30. 综合与实践
如图 1,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形(AE ＜ AC),∠ACB = ∠ADE = 90°,连接 EB,取 EB 的中点 F,连接 CF,DF.
(1)如图 1,当点 D,E 分别在边 AB,AC 上时,线段 CF 和 DF 的数量关系是
(2)将△ADE 绕点 A 旋转,在旋转过程中,(1)中的结论是否仍然成立? 若成立,请仅就图 2 中的情况给予证明;否则,请说明理由.
(3)在②的条件下,当点 D 落在直线 BE 上时,若直线 AC 与直线 BE 相交于点 P,AC = 13,DE = 7,请直接写出 $\frac{CP}{AP}$ 的值.
如图 1,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形(AE ＜ AC),∠ACB = ∠ADE = 90°,连接 EB,取 EB 的中点 F,连接 CF,DF.
(1)如图 1,当点 D,E 分别在边 AB,AC 上时,线段 CF 和 DF 的数量关系是
CF=DF
,位置关系是CF⊥DF
.(2)将△ADE 绕点 A 旋转,在旋转过程中,(1)中的结论是否仍然成立? 若成立,请仅就图 2 中的情况给予证明;否则,请说明理由.
(3)在②的条件下,当点 D 落在直线 BE 上时,若直线 AC 与直线 BE 相交于点 P,AC = 13,DE = 7,请直接写出 $\frac{CP}{AP}$ 的值.
答案
(1)CF=DF，CF⊥DF；(2)成立；(3)5/7或12/7
解析
(1) 设AC=BC=1，建立坐标系得C(0,0),A(0,1),B(1,0)。设D(d,1-d)，E(0,1-2d)，F为EB中点，坐标为(1/2,(1-2d)/2)。计算得CF=DF，且CF·DF=0，故CF=DF，CF⊥DF。
(2) 延长DF至G使FG=DF，连BG,CG。△EFD≌△BFG(SAS)，得BG=ED=AD，∠EBG=∠FED。证△CBG≌△CAD(SAS)，得CG=CD，∠GCD=90°。△CGD为等腰直角三角形，F为DG中点，故CF=DF且CF⊥DF。
(3) 分两种情况：
① D在线段BE上，BE=24，由坐标法得P(91/12,0)，CP=65/12，AP=91/12，CP/AP=5/7；
② D在BE延长线上，BE=10，得P(-1183/65,0)，CP=2028/65，AP=1183/65，CP/AP=12/7。
(2) 延长DF至G使FG=DF，连BG,CG。△EFD≌△BFG(SAS)，得BG=ED=AD，∠EBG=∠FED。证△CBG≌△CAD(SAS)，得CG=CD，∠GCD=90°。△CGD为等腰直角三角形，F为DG中点，故CF=DF且CF⊥DF。
(3) 分两种情况：
① D在线段BE上，BE=24，由坐标法得P(91/12,0)，CP=65/12，AP=91/12，CP/AP=5/7；
② D在BE延长线上，BE=10，得P(-1183/65,0)，CP=2028/65，AP=1183/65，CP/AP=12/7。
