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1.淘气没有圆规,用如图所示的方法成功画出了圆,他画圆时 (
A.保持圆心位置不变
B.保持圆的半径不变
C.保持圆心位置和圆的半径不变
D.圆心的位置可以改变
C
)A.保持圆心位置不变
B.保持圆的半径不变
C.保持圆心位置和圆的半径不变
D.圆心的位置可以改变
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先回忆圆的定义和画圆的必备条件：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。要成功画出圆，必须满足两个核心要求：一是作为圆心的定点位置不能移动，否则画出的图形中心会偏移；二是作为半径的定长不能改变，否则图形上各点到中心的距离不相等，就不是圆。再结合题图的画圆方法分析：图中尖端固定的位置就是圆心，左侧黑色笔尖是画圆的动点，笔尖到尖端的距离就是半径，因此画圆时需要同时保持圆心位置不变、半径长度不变，才能画出标准的圆。
【解析】
根据圆的定义：平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点称为圆心，定长称为半径。
画圆的核心要求为：①圆心（定点）的位置保持固定；②动点到圆心的距离（半径）保持不变，将动点绕圆心旋转一周即可得到圆。
观察题图的画圆装置：尖端固定点为圆心，左侧黑色笔尖为画圆的动点，笔尖到尖端的距离为半径，因此画圆时需要同时保持圆心位置不变、半径长度不变。
综上，C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
圆的定义；圆的构成要素
【点评】
本题结合生活化的画圆场景考查圆的基础概念，只要掌握圆的核心要素及各自的作用，结合题干场景分析即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆圆的定义和画圆的必备条件：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。要成功画出圆，必须满足两个核心要求：一是作为圆心的定点位置不能移动，否则画出的图形中心会偏移；二是作为半径的定长不能改变，否则图形上各点到中心的距离不相等，就不是圆。再结合题图的画圆方法分析：图中尖端固定的位置就是圆心，左侧黑色笔尖是画圆的动点，笔尖到尖端的距离就是半径，因此画圆时需要同时保持圆心位置不变、半径长度不变，才能画出标准的圆。
【解析】
根据圆的定义：平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点称为圆心，定长称为半径。
画圆的核心要求为：①圆心（定点）的位置保持固定；②动点到圆心的距离（半径）保持不变，将动点绕圆心旋转一周即可得到圆。
观察题图的画圆装置：尖端固定点为圆心，左侧黑色笔尖为画圆的动点，笔尖到尖端的距离为半径，因此画圆时需要同时保持圆心位置不变、半径长度不变。
综上，C选项符合要求。
【答案】
C
【知识点】
圆的定义；圆的构成要素
【点评】
本题结合生活化的画圆场景考查圆的基础概念，只要掌握圆的核心要素及各自的作用，结合题干场景分析即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2.把圆规的两脚分开,两脚间的距离是3厘米,再把有针尖的一只脚固定在一点上,把装有铅笔尖的一只脚旋转一周,就画出一个圆,则这个圆的（
A.半径是3厘米
B.直径是3厘米
C.周长是$3π$厘米
D.面积是$3π$平方厘米
A
）A.半径是3厘米
B.直径是3厘米
C.周长是$3π$厘米
D.面积是$3π$平方厘米
答案
2.A
∵两脚间的距离是3厘米,
∴圆的半径为3厘米,
∴直径是6厘米,周长为6π厘米,面积为9π平方厘米.故选A.
∵两脚间的距离是3厘米,
∴圆的半径为3厘米,
∴直径是6厘米,周长为6π厘米,面积为9π平方厘米.故选A.
