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1[2025广东佛山质检,中]如图,有一个直角三角形纸片ABC,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm.现将直角边AC沿直线AD折叠,使点C落在斜边AB上的点E处,则CD的长为 (
A.5 cm
B.4 cm
C.3 cm
D.2 cm
(第1题图)
(第2题图)
C
)A.5 cm
B.4 cm
C.3 cm
D.2 cm
(第1题图)
(第2题图)
答案
1.C 【解析】因为∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,所以AB²=AC²+BC²=6²+8²=100,所以AB=10 cm. 由折叠可得∠AED=∠C=90°,AE=AC=6 cm,CD=DE,所以∠DEB=90°,BE=AB-AE=4 cm. 设CD=x cm,则DE=x cm,BD=BC-CD=(8-x) cm. 在Rt△BDE中,由勾股定理,得(8-x)²=x²+4²,解得x=3,所以CD=3 cm. 故选C.
解析
【分析】
解决这道题首先要明确折叠问题的核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。第一步，已知Rt△ABC的两条直角边，可先用勾股定理求出斜边AB的长度；第二步，根据折叠性质得到AE=AC、CD=DE、∠AED=∠C=90°，进而求出BE的长度，同时可知△BDE是直角三角形；第三步，设CD的长为x，用含x的式子表示出DE和BD的长度，最后在Rt△BDE中利用勾股定理列方程，求解即可得到CD的长度。
【解析】
解：
∵∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AB²=AC²+BC²=6²+8²=100，
∴AB=10 cm。
由折叠的性质可得：∠AED=∠C=90°，AE=AC=6 cm，CD=DE，
∴∠DEB=180°-∠AED=90°，BE=AB-AE=10-6=4 cm。
设CD=x cm，则DE=x cm，BD=BC-CD=(8-x) cm，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD²=DE²+BE²，即(8-x)²=x²+4²，
展开得64-16x+x²=x²+16，
化简解得x=3，
∴CD=3 cm。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；折叠的性质；方程法解几何题
【点评】
本题是勾股定理与折叠问题结合的经典题型，解题的核心是抓住折叠前后的不变量（相等的边、相等的角），将未知线段转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解，这种方法是解决几何中线段长度计算问题的常用思路。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确折叠问题的核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。第一步，已知Rt△ABC的两条直角边，可先用勾股定理求出斜边AB的长度；第二步，根据折叠性质得到AE=AC、CD=DE、∠AED=∠C=90°，进而求出BE的长度，同时可知△BDE是直角三角形；第三步，设CD的长为x，用含x的式子表示出DE和BD的长度，最后在Rt△BDE中利用勾股定理列方程，求解即可得到CD的长度。
【解析】
解：
∵∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得AB²=AC²+BC²=6²+8²=100，
∴AB=10 cm。
由折叠的性质可得：∠AED=∠C=90°，AE=AC=6 cm，CD=DE，
∴∠DEB=180°-∠AED=90°，BE=AB-AE=10-6=4 cm。
设CD=x cm，则DE=x cm，BD=BC-CD=(8-x) cm，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD²=DE²+BE²，即(8-x)²=x²+4²，
展开得64-16x+x²=x²+16，
化简解得x=3，
∴CD=3 cm。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；折叠的性质；方程法解几何题
【点评】
本题是勾股定理与折叠问题结合的经典题型，解题的核心是抓住折叠前后的不变量（相等的边、相等的角），将未知线段转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解，这种方法是解决几何中线段长度计算问题的常用思路。
【难度系数】
0.7
2[2026山西运城质检,中]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=3$,$BC=8$,将它的锐角$A$翻折,使得点$A$落在边$BC$的中点$D$处,点$C$落在点$C'$处,折痕交边$AC$的延长线于点$E$,交边$AB$于点$F$,则$DE$的长为 (
A.1
B.2
C.$\dfrac{25}{6}$
D.$\dfrac{25}{8}$
C
)A.1
B.2
C.$\dfrac{25}{6}$
D.$\dfrac{25}{8}$
答案
2.C 【解析】设DE=x. 由折叠可得DE=AE=x,所以CE=AE-AC=x-3. 因为BC=8,D为BC的中点,所以CD=4. 因为∠ACB=90°,所以∠ECD=90°,所以CE²+CD²=DE²,所以(x-3)²+4²=x²,解得x=$\frac{25}{6}$,故选C.
