5. (人教九上P42改编)(1)抛物线的顶点坐标为$(2,1)$,且经过点$(1,0)$,则该抛物线对应的函数解析式为;
(2)抛物线经过$(-1,-1),(0,-2),(1,1)$三点,则该抛物线对应的函数解析式为.

(1)$y=-x^{2}+4x - 3$；
(2)$y = 2x^{2}+x - 2$。

(1)
设抛物线的解析式为$y = a(x - h)^{2}+k(a\neq0)$，已知抛物线顶点坐标为$(2,1)$，则$h = 2$，$k = 1$，所以$y=a(x - 2)^{2}+1$。
又因为抛物线经过点$(1,0)$，把$(1,0)$代入$y=a(x - 2)^{2}+1$得：
$0=a(1 - 2)^{2}+1$，即$0 = a+1$，解得$a=-1$。
所以抛物线解析式为$y=-(x - 2)^{2}+1=-x^{2}+4x - 3$。
(2)
设抛物线的解析式为$y = ax^{2}+bx+c(a\neq0)$。
因为抛物线经过$(-1,-1)$，$(0,-2)$，$(1,1)$三点，把三点分别代入$y = ax^{2}+bx+c$得：
$\begin{cases}a - b + c=-1\\c=-2\\a + b + c=1\end{cases}$
将$c = - 2$代入$\begin{cases}a - b + c=-1\\a + b + c=1\end{cases}$，得到$\begin{cases}a - b-2=-1\\a + b-2=1\end{cases}$，即$\begin{cases}a - b=1\\a + b=3\end{cases}$
两式相加得$2a=4$，解得$a = 2$。
把$a = 2$代入$a - b=1$得$2 - b=1$，解得$b = 1$。
所以抛物线解析式为$y = 2x^{2}+x - 2$。

6. (北师九下P45改编)已知二次函数的图象经过点$(1,0),(3,0),(2,3)$,则这个二次函数的解析式为.

设二次函数的解析式为$y = a(x - x_1)(x - x_2)$（其中$a \neq 0$，$x_1$，$x_2$为已知的与$x$轴交点的横坐标）。
因为二次函数图象经过点$(1,0)$，$(3,0)$，所以可设二次函数解析式为$y = a(x - 1)(x - 3)$。
把$(2,3)$代入$y = a(x - 1)(x - 3)$，得$3=a(2 - 1)(2 - 3)$。
即$3 = a×1×(-1)$，解得$a=-3$。
所以这个二次函数的解析式为$y = -3(x - 1)(x - 3)=-3x^{2}+12x - 9$。
答案为$y = -3x^{2}+12x - 9$。

例1 已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的自变量x和函数y的部分对应值如下表:


【基本问题】
(1)该二次函数的解析式为.
(2)在如图所示的直角坐标系中画出该二次函数的图象.
观察图象可知,该二次函数的图象是一条抛物线,该抛物线开口向,对称轴为,顶点坐标为,当$x ＜ 1$时,y随x的增大而,当$x ＞ 1$时,y随x的增大而.该函数的图象与y轴的交点坐标为,与x轴的交点坐标为.
(3)若将该抛物线向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到的新的抛物线的解析式为.
【最值问题】
(4)当x取全体实数时,y的最小值为.
(5)当$0 ＜ x ＜ 4$时,y的取值范围是.
【点的特征】
(6)若点$P(-2,h)$在该抛物线上,则h的值为,点P关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标为.
(7)若$(m,n),(m + 2,n)$两点均在该抛物线上,则$m=$,$n=$.
(8)若$(4,y_{1}),(\sqrt{2},y_{2}),(-1,y_{3})$三点均在该抛物线上,则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系为.(用“＜”连接)
(9)若P为该抛物线上一点,且点P到对称轴的距离为5,则点P的坐标为.
(10)若M,N为该抛物线上两点,点M在点N的左侧,两点间的距离为4,且这两点到抛物线对称轴的距离相等,则点M,N的坐标分别为.
【交点问题】
(11)若直线$y = -x + 3$与该抛物线有两个交点,则这两个点的坐标为,这两个点之间的距离为.
(12)已知点P的坐标为$(p,5)$,将点P向右平移7个单位长度得到点Q.若线段PQ与抛物线没有交点,则p的取值范围为;若有一个交点,则p的取值范围为;若有两个交点,则p的取值范围为.

(1)$y=x² - 2x - 3$
(2)
上；$x=1$；$(1,-4)$；减小；增大；$(0,-3)$；$(-1,0),(3,0)$
(3)$y=x²$
(4)$-4$
(5)$-4≤y＜5$
(6)$5$；$(4,5)$
(7)$0$；$-3$
(8)$y₂＜y₃＜y₁$
(9)$(6,21),(-4,21)$
(10)$(-1,0),(3,0)$
(11)$(3,0),(-2,5)$；$5\sqrt{2}$
(12)$p ＜ -9$或$p ＞ 4$；$-9≤p ＜ -3$或$-2 ＜ p ≤4$；$-3≤p ≤ -2$

(1) 设二次函数解析式为$y=ax²+bx+c$，将$(-1,0),(0,-3),(1,-4)$代入得：$\begin{cases}a - b + c = 0 \\ c = -3 \\ a + b + c = -4\end{cases}$，解得$a=1,b=-2,c=-3$，解析式为$y=x² - 2x - 3$。
(2) $a=1＞0$开口向上；对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$；顶点$(1,-4)$；$x＜1$时y随x增大而减小；$x＞1$时y随x增大而增大；与y轴交点$(0,-3)$；与x轴交点$(-1,0),(3,0)$。
(3) 原抛物线顶点式$y=(x - 1)² - 4$，左移1上移4后顶点为$(0,0)$，解析式$y=x²$。
(4) 开口向上，最小值为顶点纵坐标$-4$。
(5) $x=1$时$y=-4$，$x=4$时$y=5$，范围$-4≤y＜5$。
(6) $x=-2$时$y=(-2)² - 2×(-2)-3=5$，对称点横坐标$2×1 - (-2)=4$，坐标$(4,5)$。
(7) 两点关于对称轴对称，$\frac{m + m + 2}{2}=1$得$m=0$，$n=0² - 2×0 - 3=-3$。
(8) $y₁=4² - 2×4 - 3=5$，$y₂=(\sqrt{2})² - 2\sqrt{2}-3=-1 - 2\sqrt{2}≈-3.828$，$y₃=(-1)² - 2×(-1)-3=0$，故$y₂＜y₃＜y₁$。
(9) 横坐标$1±5$，即$6$或$-4$，$y=6² - 2×6 - 3=21$或$(-4)² - 2×(-4)-3=21$，坐标$(6,21),(-4,21)$。
(10) 两点关于对称轴对称，距离4则横坐标差4，设$M(a,n),N(a + 4,n)$，$\frac{a + a + 4}{2}=1$得$a=-1$，$M(-1,0),N(3,0)$。
(11) 联立$x² - 2x - 3=-x + 3$得$x² - x - 6=0$，$x=3$或$-2$，交点$(3,0),(-2,5)$，距离$\sqrt{(3 + 2)² + (0 - 5)²}=5\sqrt{2}$。
(12) 抛物线与$y=5$交于$(-2,5),(4,5)$。无交点：$p + 7 ＜ -2$或$p ＞ 4$即$p ＜ -9$或$p ＞ 4$；一个交点：$-9≤p ＜ -3$或$-2 ＜ p ≤4$；两个交点：$-3≤p ≤ -2$。