解析
【分析】
首先明确圆规画圆的原理：圆规有针尖的脚固定的点是圆心，两脚分开的距离就是所画圆的半径。已知两脚间距为3厘米，即可先确定圆的半径长度，再结合圆的直径、周长、面积计算公式逐一判断各选项是否正确。
【解析】
根据圆规画圆的特征可知，圆规两脚间的距离就是所画圆的半径，因此该圆的半径$r=3$厘米。
逐一验证各选项：
1. 直径：$d=2r=2×3=6$厘米，故B选项错误；
2. 周长：$C=2π r=2×π×3=6π$厘米，故C选项错误；
3. 面积：$S=π r^2=π×3^2=9π$平方厘米，故D选项错误；
只有A选项表述正确。
【答案】
A
【知识点】
1.圆的有关概念
2.圆的周长计算
3.圆的面积计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查圆规画圆对应圆的基本量的判断，以及圆的基础公式的应用，熟练掌握相关概念和公式即可快速得分。
【难度系数】
0.9
首先明确圆规画圆的原理：圆规有针尖的脚固定的点是圆心，两脚分开的距离就是所画圆的半径。已知两脚间距为3厘米，即可先确定圆的半径长度，再结合圆的直径、周长、面积计算公式逐一判断各选项是否正确。
【解析】
根据圆规画圆的特征可知，圆规两脚间的距离就是所画圆的半径，因此该圆的半径$r=3$厘米。
逐一验证各选项：
1. 直径：$d=2r=2×3=6$厘米，故B选项错误；
2. 周长：$C=2π r=2×π×3=6π$厘米，故C选项错误；
3. 面积：$S=π r^2=π×3^2=9π$平方厘米，故D选项错误；
只有A选项表述正确。
【答案】
A
【知识点】
1.圆的有关概念
2.圆的周长计算
3.圆的面积计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查圆规画圆对应圆的基本量的判断，以及圆的基础公式的应用，熟练掌握相关概念和公式即可快速得分。
【难度系数】
0.9
3. 学科特色教材变式 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$,垂足为$D$,$AB=3$,$BC=2$,如果以点$C$为圆心,2为半径作$\odot C$,那么点$B$在$\odot C$
上
,点$D$在$\odot C$内
.（均选填“内”“上”或“外”）答案
3.答案 上;内
解析
∵⊙C的半径r=2,BC=2,
∴BC=r,
∴点B在⊙C上.
∵CD⊥AB,
∴△BCD是直角三角形,
∴CD＜BC,即CD＜r,
∴点D在⊙C内.故答案为上;内.
解析
∵⊙C的半径r=2,BC=2,
∴BC=r,
∴点B在⊙C上.
∵CD⊥AB,
∴△BCD是直角三角形,
∴CD＜BC,即CD＜r,
∴点D在⊙C内.故答案为上;内.
解析
【分析】判断点与圆的位置关系的核心方法是比较点到圆心的距离与圆半径的大小：若距离等于半径，点在圆上；若距离小于半径，点在圆内；若距离大于半径，点在圆外。首先判断点B的位置：圆心为C，点B到C的距离为BC，已知BC和圆半径均为2，可直接判断位置。再判断点D的位置：点D到C的距离是CD，结合CD⊥AB的条件，可知△BCD是直角三角形，CD是直角边、BC是斜边，根据直角三角形直角边小于斜边的性质，可得到CD和半径的大小关系，进而判断点D的位置。
【解析】已知⊙C的半径r=2，
判断点B的位置：
∵BC=2，即BC=r，
∴点B在⊙C上。
判断点D的位置：
∵CD⊥AB，
∴△BCD为直角三角形，CD、BC分别为该直角三角形的直角边和斜边，
根据直角三角形中直角边小于斜边，可得CD＜BC=2，即CD＜r，
∴点D在⊙C内。
【答案】上；内
【知识点】1.点与圆的位置关系判定 2.直角三角形的性质
【点评】本题是基础题型，侧重考查基础概念与性质的应用，解题的关键是掌握点和圆位置关系的判定规则，结合直角三角形的边长性质即可快速求解。
【难度系数】0.8
【解析】已知⊙C的半径r=2，
判断点B的位置：
∵BC=2，即BC=r，
∴点B在⊙C上。
判断点D的位置：
∵CD⊥AB，
∴△BCD为直角三角形，CD、BC分别为该直角三角形的直角边和斜边，
根据直角三角形中直角边小于斜边，可得CD＜BC=2，即CD＜r，
∴点D在⊙C内。
【答案】上；内
【知识点】1.点与圆的位置关系判定 2.直角三角形的性质
【点评】本题是基础题型，侧重考查基础概念与性质的应用，解题的关键是掌握点和圆位置关系的判定规则，结合直角三角形的边长性质即可快速求解。
【难度系数】0.8
4.「2026江苏无锡江阴月考」如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=12,以顶点D为圆心作半径为r的圆,若要求另外三个顶点A,B,C中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则r的取值范围是
5＜r＜13
.答案
4.答案 5＜r＜13
解析 连接BD(图略),
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
∵AD=5,AB=12,
∴BD=√(AD²+AB²)=√(5²+12²)=13,即三个顶点到圆心的距离分别为5,12,13,
∴r的取值范围为5＜r＜13.