解析
【分析】
遇到折叠类几何计算问题，首先利用折叠的性质找相等的量：本题中将点A翻折到点D，可得对应边AE=DE，这是建立等量关系的核心。接下来考虑用方程思想求解：设DE的长为x，即可用含x的式子表示出CE的长度；再结合D是BC中点求出CD的长度，观察发现△ECD是直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得到DE的长。
【解析】
设$DE=x$，由折叠的性质可得$DE=AE=x$，
$\therefore CE=AE-AC=x-3$。
$\because BC=8$，D为BC的中点，
$\therefore CD=\frac{1}{2}BC=4$。
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ECD=180°-∠ ACB=90°$，即$△ ECD$是直角三角形。
根据勾股定理得：$CE^2+CD^2=DE^2$，
代入得$(x-3)^2+4^2=x^2$，
展开化简得：$x^2-6x+9+16=x^2$，
解得$x=\frac{25}{6}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，线段中点定义
【点评】
本题是折叠问题与勾股定理结合的典型题型，解题关键是利用折叠性质得到相等线段，再通过设未知数结合勾股定理列方程求解，很好地考查了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
遇到折叠类几何计算问题，首先利用折叠的性质找相等的量：本题中将点A翻折到点D，可得对应边AE=DE，这是建立等量关系的核心。接下来考虑用方程思想求解：设DE的长为x，即可用含x的式子表示出CE的长度；再结合D是BC中点求出CD的长度，观察发现△ECD是直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得到DE的长。
【解析】
设$DE=x$，由折叠的性质可得$DE=AE=x$，
$\therefore CE=AE-AC=x-3$。
$\because BC=8$，D为BC的中点，
$\therefore CD=\frac{1}{2}BC=4$。
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ECD=180°-∠ ACB=90°$，即$△ ECD$是直角三角形。
根据勾股定理得：$CE^2+CD^2=DE^2$，
代入得$(x-3)^2+4^2=x^2$，
展开化简得：$x^2-6x+9+16=x^2$，
解得$x=\frac{25}{6}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，线段中点定义
【点评】
本题是折叠问题与勾股定理结合的典型题型，解题关键是利用折叠性质得到相等线段，再通过设未知数结合勾股定理列方程求解，很好地考查了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
3[中]如图,三角形纸片ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸片折叠,使点B落在边BC上的点D处;再折叠纸片,使点C与点D重合,若折痕与AC的交点为E,则AE的长是 (
A.$\frac{13}{6}$
B.$\frac{5}{6}$
C.$\frac{7}{6}$
D.$\frac{6}{5}$
(第3题图)
(第4题图)
A
)A.$\frac{13}{6}$
B.$\frac{5}{6}$
C.$\frac{7}{6}$
D.$\frac{6}{5}$
(第3题图)
(第4题图)
答案
3.A 【解析】因为沿过点A的直线将纸片折叠,使点B落在边BC上的点D处,所以AD=AB=2,∠B=∠ADB. 因为折叠纸片,使点C与点D重合,所以CE=DE,∠C=∠CDE. 因为∠BAC=90°,所以∠B+∠C=90°,所以∠ADB+∠CDE=90°,所以∠ADE=90°,所以AD²+DE²=AE². 设AE=x,则CE=DE=3-x,所以2²+(3-x)²=x²,解得x=$\frac{13}{6}$,所以AE=$\frac{13}{6}$. 故选A.
