC,\\ DO=OC, \end{cases}$所以△FDO≌△AOC(SAS),所以 FO=AC. 因为 FO=2OE,所以 AC=2OE,故 B 正确. 由已知条件不能得到∠BOD=2∠AOC,故 C 错误. 因为 OD-DF＜FO＜DF+OD,且 DF=OB=a,OD=b,所以 b-a＜2OE＜b+a,故 D 错误. 故选 B.

3[2026江苏南京调研,中]如图,$AB ⊥ CD$,且$AB=CD$,$E$,$F$是$AD$上两点,$CE ⊥ AD$,$BF ⊥ AD$.若$CE = a$,$AD = b$,$BF = c$,则$EF$的长为.

(第3题图)
(第4题图)

3.$a+c-b$ 【解析】设 CD 与 AB,BF 分别交于点 M,N. 由题意可得,∠CED=∠DFB=∠AFB=∠BMD=90°. 在△MBN 中,∠B+∠BMN+∠BNM=180°. 在△DFN 中,∠D+∠BFD+∠DNF=180°. 因为∠BNM=∠DNF,所以∠B=∠D. 在△ABF 和△CDE 中,$\begin{cases} ∠AFB=∠CED,\\ ∠B=∠D,\\ AB=CD, \end{cases}$所以△ABF≌△CDE(AAS),所以 AF=CE=a,ED=BF=c,所以 AF+ED=a+c. 又因为 AD=b,所以 EF=AF+ED-AD=a+c-b. 故答案为$a+c-b$.

4 新考法[2026黑龙江哈尔滨质检,中]如图，AB=AC且AB⊥AC，CD=DE且CD⊥DE，点B，C，E共线，并且点B，C，E到直线AD的距离分别为4,2,1，则四边形ABED的面积为。

4.$\dfrac{35}{2}$ 【解析】如图,分别过点 B,C,E 作 AD 的垂线,交直线 AD 于点 F,G,H,则 BF=4,CG = 2, EH = 1.
因为 AB⊥AC, BF⊥FH,CG⊥FH,所以∠BAF+∠CAG=90°,∠BAF+∠ABF=90°,∠AFB=∠AGC=90°,所以∠CAG=∠ABF. 在△ABF 与△CAG 中,$\begin{cases} ∠AFB=∠AGC,\\ ∠ABF=∠CAG,\\ AB=AC, \end{cases}$所以△ABF≌△CAG(AAS),所以 BF=AG=4,AF=CG=2,$S_{△ABF}=S_{△ACG}$. 同理可得△CGD≌△DHE(AAS),所以 DG=EH=1,CG=DH=2,$S_{△CGD}=S_{△DEH}$,所以$S_{四边形ABED}=S_{梯形BEHF}-(S_{△ABF}+S_{△DEH})=S_{梯形BEHF}-(S_{△ACG}+S_{△CDG})=S_{梯形BEHF}-S_{△ACD}$. 因为 FH=AF+AG+DG+DH=2+4+1+2=9,AD=AG+DG=4+1=5,所以$S_{四边形ABED}=\frac{1}{2}(EH+BF)·FH-\frac{1}{2}AD·CG=\frac{1}{2}×(1+4)×9-\frac{1}{2}×5×2=\frac{35}{2}$. 故答案为$\frac{35}{2}$.

5[2026天津和平区期中,中]如图,在$△ ACB$中,$AC=BC$,$∠ ACB=90°$,$E$为$BC$上一点,连结$AE$,作$AF⊥ AE$且$AF=AE$,连结$BF$交$AC$于点$D$.
(1)求证:点$D$为$BF$中点;
(2)求证:$BE=2CD$;
(3)若$\frac{BE}{CE}=\frac{2}{3}$,则$\frac{AD}{CD}=$.

