二、平行线分线段成比例

基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段。
符号语言：∵AB//CD//EF，∴$\frac{AC}{CE}$=，$\frac{AC}{AE}$=，$\frac{CE}{AE}$=。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
符号语言：∵DE//BC，∴$\frac{AD}{AB}$=，$\frac{AD}{DB}$=，$\frac{DB}{AB}$=。
判定：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
符号语言：∵$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，∴DEBC。

⑧成比例；⑨$\frac{BD}{DF}$；⑩$\frac{BD}{BF}$；⑪$\frac{DF}{BF}$；⑫平行；⑬$\frac{AE}{AC}$；⑭$\frac{AE}{EC}$；⑮$\frac{EC}{AC}$。

根据平行线分线段成比例的基本事实，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
对于$⑧$：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
对于$⑨$、$⑩$、$⑪$：
已知$AB// CD// EF$，根据平行线分线段成比例定理，有$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$，$\frac{AC}{AE}=\frac{BD}{BF}$，$\frac{CE}{AE}=\frac{DF}{BF}$，故$⑨$填$\frac{BD}{DF}$，$⑩$填$\frac{BD}{BF}$，$⑪$填$\frac{DF}{BF}$。
对于$⑫$：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
对于$⑬$、$⑭$、$⑮$：
已知$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理，有$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，$\frac{BD}{AB}=\frac{EC}{AC}$，故$⑫$填平行，$⑬$填$\frac{AE}{AC}$，$⑭$填$\frac{AE}{EC}$，$⑮$填$\frac{EC}{AC}$。

5. 如图，直线 $l_1,l_2$ 被三条平行线 $l_3,l_4,l_5$ 所截，若 $AB = 3$，$BC = 8$，$EF = 10$，则 $DE$ 的长为。

$\frac{15}{4}$

因为直线 $ l_1,l_2 $ 被三条平行线 $ l_3,l_4,l_5 $ 所截，根据平行线分线段成比例定理，可得：
$\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}$
已知 $ AB = 3 $，$ BC = 8 $，$ EF = 10 $，代入上式得：
$\frac{3}{8} = \frac{DE}{10}$
解得：
$DE = \frac{3 × 10}{8} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$

三、相似三角形
1. 相似图形的定义：⑯相同的图形叫做相似图形。
2. 相似三角形的概念与性质

⑯形状
⑰相等
⑱成比例
⑲相等
⑳成比例
㉑相似比
㉒相似比的平方
㉓高
㉔角平分线
㉕相似比

根据相似三角形的定义，三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形的对应角相等，对应边成比例。相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

6. (人教九下 P31 改编)如图，已知 $\triangle ABC∼\triangle ADE$，且 $AD = 3$，$DB = 2$，则 $\triangle ABC$ 与 $\triangle ADE$ 的相似比为，周长比为，面积比为。

$\because AD=3$，$DB=2$，
$\therefore AB=AD+DB=3+2=5$。
$\because \triangle ABC∼\triangle ADE$，
$\therefore$ 相似比为 $\frac{AB}{AD}=\frac{5}{3}$。
$\because$ 相似三角形周长比等于相似比，
$\therefore$ 周长比为 $\frac{5}{3}$。
$\because$ 相似三角形面积比等于相似比的平方，
$\therefore$ 面积比为 $(\frac{5}{3})^2=\frac{25}{9}$。
$\frac{5}{3}$；$\frac{5}{3}$；$\frac{25}{9}$

3. 相似三角形的判定方法

(1) 两角分别的两个三角形相似。
(2) 两边对应且的两个三角形相似。
(3) 三边对应的两个三角形相似。

㉖相等
㉗成比例
㉘成比例
㉙夹角相等