解析
【分析】
遇到折叠类几何题，首先要利用折叠的性质，即折叠前后对应边相等、对应角相等。本题有两次折叠，先通过第一次折叠得到AD与AB的等量关系、∠B与∠ADB的等量关系，再通过第二次折叠得到DE与CE的等量关系、∠C与∠CDE的等量关系；接下来结合∠BAC=90°，利用直角三角形两锐角互余，推导得出∠ADE为直角，得到Rt△ADE；最后设AE的长为未知数，将DE用含未知数的式子表示，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵ 沿过点A的直线折叠纸片，点B落在BC上的D处，
∴ AD=AB=2，∠B=∠ADB。
∵ 再次折叠纸片，点C与点D重合，
∴ CE=DE，∠C=∠CDE。
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠B+∠C=90°，
∴ ∠ADB+∠CDE=90°，
∴ ∠ADE=180°-(∠ADB+∠CDE)=90°，即△ADE是直角三角形。
设AE=x，则CE=AC-AE=3-x，
∴ DE=CE=3-x。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：$AD^2+DE^2=AE^2$，
代入数据得：$2^2+(3-x)^2=x^2$，
展开计算：$4+9-6x+x^2=x^2$，
整理得：$13=6x$，
解得：$x=\frac{13}{6}$，即$AE=\frac{13}{6}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是折叠问题的典型考题，核心是结合折叠的性质挖掘边、角的等量关系，构造直角三角形后利用勾股定理列方程求解，体现了几何问题中方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
遇到折叠类几何题，首先要利用折叠的性质，即折叠前后对应边相等、对应角相等。本题有两次折叠，先通过第一次折叠得到AD与AB的等量关系、∠B与∠ADB的等量关系，再通过第二次折叠得到DE与CE的等量关系、∠C与∠CDE的等量关系；接下来结合∠BAC=90°，利用直角三角形两锐角互余，推导得出∠ADE为直角，得到Rt△ADE；最后设AE的长为未知数，将DE用含未知数的式子表示，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵ 沿过点A的直线折叠纸片，点B落在BC上的D处，
∴ AD=AB=2，∠B=∠ADB。
∵ 再次折叠纸片，点C与点D重合，
∴ CE=DE，∠C=∠CDE。
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠B+∠C=90°，
∴ ∠ADB+∠CDE=90°，
∴ ∠ADE=180°-(∠ADB+∠CDE)=90°，即△ADE是直角三角形。
设AE=x，则CE=AC-AE=3-x，
∴ DE=CE=3-x。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：$AD^2+DE^2=AE^2$，
代入数据得：$2^2+(3-x)^2=x^2$，
展开计算：$4+9-6x+x^2=x^2$，
整理得：$13=6x$，
解得：$x=\frac{13}{6}$，即$AE=\frac{13}{6}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题是折叠问题的典型考题，核心是结合折叠的性质挖掘边、角的等量关系，构造直角三角形后利用勾股定理列方程求解，体现了几何问题中方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
4[2025重庆大渡口区期中,中]如图,△ABC为等腰直角三角形,AB=AC=4,∠A=90°,点E为AC上一点,且CE=1,点D为AB上一点,连接DE,将△ABC沿DE折叠,使点A落在点A'处,若EA'的延长线恰好经过点B,则AD=
$\boldsymbol{\dfrac{3}{2}}$
.答案
4.$\frac{3}{2}$ 【解析】如图.
因为CE=1,所以AE=AC-CE=3. 因为∠A=90°,所以在Rt△ABE中,BE²=AB²+AE²=25,所以BE=5. 设AD=x. 由折叠的性质,得∠DA'E=∠A=90°,A'D=AD=x,A'E=AE=3,所以BA'=BE-A'E=2,BD=AB-AD=4-x. 在Rt△A'DB中,由勾股定理得BD²=BA'²+DA'²,所以2²+x²=(4-x)²,解得x=$\frac{3}{2}$,所以AD=$\frac{3}{2}$. 故答案为$\frac{3}{2}$.思路分析
由勾股定理求出BE的长.
设AD=x,由折叠的性质得A'D=AD=x,A'E=AE=3,得到BA'=2,BD=4-x,在Rt△A'DB中,由勾股定理求出x的值即可.
技巧点拨
本题考查了翻折变换以及勾股定理的应用. 解题时常常设要求的线段长为x,然后根据折叠的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求解即可.
解析
【分析】
本题为折叠类几何计算题，解题可按以下思路推进：首先利用已知的AC、CE长度求出AE的长度；再由EA'的延长线过点B可知△ABE是直角三角形，借助勾股定理算出BE的长度；接着利用折叠的性质得到对应边、对应角相等的关系，算出BA'的长度；最后设AD的长度为x，用含x的代数式表示BD的长度，在Rt△A'DB中利用勾股定理列方程求解，即可得到AD的长度。
【解析】
如图.
