例4 (2021 河南,23)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段,请仔细阅读,并完成相应的任务.
小明:如图 1,(1)分别在射线 OA,OB 上截取 OC = OD,OE = OF(点 C,E 不重合);(2)分别作线段 CE,DF 的垂直平分线 l₁,l₂,交点为 P,垂足分别为点 G,H;(3)作射线 OP. 射线 OP 即为∠AOB 的平分线.
简述理由如下:
由作图知,∠PGO = ∠PHO = 90°,OG = OH,OP = OP,所以 Rt△PGO≌Rt△PHO,则∠POG = ∠POH,即射线 OP 是∠AOB 的平分线.
小军:我认为小明的作图方法很有创意,但是太麻烦了,可以改进如下,如图 2,(1)分别在射线 OA,OB 上截取 OC = OD,OE = OF(点 C,E 不重合);(2)连接 DE,CF,交点为 P;(3)作射线 OP. 射线 OP 即为∠AOB 的平分线.
……
任务:
(1)小明得出 Rt△PGO≌Rt△PHO 的依据是
①SSS ②SAS ③AAS ④ASA ⑤HL
(2)小军作图得到的射线 OP 是∠AOB 的平分线吗? 请判断并说明理由.
(3)如图 3,已知∠AOB = 60°,点 E,F 分别在射线 OA,OB 上,且 OE = OF = √3 + 1. 点 C,D 分别为射线 OA,OB 上的动点,且 OC = OD,连接 DE,CF,交点为 P,当∠CPE = 30°时,直接写出线段 OC 的长.
小明:如图 1,(1)分别在射线 OA,OB 上截取 OC = OD,OE = OF(点 C,E 不重合);(2)分别作线段 CE,DF 的垂直平分线 l₁,l₂,交点为 P,垂足分别为点 G,H;(3)作射线 OP. 射线 OP 即为∠AOB 的平分线.
简述理由如下:
由作图知,∠PGO = ∠PHO = 90°,OG = OH,OP = OP,所以 Rt△PGO≌Rt△PHO,则∠POG = ∠POH,即射线 OP 是∠AOB 的平分线.
小军:我认为小明的作图方法很有创意,但是太麻烦了,可以改进如下,如图 2,(1)分别在射线 OA,OB 上截取 OC = OD,OE = OF(点 C,E 不重合);(2)连接 DE,CF,交点为 P;(3)作射线 OP. 射线 OP 即为∠AOB 的平分线.
……
任务:
(1)小明得出 Rt△PGO≌Rt△PHO 的依据是
⑤
(填序号).①SSS ②SAS ③AAS ④ASA ⑤HL
(2)小军作图得到的射线 OP 是∠AOB 的平分线吗? 请判断并说明理由.
(3)如图 3,已知∠AOB = 60°,点 E,F 分别在射线 OA,OB 上,且 OE = OF = √3 + 1. 点 C,D 分别为射线 OA,OB 上的动点,且 OC = OD,连接 DE,CF,交点为 P,当∠CPE = 30°时,直接写出线段 OC 的长.
答案
(1)⑤；(2)是；(3)2或2+√3
解析
(1) 在Rt△PGO和Rt△PHO中，∠PGO=∠PHO=90°，OG=OH（作图得），OP=OP（公共边），根据“HL”定理可得全等，故填⑤。
(2) 是。理由：∵OC=OD，OE=OF，∠COF=∠DOE（公共角），∴△COF≌△DOE（SAS）。∴∠OFC=∠OED。∵OE=OF，∴∠OEF=∠OFE=60°（△OEF为等边三角形）。∴∠PFE=∠PEF，∴PE=PF。又∵OE=OF，OP=OP，∴△OEP≌△OFP（SSS）。∴∠EOP=∠FOP，即OP平分∠AOB。
(3) 设OC=OD=x，分两种情况：
① 当C在OE上时，由∠CPE=30°及三角形内角和、正弦定理得x=2；
② 当C在OE延长线上时，同理得x=2+√3。
(2) 是。理由：∵OC=OD，OE=OF，∠COF=∠DOE（公共角），∴△COF≌△DOE（SAS）。∴∠OFC=∠OED。∵OE=OF，∴∠OEF=∠OFE=60°（△OEF为等边三角形）。∴∠PFE=∠PEF，∴PE=PF。又∵OE=OF，OP=OP，∴△OEP≌△OFP（SSS）。∴∠EOP=∠FOP，即OP平分∠AOB。
(3) 设OC=OD=x，分两种情况：
① 当C在OE上时，由∠CPE=30°及三角形内角和、正弦定理得x=2；
② 当C在OE延长线上时，同理得x=2+√3。