解析 连接BD(图略),
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
∵AD=5,AB=12,
∴BD=√(AD²+AB²)=√(5²+12²)=13,即三个顶点到圆心的距离分别为5,12,13,
∴r的取值范围为5＜r＜13.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确点和圆的位置关系判定规则：点到圆心的距离d＜r时，点在圆内；d=r时，点在圆上；d＞r时，点在圆外。题目要求A、B、C三个顶点中至少有一个点在圆内、至少有一个点在圆外，我们需要先算出三个点到圆心D的距离，找到最小距离和最大距离：要保证有至少一个点在圆内，半径r必须大于最小的点到D的距离；要保证有至少一个点在圆外，半径r必须小于最大的点到D的距离，结合计算出的距离即可得到r的取值范围。
【解析】
连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，CD=AB=12，
已知AD=5，AB=12，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
由此可得三个顶点到圆心D的距离分别为：$DA=5$，$DC=12$，$DB=13$，
要满足至少有一个点在圆内，则r需大于最小距离5；要满足至少有一个点在圆外，则r需小于最大距离13，
因此r的取值范围是$5＜r＜13$。
【答案】
$5＜r＜13$
【知识点】
点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题是点和圆位置关系的基础应用题，解题核心是先求出各相关点到圆心的距离，再结合题目的限制条件确定半径的取值范围，理解“至少一个在圆内、至少一个在圆外”的含义是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确点和圆的位置关系判定规则：点到圆心的距离d＜r时，点在圆内；d=r时，点在圆上；d＞r时，点在圆外。题目要求A、B、C三个顶点中至少有一个点在圆内、至少有一个点在圆外，我们需要先算出三个点到圆心D的距离，找到最小距离和最大距离：要保证有至少一个点在圆内，半径r必须大于最小的点到D的距离；要保证有至少一个点在圆外，半径r必须小于最大的点到D的距离，结合计算出的距离即可得到r的取值范围。
【解析】
连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，CD=AB=12，
已知AD=5，AB=12，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
由此可得三个顶点到圆心D的距离分别为：$DA=5$，$DC=12$，$DB=13$，
要满足至少有一个点在圆内，则r需大于最小距离5；要满足至少有一个点在圆外，则r需小于最大距离13，
因此r的取值范围是$5＜r＜13$。
【答案】
$5＜r＜13$
【知识点】
点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题是点和圆位置关系的基础应用题，解题核心是先求出各相关点到圆心的距离，再结合题目的限制条件确定半径的取值范围，理解“至少一个在圆内、至少一个在圆外”的含义是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 学科特色 教材变式「2026北京丰台期中」如图，四边形ABCD中，$∠ ABC = ∠ ADC = 90°$，求证：A,B,C,D四个点在同一个圆上。
答案
5.证明 如图,取AC的中点O,连接OB,OD.
∵∠ABC=∠ADC=90°,OA=OC,
∴OA=OB=OD=OC,
∴A,B,C,D四个点在同一个圆上.
解析
【分析】
要证明四个点在同一个圆上，根据圆的定义，只需证明这四个点到同一个定点的距离相等即可。观察图形可知△ABC和△ADC都是直角三角形，且有公共斜边AC，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，取AC的中点作为定点，连接OB、OD，证明四个点到该中点的距离相等即可完成证明。
【解析】
证明：取AC的中点O，连接OB，OD。
∵∠ABC=∠ADC=90°，O是AC的中点即OA=OC，
∴在Rt△ABC中，OB为斜边AC的中线，因此OB=OA=OC；
在Rt△ADC中，OD为斜边AC的中线，因此OD=OA=OC；
综上可得OA=OB=OD=OC，
根据圆的定义，到定点O的距离等于定长OA的点都在同一个圆上，因此A,B,C,D四个点在同一个圆上。
【答案】
证明 如图,取AC的中点O,连接OB,OD.
∵∠ABC=∠ADC=90°,OA=OC,
∴OA=OB=OD=OC,
∴A,B,C,D四个点在同一个圆上.
【知识点】
1.直角三角形斜边中线性质
2.圆的定义
【点评】
本题是基础的四点共圆证明题，解题的关键是构造公共斜边的中点作为辅助线，利用直角三角形的性质得到四条线段相等，再结合圆的定义完成证明，构造斜边中点是解决直角三角形相关问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
要证明四个点在同一个圆上，根据圆的定义，只需证明这四个点到同一个定点的距离相等即可。观察图形可知△ABC和△ADC都是直角三角形，且有公共斜边AC，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，取AC的中点作为定点，连接OB、OD，证明四个点到该中点的距离相等即可完成证明。
【解析】
证明：取AC的中点O，连接OB，OD。
∵∠ABC=∠ADC=90°，O是AC的中点即OA=OC，
∴在Rt△ABC中，OB为斜边AC的中线，因此OB=OA=OC；
在Rt△ADC中，OD为斜边AC的中线，因此OD=OA=OC；
综上可得OA=OB=OD=OC，
根据圆的定义，到定点O的距离等于定长OA的点都在同一个圆上，因此A,B,C,D四个点在同一个圆上。
【答案】
证明 如图,取AC的中点O,连接OB,OD.