∵AC=4，CE=1，
∴AE=AC-CE=4-1=3，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，
∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：$BE^2=AB^2+AE^2=4^2+3^2=25$，
∴BE=5。
设AD=x，
由折叠的性质可得：∠DA'E=∠A=90°，A'D=AD=x，A'E=AE=3，
∴BA'=BE - A'E=5-3=2，BD=AB - AD=4 - x，
在Rt△A'DB中，由勾股定理得：$BD^2=BA'^2+A'D^2$，
即$(4-x)^2=2^2+x^2$，
展开化简得$16-8x=4$，解得$x=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是折叠问题的典型考法，解题核心是利用折叠的性质转化相等的边和角，再结合勾股定理建立方程求解，体现了几何计算中方程思想的应用，需要熟练掌握折叠前后对应量相等的特点，准确找到合适的直角三角形列方程求解。
【难度系数】
0.6
本题为折叠类几何计算题，解题可按以下思路推进：首先利用已知的AC、CE长度求出AE的长度；再由EA'的延长线过点B可知△ABE是直角三角形，借助勾股定理算出BE的长度；接着利用折叠的性质得到对应边、对应角相等的关系，算出BA'的长度；最后设AD的长度为x，用含x的代数式表示BD的长度，在Rt△A'DB中利用勾股定理列方程求解，即可得到AD的长度。
【解析】
如图.
∵AC=4，CE=1，
∴AE=AC-CE=4-1=3，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，
∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：$BE^2=AB^2+AE^2=4^2+3^2=25$，
∴BE=5。
设AD=x，
由折叠的性质可得：∠DA'E=∠A=90°，A'D=AD=x，A'E=AE=3，
∴BA'=BE - A'E=5-3=2，BD=AB - AD=4 - x，
在Rt△A'DB中，由勾股定理得：$BD^2=BA'^2+A'D^2$，
即$(4-x)^2=2^2+x^2$，
展开化简得$16-8x=4$，解得$x=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是折叠问题的典型考法，解题核心是利用折叠的性质转化相等的边和角，再结合勾股定理建立方程求解，体现了几何计算中方程思想的应用，需要熟练掌握折叠前后对应量相等的特点，准确找到合适的直角三角形列方程求解。
【难度系数】
0.6
5[2025河南南阳期末,中]如图,在长方形ABCD中,AB=3 cm,BC=4 cm.将长方形ABCD沿对角线AC折叠,点D落在D'处,AD'与BC相交于点E,则BE的长为 (
A.$\frac{7}{8}$ cm
B.$\frac{3}{4}$ cm
C.$\frac{2}{3}$ cm
D.$\frac{5}{6}$ cm
A
)A.$\frac{7}{8}$ cm
B.$\frac{3}{4}$ cm
C.$\frac{2}{3}$ cm
D.$\frac{5}{6}$ cm
答案
5.A 【解析】设BE=x cm,则EC=(4-x) cm. 根据折叠的性质得CD=CD',∠D=∠D'. 因为四边形ABCD为长方形,所以AB=CD=3 cm,∠B=∠D=90°,所以AB=CD'=3 cm,∠B=∠D'=90°. 在△ABE和△CD'E中,因为∠B=∠D',∠AEB=∠CED',AB=CD',所以△ABE≌△CD'E(AAS),所以BE=ED'=x cm. 在Rt△CED'中,EC²=ED'²+CD'²,所以(4-x)²=x²+3²,解得x=$\frac{7}{8}$,所以BE=$\frac{7}{8}$ cm. 故选A.
