3. (2023 河南，22)小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析. 如图，在平面直角坐标系中，点 $ A $，$ C $ 在 $ x $ 轴上，球网 $ AB $ 与 $ y $ 轴的水平距离 $ OA = 3 m $，$ CA = 2 m $，击球点 $ P $ 在 $ y $ 轴上. 若选择扣球，羽毛球的飞行高度 $ y(m) $ 与水平距离 $ x(m) $ 近似满足一次函数关系 $ y = -0.4x + 2.8 $；若选择吊球，羽毛球的飞行高度 $ y(m) $ 与水平距离 $ x(m) $ 近似满足二次函数关系 $ y = a(x - 1)^2 + 3.2 $.
(1) 求点 $ P $ 的坐标和 $ a $ 的值.
(2) 小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网. 要使球的落地点到 $ C $ 点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式.

(1)$P(0,2.8)$，$a=-0.4$；(2)选择吊球。

(1) 点P在y轴上，x=0。对于扣球函数$y=-0.4x+2.8$，当$x=0$时，$y=2.8$，故$P(0,2.8)$。
吊球函数$y=a(x-1)^2+3.2$过点P，将$x=0$，$y=2.8$代入得：$2.8=a(0-1)^2+3.2$，解得$a=-0.4$。
(2) 由$OA=3$，$CA=2$，得$C(5,0)$。
扣球落地点：令$y=0$，$-0.4x+2.8=0$，解得$x=7$，落地点为$(7,0)$，到C距离为$7-5=2$。
吊球函数为$y=-0.4(x-1)^2+3.2$，令$y=0$，$-0.4(x-1)^2+3.2=0$，$(x-1)^2=8$，$x=1+2\sqrt{2}\approx3.828$（负值舍去），落地点约$(3.828,0)$，到C距离为$5-3.828\approx1.172$。
因为$1.172＜2$，应选择吊球。

4. (2025 信阳二模)2024 年 8 月 6 日，在巴黎奥运会跳水项目女子 10 m 跳台决赛中，中国选手全红婵以五跳共 425.60 分的总成绩夺得金牌. 已知跳水运动员起跳后的运动轨迹可近似看作抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系.
(1) 某位运动员在第一次跳水中，从点 $ A(3,10) $ 处起跳(如图)，她的竖直高度 $ y $(单位：m)与水平距离 $ x $(单位：m)近似满足函数关系式 $ y = a(x - 3.5)^2 + k(a ＜ 0) $，测得几组数据如表：

则 $ k $ 的值为，满足的函数关系式为；
(2) 若该运动员在第二次跳水中，她的竖直高度 $ y $(单位：m)与水平距离 $ x $(单位：m)近似满足函数关系式 $ y = -5x^2 + 40x - 68 $，记她这两次跳水的人水点的水平距离分别为 $ d_1 $，$ d_2 $，则 $ d_1 $ $ d_2 $；(填“＞”“=”或“＜”)
(3) 在(2)的条件下，从该运动员起跳后到达最高点 $ B $ 处时开始计时，已知点 $ B $ 到水平面的距离为 $ c $，竖直高度 $ y $(单位：m)与时间 $ t $(单位：s)之间近似满足函数关系式 $ y = -5t^2 + c $. 若该运动员在达到最高点后需要 1.5 s 才能完成某个极具难度的动作，请通过计算说明，该运动员能否在落水前完成此动作.

解$:(1)11.25，y=-5(x-3.5)²+11.25$　　
$(2)＜$　　
$(3)$第二次跳水顶点：$x = -\frac{40}{2×(-5)} = 4，$$y = -5×4^2 + 40×4 - 68 = 12，$　　
即$c = 12。$　　
落水时间：$-5t^2 + 12 = 0，$$t = \sqrt{\frac{12}{5}}\approx1.55s，$$1.55 ＞ 1.5，$　　
能完成。