∵∠ABC=∠ADC=90°,OA=OC,
∴OA=OB=OD=OC,
∴A,B,C,D四个点在同一个圆上.
【知识点】
1.直角三角形斜边中线性质
2.圆的定义
【点评】
本题是基础的四点共圆证明题，解题的关键是构造公共斜边的中点作为辅助线，利用直角三角形的性质得到四条线段相等，再结合圆的定义完成证明，构造斜边中点是解决直角三角形相关问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
6.「2026吉林长春期中」下列说法中正确的是（
A.弦是直径
B.弧是半圆
C.直径是圆中最长的弦
D.半径是弦
C
）A.弦是直径
B.弧是半圆
C.直径是圆中最长的弦
D.半径是弦
答案
6.C 直径是弦,但弦不一定是直径,故A说法错误;半圆是弧,但弧不一定是半圆,故B说法错误;半径不是弦,故D说法错误;直径是圆中最长的弦,故C说法正确.故选C.
解析
【分析】
本题考查圆的相关概念辨析，解题时首先要明确弦、直径、弧、半圆、半径的定义，再逐一分析每个选项的说法是否符合定义，最终选出正确选项。核心是区分清楚一般概念和特殊概念的从属关系，不要混淆二者的边界。
【解析】
我们结合各概念的定义逐一判断选项：
A选项：弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，因此弦不一定是直径，该说法错误；
B选项：弧是圆上任意两点间的部分，分为优弧、劣弧、半圆三类，半圆只是弧的特殊情况，因此弧不一定是半圆，该说法错误；
C选项：直径是经过圆心的弦，长度等于2倍半径，是圆中最长的弦，该说法正确；
D选项：弦的两个端点都必须在圆上，半径的一个端点是圆心，不在圆上，因此半径不是弦，该说法错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
弦的定义；弧的定义；直径的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是混淆一般概念和特殊概念的从属关系，比如误将弦等同于直径、弧等同于半圆，只要准确掌握各概念的定义和区别即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
本题考查圆的相关概念辨析，解题时首先要明确弦、直径、弧、半圆、半径的定义，再逐一分析每个选项的说法是否符合定义，最终选出正确选项。核心是区分清楚一般概念和特殊概念的从属关系，不要混淆二者的边界。
【解析】
我们结合各概念的定义逐一判断选项：
A选项：弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，因此弦不一定是直径，该说法错误；
B选项：弧是圆上任意两点间的部分，分为优弧、劣弧、半圆三类，半圆只是弧的特殊情况，因此弧不一定是半圆，该说法错误；
C选项：直径是经过圆心的弦，长度等于2倍半径，是圆中最长的弦，该说法正确；
D选项：弦的两个端点都必须在圆上，半径的一个端点是圆心，不在圆上，因此半径不是弦，该说法错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
弦的定义；弧的定义；直径的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是混淆一般概念和特殊概念的从属关系，比如误将弦等同于直径、弧等同于半圆，只要准确掌握各概念的定义和区别即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
7.「2025湖南张家界桑植一模」如图，在$\odot O$中，点A,O,D在一条直线上，点B,O,C在一条直线上，那么图中弦有（
A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
B
）A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
答案
7.B 题图中的弦有AB,CE,BC,共3条.故选B.