解析
【分析】
本题是矩形折叠类求线段长度的问题，解题可按以下思路展开：1. 折叠问题优先利用折叠性质，得到折叠前后对应边、对应角相等，再结合矩形对边相等、四个角为直角的性质，梳理图中相等的边和角；2. 无法直接计算BE长度时，可设BE长为x，用含x的式子表示出EC的长度；3. 通过角角边证明△ABE和△CD'E全等，得到ED'与BE相等，将未知边转化到Rt△CD'E中；4. 利用勾股定理列关于x的方程，解方程即可得到BE的长度。
【解析】
设BE=x cm，则EC=BC-BE=(4-x) cm。
根据折叠的性质可得：CD=CD'，∠D=∠D'。
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=CD=3 cm，∠B=∠D=90°，
∴AB=CD'=3 cm，∠B=∠D'=90°。
在△ABE和△CD'E中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ D'\\∠ AEB=∠ CED'\\AB=CD'\end{array} $
∴△ABE≌△CD'E（AAS），
∴BE=ED'=x cm。
在Rt△CED'中，由勾股定理得$EC^2=ED'^2+CD'^2$，
代入得：$(4-x)^2=x^2+3^2$，
展开得：$16-8x+x^2=x^2+9$，
移项合并同类项得：$8x=7$，
解得：$x=\frac{7}{8}$，即BE的长为$\frac{7}{8}$ cm。
【答案】A
【知识点】
折叠的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是折叠问题的常考题型，综合了矩形性质、全等判定、勾股定理等知识，核心解题方法是通过设未知数，将相关线段转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理构造方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
本题是矩形折叠类求线段长度的问题，解题可按以下思路展开：1. 折叠问题优先利用折叠性质，得到折叠前后对应边、对应角相等，再结合矩形对边相等、四个角为直角的性质，梳理图中相等的边和角；2. 无法直接计算BE长度时，可设BE长为x，用含x的式子表示出EC的长度；3. 通过角角边证明△ABE和△CD'E全等，得到ED'与BE相等，将未知边转化到Rt△CD'E中；4. 利用勾股定理列关于x的方程，解方程即可得到BE的长度。
【解析】
设BE=x cm，则EC=BC-BE=(4-x) cm。
根据折叠的性质可得：CD=CD'，∠D=∠D'。
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=CD=3 cm，∠B=∠D=90°，
∴AB=CD'=3 cm，∠B=∠D'=90°。
在△ABE和△CD'E中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ D'\\∠ AEB=∠ CED'\\AB=CD'\end{array} $
∴△ABE≌△CD'E（AAS），
∴BE=ED'=x cm。
在Rt△CED'中，由勾股定理得$EC^2=ED'^2+CD'^2$，
代入得：$(4-x)^2=x^2+3^2$，
展开得：$16-8x+x^2=x^2+9$，
移项合并同类项得：$8x=7$，
解得：$x=\frac{7}{8}$，即BE的长为$\frac{7}{8}$ cm。
【答案】A
【知识点】
折叠的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是折叠问题的常考题型，综合了矩形性质、全等判定、勾股定理等知识，核心解题方法是通过设未知数，将相关线段转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理构造方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
6[2025浙江宁波期中,中]如图,长方形纸片ABCD,AB=10,AD=8,点P在AD边上,将△CDP沿CP折叠,点D落在E处,PE,CE分别交AB于点O,F,且OP=OF,则BF的长为
$\boldsymbol{\dfrac{10}{3}}$
.答案
6.$\frac{10}{3}$ 【解析】因为四边形ABCD为长方形,所以∠A=∠B=∠D=90°,AD=BC=8,AB=CD=10. 根据折叠的性质得PE=DP,∠E=∠D=∠A,CE=DC=10. 因为OP=OF,∠AOP=∠EOF,∠A=∠E,所以△OAP≌△OEF,所以OA=OE,AP=EF,所以OA+OF=OE+OP,即AF=PE,所以AF=PE=DP. 设AP=x,则EF=x,AF=PE=DP=AD-AP=8-x,所以CF=10-x,BF=10-(8-x)=x+2. 在Rt△CBF中,CF²=BF²+BC²,即(10-x)²=(x+2)²+8²,解得x=$\frac{4}{3}$,所以BF=$\frac{4}{3}$+2=$\frac{10}{3}$. 故答案为$\frac{10}{3}$.
