7. 传说古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为 $ m $ 的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为 $ n $ 的直角三角形，则这个直角三角形的面积（用含 $ m,n $ 的代数式表示）为（ ）
A. $\dfrac{m^2 - 2mn}{4}$
B. $\dfrac{m^2 + 2mn}{4}$
C. $\dfrac{m^2 - 2mn}{2}$
D. $\dfrac{m^2 + 2mn}{2}$

A

8. 如图①是传统手工磨豆的设备,根据它的原理设计了如图②所示的机械设备,磨盘半径$OM=20\ \mathrm{cm}$,把手$MQ=15\ \mathrm{cm}$,$O,M,Q$三点在同一条直线上,用长为$135\ \mathrm{cm}$的连杆将点$Q$与动力装置$P$相连($∠ PQM$的度数可变),点$P$在轨道$AB$上来回滑动并带动磨盘绕点$O$转动,$OA ⊥ AB$,$OA=80\ \mathrm{cm}$.若磨盘转动一周,则点$P$在轨道$AB$上滑过的路径长为
（）
A. $90\ \mathrm{cm}$
B. $150\ \mathrm{cm}$
C. $180\ \mathrm{cm}$
D. $70π\ \mathrm{cm}$

C

9. (亮点原创)·如图,正方形ABCD的边长为3,E,F分别是边AB,BC上的点,连接DE,DF,EF,且$∠EDF=45°$,将$△DAE$绕点D逆时针旋转$90°$,得到$△DCM$.若$BF=1.5$,则CM的长为________.

1

10. 新素养 几何直观 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,AB=5\ \mathrm{cm},BC=3\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$出发,以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿折线$A\to C\to B\to A$运动.设运动的时间为$t\ \mathrm{s}(t＞0)$.
(1)若点$P$在$AC$上,且满足$PA=PB$,求此时$t$的值;
(2)若点$P$恰好在$∠ BAC$的平分线上,求此时$t$的值.

; 解：​$(1)$​在​$Rt\triangle ABC$​中，​$∠C = 90°，$​​$AB = 5\ \mathrm {cm}，$​​$BC = 3\ \mathrm {cm}$​由勾股定理，得​$AB^2=AC^2+BC^2$​即​$AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=\sqrt {5^2-3^2}=4\ \mathrm {cm}$​由题意，得​$P B = P A = 2t\mathrm {cm}，$​且​$t\leqslant 2$​则​$P C = AC - P A=(4 - 2t)\mathrm {cm}$​在​$Rt\triangle P CB$​中，由勾股定理，得​$P C^2+BC^2=P B^2$​∴​$(4 - 2t)^2+3^2=(2t)^2，$​解得​$t=\frac {25}{16}$​∴当​$t = \frac {25}{16}$​时，点​$P $​在​$AC$​上，且​$P A = PB$​​$(2)$​当点​$P $​在​$∠BAC$​的平分线上时，点​$P $​必在边​$BC$​上，过点​$P $​作​$PE\perp AB$​于点​$E$​又​$∠C = 90°，$​∴​$AC\perp P C，$​∴​$PE = P C$​由​$(1)$​得​$AC = 4\ \mathrm {cm}，$​且​$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AP C}+S_{\triangle AP B}$​∴​$\frac 12\ \mathrm {A}C·BC=\frac 12\ \mathrm {A}C·P C+\frac 12\ \mathrm {A}B·PE，$​即​$AC·BC=(AC + AB)·P C$​∴​$P C=\frac {AC·BC}{AC + AB}=\frac {4×3}{4 + 5}=\frac 43\ \mathrm {cm}$​又​$P C=(2\ \mathrm {t} - 4)\mathrm {cm}，$​且​$2\leqslant t\leqslant \frac 72$​∴​$2\ \mathrm {t} - 4=\frac 43，$​解得​$t=\frac 83$​∴当​$t=\frac 83$​时，点​$P $​在​$∠BAC$​的平分线上

11. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ACB = 90°$,$AC＞BC$,分别以$△ ABC$ 的三边为边向外作正方形 $ABHL$、正方形 $ACDE$ 和正方形 $BCFG$.连接 $DF$,过点 $C$ 作 $AB$ 的垂线 $CJ$,垂足为 $J$,分别交 $DF$,$LH$ 于 $I$,$K$ 两点.若 $CI = 5$,$CJ = 4$,则长方形 $AJKL$ 的面积是 ______.

80