解析
【分析】
解题首先要明确弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是特殊的弦。接下来先找出图中所有圆上的点，再逐一排查连接这些点的线段是否符合弦的定义，排除只有一个端点在圆上的半径、端点不全在圆上的非弦线段，最后统计符合要求的弦的数量即可。
【解析】
根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径属于特殊的弦。
我们逐一判断图中的线段：
1. 线段AB：两个端点A、B均在圆上，是弦；
2. 线段CE：两个端点C、E均在圆上，是弦；
3. 线段BC：两个端点B、C均在圆上，且过圆心O，是直径，也属于弦；
其余线段如OA、OB、OE、OC等是半径，只有一个端点在圆上，不是弦；线段AD的端点D不在圆上，也不是弦。
综上共有3条弦，故选B。
【答案】
B
【知识点】
弦的定义
【点评】
本题是基础概念题，解题的关键是准确掌握弦的定义，特别注意直径也是弦，同时要注意区分半径、端点不全在圆上的线段，避免多算或者漏算。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是特殊的弦。接下来先找出图中所有圆上的点，再逐一排查连接这些点的线段是否符合弦的定义，排除只有一个端点在圆上的半径、端点不全在圆上的非弦线段，最后统计符合要求的弦的数量即可。
【解析】
根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径属于特殊的弦。
我们逐一判断图中的线段：
1. 线段AB：两个端点A、B均在圆上，是弦；
2. 线段CE：两个端点C、E均在圆上，是弦；
3. 线段BC：两个端点B、C均在圆上，且过圆心O，是直径，也属于弦；
其余线段如OA、OB、OE、OC等是半径，只有一个端点在圆上，不是弦；线段AD的端点D不在圆上，也不是弦。
综上共有3条弦，故选B。
【答案】
B
【知识点】
弦的定义
【点评】
本题是基础概念题，解题的关键是准确掌握弦的定义，特别注意直径也是弦，同时要注意区分半径、端点不全在圆上的线段，避免多算或者漏算。
【难度系数】
0.8
8.「2026黑龙江月考」下列说法中正确的个数是(
①直径是圆的对称轴；
②半径相等的两个半圆是等弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④优弧一定大于劣弧.
A.1
B.2
C.3
D.4
A
)①直径是圆的对称轴；
②半径相等的两个半圆是等弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④优弧一定大于劣弧.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
8.A 直径所在的直线是圆的对称轴,故①错误;能够互相重合的弧是等弧,故③错误;同圆或等圆中,优弧一定大于劣弧,故④错误;半径相等的两个半圆是等弧,故②正确.故选A.
解析
【分析】
这是一道圆的基础概念辨析题，解题时需要逐一核对4个说法是否符合对应的数学定义：首先回忆对称轴、等弧、优弧劣弧的相关定义，逐个判断每个说法的正误，特别注意概念成立的前提条件，不能遗漏限制要求，最后统计正确说法的个数即可选出答案。
【解析】
我们逐个分析4个说法的正误：
1. 分析①：对称轴的定义是直线，而直径是线段，正确表述应为“直径所在的直线是圆的对称轴”，因此①错误；
2. 分析②：等弧的定义是能够完全重合的弧，半径相等的两个半圆可以完全重合，属于等弧，因此②正确；
3. 分析③：长度相等的两条弧，若所在圆的半径不相等，弧度不同就无法完全重合，不属于等弧，只有能够完全重合的弧才是等弧，因此③错误；
4. 分析④：优弧和劣弧的大小比较必须以同圆或等圆为前提，缺少该前提时，优弧不一定大于劣弧，因此④错误。
综上，只有1个说法正确。
【答案】A
【知识点】
圆的有关概念；等弧的定义；对称轴的概念
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对圆相关基础概念的理解，易错点是容易忽略概念的限制条件、混淆线段和直线的区别，平时学习要准确识记概念的完整表述，注意细节。
【难度系数】
0.7
这是一道圆的基础概念辨析题，解题时需要逐一核对4个说法是否符合对应的数学定义：首先回忆对称轴、等弧、优弧劣弧的相关定义，逐个判断每个说法的正误，特别注意概念成立的前提条件，不能遗漏限制要求，最后统计正确说法的个数即可选出答案。
【解析】
我们逐个分析4个说法的正误：
1. 分析①：对称轴的定义是直线，而直径是线段，正确表述应为“直径所在的直线是圆的对称轴”，因此①错误；
2. 分析②：等弧的定义是能够完全重合的弧，半径相等的两个半圆可以完全重合，属于等弧，因此②正确；
3. 分析③：长度相等的两条弧，若所在圆的半径不相等，弧度不同就无法完全重合，不属于等弧，只有能够完全重合的弧才是等弧，因此③错误；
4. 分析④：优弧和劣弧的大小比较必须以同圆或等圆为前提，缺少该前提时，优弧不一定大于劣弧，因此④错误。
综上，只有1个说法正确。
【答案】A
【知识点】
圆的有关概念；等弧的定义；对称轴的概念
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对圆相关基础概念的理解，易错点是容易忽略概念的限制条件、混淆线段和直线的区别，平时学习要准确识记概念的完整表述，注意细节。
【难度系数】
0.7