解析
【分析】
这是长方形中的折叠问题，解题时首先利用折叠的性质得到对应边、对应角相等的关系；再结合已知条件OP=OF，借助对顶角相等、折叠得到的∠E=∠A=90°，证明△OAP和△OEF全等，推导出线段之间的等量关系，将未知线段用同一个未知数表示，最后在直角三角形CBF中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，AD=BC=8，AB=CD=10。
由折叠的性质可得△CDP≌△CEP，
∴PE=DP，∠E=∠D=90°=∠A，CE=CD=10。
在△OAP和△OEF中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠E\\∠AOP=∠EOF\\OP=OF\end{array} $
∴△OAP≌△OEF（AAS），
∴OA=OE，AP=EF，
∴OA+OF=OE+OP，即AF=PE，
∴AF=PE=DP。
设AP=x，则EF=x，AF=PE=DP=AD-AP=8-x，
∴CF=CE-EF=10-x，BF=AB-AF=10-(8-x)=x+2。
在Rt△CBF中，由勾股定理得$CF^2=BF^2+BC^2$，
代入得$(10-x)^2=(x+2)^2+8^2$，
展开整理得$24x=32$，解得$x=\frac{4}{3}$，
∴BF=$\frac{4}{3}+2=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何的典型题型，结合了全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用，通过设未知数表示相关线段长度，利用勾股定理构造方程求解，体现了方程思想和数形结合思想。
【难度系数】
0.6
这是长方形中的折叠问题，解题时首先利用折叠的性质得到对应边、对应角相等的关系；再结合已知条件OP=OF，借助对顶角相等、折叠得到的∠E=∠A=90°，证明△OAP和△OEF全等，推导出线段之间的等量关系，将未知线段用同一个未知数表示，最后在直角三角形CBF中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，AD=BC=8，AB=CD=10。
由折叠的性质可得△CDP≌△CEP，
∴PE=DP，∠E=∠D=90°=∠A，CE=CD=10。
在△OAP和△OEF中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠E\\∠AOP=∠EOF\\OP=OF\end{array} $
∴△OAP≌△OEF（AAS），
∴OA=OE，AP=EF，
∴OA+OF=OE+OP，即AF=PE，
∴AF=PE=DP。
设AP=x，则EF=x，AF=PE=DP=AD-AP=8-x，
∴CF=CE-EF=10-x，BF=AB-AF=10-(8-x)=x+2。
在Rt△CBF中，由勾股定理得$CF^2=BF^2+BC^2$，
代入得$(10-x)^2=(x+2)^2+8^2$，
展开整理得$24x=32$，解得$x=\frac{4}{3}$，
∴BF=$\frac{4}{3}+2=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何的典型题型，结合了全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用，通过设未知数表示相关线段长度，利用勾股定理构造方程求解，体现了方程思想和数形结合思想。
【难度系数】
0.6
7[2026内蒙古包头期中,较难]如图,动点E,P分别是正方形ABCD的边BC,CD上的动点,沿AE,AP折叠正方形,点B,D的对应点恰好都落在O处,若AB=9,当点P是CD边的三等分点时,BE的长为
$\boldsymbol{\dfrac{9}{2}}$或$\boldsymbol{\dfrac{9}{5}}$
。答案
7.$\frac{9}{2}$或$\frac{9}{5}$ 【解析】如图(1),当点P是靠近点D的三等分点时,因为四边形ABCD是正方形,所以AB=BC=CD=AD=9,所以DP=$\frac{1}{3}$CD=3,所以CP=CD-DP=9-3=6. 由折叠可知OP=DP=3. 设BE=x,则OE=BE=x,PE=OE+OP=x+3,CE=BC-BE=9-x. 在Rt△PCE中,由勾股定理可得CP²+CE²=PE²,所以6²+(9-x)²=(x+3)²,整理得24x=108,解得x=$\frac{9}{2}$,所以当点P是靠近点D的三等分点时,BE的长为$\frac{9}{2}$. 如图(2),当点P是靠近点C的三等分点时,由题意可知DP=$\frac{2}{3}$CD=6,所以CP=CD-DP=9-6=3. 由折叠可知OP=DP=6. 设BE=y,则OE=BE=y,PE=OE+OP=y+6,CE=BC-BE=9-y. 在Rt△PCE中,由勾股定理可得CP²+CE²=PE²,所以3²+(9-y)²=(y+6)²,整理得30y=54,解得y=$\frac{9}{5}$,所以当点P是靠近点C的三等分点时,BE的长为$\frac{9}{5}$. 综上所述,当点P是CD边的三等分点时,BE的长为$\frac{9}{2}$或$\frac{9}{5}$. 故答案为$\frac{9}{2}$或$\frac{9}{5}$.
