9. (2025 南阳二模) (1) 在数学活动课上，老师出示了这样一个问题；如图1，已知正方形 $ ABCD $，正方形 $ CEFG $。将正方形 $ CEFG $ 绕点 $ C $ 旋转，连接 $ BE $，$ DG $，则 $ BE $ 与 $ DG $ 的数量关系为
- (2) 创新小组受到启发，将背景图形由正方形改为矩形继续进行探究，如图2，在矩形 $ ABCD $ 和矩形 $ DEFG $ 中，$ AD = 2DE $，$ AB = 2DG $，$ AD = DG $，将矩形 $ DEFG $ 绕点 $ D $ 旋转，直线 $ AE $，$ CG $ 交于点 $ P $，$ AE $ 与 $ CG $ 有怎样的数量关系？请你给出证明。
- (3) 善思小组受此启发，举一反三，提出新问题：如图3，四边形 $ ABCD $ 是矩形，$ AB = 2 $，$ BC = 4 $，点 $ E $ 是 $ AD $ 边上的一个动点，以 $ CE $ 为边在 $ CE $ 的右侧作矩形 $ CEFG $，且 $ CG:CE = 1:2 $，连接 $ BG $，$ DG $，$ BE $，则 $ BG + \frac{1}{2}BE $ 的最小值是
BE=DG
。- (2) 创新小组受到启发，将背景图形由正方形改为矩形继续进行探究，如图2，在矩形 $ ABCD $ 和矩形 $ DEFG $ 中，$ AD = 2DE $，$ AB = 2DG $，$ AD = DG $，将矩形 $ DEFG $ 绕点 $ D $ 旋转，直线 $ AE $，$ CG $ 交于点 $ P $，$ AE $ 与 $ CG $ 有怎样的数量关系？请你给出证明。
- (3) 善思小组受此启发，举一反三，提出新问题：如图3，四边形 $ ABCD $ 是矩形，$ AB = 2 $，$ BC = 4 $，点 $ E $ 是 $ AD $ 边上的一个动点，以 $ CE $ 为边在 $ CE $ 的右侧作矩形 $ CEFG $，且 $ CG:CE = 1:2 $，连接 $ BG $，$ DG $，$ BE $，则 $ BG + \frac{1}{2}BE $ 的最小值是
2√10
。(提示：可利用一线三等角相似判断点 $ G $ 到线段 $ CD $ 的距离为定值)答案
(1) BE=DG；(2) CG=2AE；(3) 2√10
解析
(1) 四边形ABCD和CEFG为正方形，CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，则∠BCE=∠DCG。△BCE≌△DCG(SAS)，故BE=DG。
(2) 设DE=x，AD=2x，DG=AD=2x，AB=2DG=4x，CD=AB=4x。∠ADC=∠EDG=90°，∠ADE=∠CDG。AD/CD=2x/4x=1/2，DE/DG=x/2x=1/2，△ADE∽△CDG，AE/CG=AD/CD=1/2，故CG=2AE。
(3) 建立坐标系，A(0,0),B(2,0),C(2,4),D(0,4)，E(0,e)(0≤e≤4)。向量CE=(-2,e-4)，CG为CE顺时针旋转90°并缩为1/2，得G(e/2,5)。设t=e/2，BG+1/2BE=√[(t-2)²+5²]+√(t²+1²)，转化为x轴上点(t,0)到(2,5)和(0,1)距离和。作(0,1)关于x轴对称点(0,-1)，距离和最小值为√[(2-0)²+(5+1)²]=2√10。
(2) 设DE=x，AD=2x，DG=AD=2x，AB=2DG=4x，CD=AB=4x。∠ADC=∠EDG=90°，∠ADE=∠CDG。AD/CD=2x/4x=1/2，DE/DG=x/2x=1/2，△ADE∽△CDG，AE/CG=AD/CD=1/2，故CG=2AE。
(3) 建立坐标系，A(0,0),B(2,0),C(2,4),D(0,4)，E(0,e)(0≤e≤4)。向量CE=(-2,e-4)，CG为CE顺时针旋转90°并缩为1/2，得G(e/2,5)。设t=e/2，BG+1/2BE=√[(t-2)²+5²]+√(t²+1²)，转化为x轴上点(t,0)到(2,5)和(0,1)距离和。作(0,1)关于x轴对称点(0,-1)，距离和最小值为√[(2-0)²+(5+1)²]=2√10。