刷素养 走向重高

5.(1)【证明】过点 F 作 FG⊥AC 于点 G,如图所示,则∠FGA = 90°. 因为 AF⊥AE,∠ACB=90°,所以∠CAE + ∠AEC = 90°,∠CAE+∠FAG = 90°,所以∠AEC = ∠FAG. 在△AFG 和△EAC 中, 因为$\begin{cases} ∠FGA=∠ACE=90°,\\ ∠FAG=∠AEC,\\ AF=AE, \end{cases}$所以△AFG≌△EAC(AAS),所以 FG=AC. 因为 AC=BC,所以 FG=BC. 在△DFG 和△DBC 中,因为$\begin{cases} ∠FDG=∠BDC,\\ ∠FGD=∠BCD=90°,\\ FG=BC, \end{cases}$所以 △DFG ≌ △DBC(AAS),所以 DF=DB,所以 D 为 BF 中点.
(2)【证明】如图,由(1)可知△AFG≌△EAC,△DFG≌△DBC,所以 AG = CE, CD = DG,所以 CG=2CD.
又因为 AC=BC,所以 CG=BE,所以 BE=2CD.
(3)【解】如图,因为$\frac{BE}{CE}=\frac{2}{3}$,所以设 BE=2k,CE=3k,所以 AC=BC=5k. 由(1)可知△AFG≌△EAC,所以 AG=CE=3k,所以 CG=AC-AG=2k. 由(1)可知△DFG≌△DBC,所以 CD = GD = $\frac{1}{2}CG=k$,所以$\frac{AD}{CD}=\frac{3k+k}{k}=4$. 故答案为 4.

6 核心素养 模型观念 [较难]已知$AM// BN$，$AE$平分$∠ BAM$，$BE$平分$∠ ABN$。
(1)如图(1)，求$∠ AEB$的度数；
(2)如图(2)，过点$E$的直线交射线$AM$于点$C$，交射线$BN$于点$D$，求证：$AC+BD=AB$；
(3)如图(3)，过点$E$的直线交射线$AM$的反向延长线于点$C$，交射线$BN$于点$D$，$AB=5$，$AC=3$，$S_{△ ABE}-S_{△ ACE}=2$，求$△ BDE$的面积。

6.(1)【解】因为 AM//BN,所以∠BAM+∠ABN=180°. 因为 AE 平分∠BAM,BE 平分∠ABN,所以∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAM, ∠ABE = $\frac{1}{2}$∠ABN, 所以∠BAE+∠ABE = $\frac{1}{2}$( ∠BAM + ∠ABN ) = 90°,所以∠AEB=90°.
(2)【证明】如图(1),在 AB 上截取 AF = AC, 连结 EF. 在△ACE 与△AFE 中, 因为$\begin{cases} AC=AF,\\ ∠CAE=∠FAE,\\ AE=AE, \end{cases}$所以△ACE≌△AFE(SAS),所以∠AEC=∠AEF. 由(1)得∠AEB=90°,所以∠AEF+∠BEF=∠AEC+∠BED=90°,所以∠FEB=∠DEB. 在△BFE 与△BDE 中, 因为$\begin{cases} ∠FBE=∠DBE,\\ BE=BE,\\ ∠FEB=∠DEB, \end{cases}$所以△BFE≌△BDE(ASA),所以 BF = BD. 因为 AB = AF + BF, 所以 AC + BD = AB.

(3)【解】如图(2),延长 AE 交 BD 于点 F.
因为∠AEB= 90°, 所以 BE⊥AF. 又因为 BE 平分∠ABN, 所以 ∠ABE = ∠FBE. 在△ABE 和△FBE 中,$\begin{cases} ∠AEB=∠FEB=90°,\\ BE=BE,\\ ∠ABE=∠FBE, \end{cases}$所以△ABE≌△FBE(ASA),所以 AB=BF=5,AE=EF. 因为 AM//BN,所以∠C = ∠EDF. 在△ACE 与△FDE 中,因为$\begin{cases} ∠C=∠EDF,\\ ∠AEC=∠FED,\\ AE=FE, \end{cases}$所以△ACE≌△FDE(AAS),所以 DF=AC=3,所以 BF:FD=5:3. 设$S_{△BEF}=S_{△ABE}=5x$, 则$S_{△DEF}=S_{△ACE}=3x$. 因为$S_{△ABE}-S_{△ACE}=2$,所以 5x-3x=2,所以 x=1,所以$S_{△BDE}=S_{△BEF}+S_{△DEF}=8x=8$.

▶关键点拨
本题考查了全等三角形的判定和性质,添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键.
▶思路分析
(2) 在 AB 上截取 AF=AC,连结 EF,利用全等三角形的判定与性质进行等量代换即可得到结论.