解析
【分析】
本题是正方形背景下的折叠问题，解题思路如下：①先明确分类：点P是CD的三等分点，存在靠近点D、靠近点C两种情况，需分别讨论；②利用折叠性质找等量关系：折叠前后对应边相等，可得BE=OE，DP=OP，因此PE的长度可表示为BE与DP的和；③设未知数结合勾股定理列方程：将Rt△PCE的三边都用含BE的代数式表示，利用勾股定理建立方程求解即可。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，AB=9，
∴AB=BC=CD=AD=9，∠C=90°，分两种情况讨论：
（1）当点P是靠近点D的三等分点时，如图(1)：
$DP=\frac{1}{3}CD=\frac{1}{3}×9=3$，
∴$CP=CD-DP=9-3=6$。
由折叠的性质可知：$OE=BE$，$OP=DP=3$。
设$BE=x$，则$OE=x$，$PE=OE+OP=x+3$，$CE=BC-BE=9-x$。
在Rt△PCE中，由勾股定理得$CP^2+CE^2=PE^2$，
代入得：$6^2+(9-x)^2=(x+3)^2$，
整理得$24x=108$，解得$x=\frac{9}{2}$，即$BE=\frac{9}{2}$。
（2）当点P是靠近点C的三等分点时，如图(2)：
$DP=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}×9=6$，
∴$CP=CD-DP=9-6=3$。
由折叠的性质可知：$OE=BE$，$OP=DP=6$。
设$BE=y$，则$OE=y$，$PE=OE+OP=y+6$，$CE=BC-BE=9-y$。
在Rt△PCE中，由勾股定理得$CP^2+CE^2=PE^2$，
代入得：$3^2+(9-y)^2=(y+6)^2$，
整理得$30y=54$，解得$y=\frac{9}{5}$，即$BE=\frac{9}{5}$。
综上，BE的长为$\frac{9}{2}$或$\frac{9}{5}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$或$\frac{9}{5}$
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题需要结合分类讨论思想解题，解题核心是利用折叠的性质得到相等线段，再将直角三角形的边长用未知数表示，借助勾股定理构造方程求解，注意不要遗漏三等分点的两种情况。
【难度系数】
0.4
本题是正方形背景下的折叠问题，解题思路如下：①先明确分类：点P是CD的三等分点，存在靠近点D、靠近点C两种情况，需分别讨论；②利用折叠性质找等量关系：折叠前后对应边相等，可得BE=OE，DP=OP，因此PE的长度可表示为BE与DP的和；③设未知数结合勾股定理列方程：将Rt△PCE的三边都用含BE的代数式表示，利用勾股定理建立方程求解即可。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，AB=9，
∴AB=BC=CD=AD=9，∠C=90°，分两种情况讨论：
（1）当点P是靠近点D的三等分点时，如图(1)：
$DP=\frac{1}{3}CD=\frac{1}{3}×9=3$，
∴$CP=CD-DP=9-3=6$。
由折叠的性质可知：$OE=BE$，$OP=DP=3$。
设$BE=x$，则$OE=x$，$PE=OE+OP=x+3$，$CE=BC-BE=9-x$。
在Rt△PCE中，由勾股定理得$CP^2+CE^2=PE^2$，
代入得：$6^2+(9-x)^2=(x+3)^2$，
整理得$24x=108$，解得$x=\frac{9}{2}$，即$BE=\frac{9}{2}$。
（2）当点P是靠近点C的三等分点时，如图(2)：
$DP=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}×9=6$，
∴$CP=CD-DP=9-6=3$。
由折叠的性质可知：$OE=BE$，$OP=DP=6$。
设$BE=y$，则$OE=y$，$PE=OE+OP=y+6$，$CE=BC-BE=9-y$。
在Rt△PCE中，由勾股定理得$CP^2+CE^2=PE^2$，
代入得：$3^2+(9-y)^2=(y+6)^2$，
整理得$30y=54$，解得$y=\frac{9}{5}$，即$BE=\frac{9}{5}$。
综上，BE的长为$\frac{9}{2}$或$\frac{9}{5}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$或$\frac{9}{5}$
【知识点】
正方形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题需要结合分类讨论思想解题，解题核心是利用折叠的性质得到相等线段，再将直角三角形的边长用未知数表示，借助勾股定理构造方程求解，注意不要遗漏三等分点的两种情况。
【难度系数】
0.4
8[2025江苏苏州质检,中]如图,长方形ABCD中,AB=6,AD=8,点E是CD边上一点,把△ADE沿直线AE折叠,点D恰好落在AC上的点F处.
(1)求AC的长.
(2)求DE的长.
(1)求AC的长.
(2)求DE的长.
答案
8.【解】(1)在长方形ABCD中,AB=6,AD=8,所以BC=AD=8,CD=AB=6,∠B=∠D=90°. 在Rt△ABC中,由勾股定理得AC²=AB²+BC²=6²+8²=100,所以AC=10.
(2)由折叠的性质可知,AF=AD=8,DE=EF,∠AFE=∠D=90°,所以∠CFE=90°,CF=AC-AF=2. 设DE=EF=x,则CE=6-x. 在Rt△CEF中,由勾股定理得EF²+CF²=CE²,即x²+2²=(6-x)²,解得x=$\frac{8}{3}$,所以DE=$\frac{8}{3}$.
(2)由折叠的性质可知,AF=AD=8,DE=EF,∠AFE=∠D=90°,所以∠CFE=90°,CF=AC-AF=2. 设DE=EF=x,则CE=6-x. 在Rt△CEF中,由勾股定理得EF²+CF²=CE²,即x²+2²=(6-x)²,解得x=$\frac{8}{3}$,所以DE=$\frac{8}{3}$.
解析
【分析】
(1) 求AC的长时，先利用矩形的性质得到直角和边长关系：矩形四个角为直角，对边相等，因此BC=AD=8，∠B=90°，AC是Rt△ABC的斜边，已知两条直角边AB、BC的长度，直接用勾股定理即可计算AC。
(2) 求DE的长时，先利用折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，可得AF=AD=8，DE=EF，∠AFE=∠D=90°，由此算出CF=AC-AF=2，且△CEF为直角三角形。设DE=x，那么EF=x，CE=6-x，在Rt△CEF中根据勾股定理列方程求解即可得到DE的长度。
【解析】
(1) 在长方形ABCD中，AB=6，AD=8，所以BC=AD=8，CD=AB=6，∠B=∠D=90°。在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2+BC^2=6^2+8^2=100$，
所以$AC=10$。
(2) 由折叠的性质可知，$AF=AD=8$，$DE=EF$，$∠ AFE=∠ D=90°$，
所以$∠ CFE=90°$，$CF=AC-AF=10-8=2$。
设$DE=EF=x$，则$CE=6-x$，
在Rt△CEF中，由勾股定理得$EF^2+CF^2=CE^2$，
即$x^2+2^2=(6-x)^2$，
解得$x=\frac{8}{3}$，所以$DE=\frac{8}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$
(2) $\boldsymbol{\frac{8}{3}}$
【知识点】
勾股定理，矩形的性质，折叠的性质
【点评】
本题是勾股定理与折叠问题结合的典型习题，第一问较为基础，直接利用矩形性质结合勾股定理即可求解；第二问需要借助折叠的性质转化边和角的关系，通过设未知数列方程的方式求解，体现了转化思想和方程思想的应用，熟练掌握折叠前后对应边、对应角相等是解题的关键。
【难度系数】
0.65
(1) 求AC的长时，先利用矩形的性质得到直角和边长关系：矩形四个角为直角，对边相等，因此BC=AD=8，∠B=90°，AC是Rt△ABC的斜边，已知两条直角边AB、BC的长度，直接用勾股定理即可计算AC。
(2) 求DE的长时，先利用折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，可得AF=AD=8，DE=EF，∠AFE=∠D=90°，由此算出CF=AC-AF=2，且△CEF为直角三角形。设DE=x，那么EF=x，CE=6-x，在Rt△CEF中根据勾股定理列方程求解即可得到DE的长度。
【解析】
(1) 在长方形ABCD中，AB=6，AD=8，所以BC=AD=8，CD=AB=6，∠B=∠D=90°。在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC^2=AB^2+BC^2=6^2+8^2=100$，
所以$AC=10$。
(2) 由折叠的性质可知，$AF=AD=8$，$DE=EF$，$∠ AFE=∠ D=90°$，
所以$∠ CFE=90°$，$CF=AC-AF=10-8=2$。
设$DE=EF=x$，则$CE=6-x$，
在Rt△CEF中，由勾股定理得$EF^2+CF^2=CE^2$，
即$x^2+2^2=(6-x)^2$，
解得$x=\frac{8}{3}$，所以$DE=\frac{8}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$
(2) $\boldsymbol{\frac{8}{3}}$
【知识点】
勾股定理，矩形的性质，折叠的性质
【点评】
本题是勾股定理与折叠问题结合的典型习题，第一问较为基础，直接利用矩形性质结合勾股定理即可求解；第二问需要借助折叠的性质转化边和角的关系，通过设未知数列方程的方式求解，体现了转化思想和方程思想的应用，熟练掌握折叠前后对应边、对应角相等是解题的关键。
【难度系数】
0.65
