四、一元二次方程的实际应用
1. 解题步骤: 与列一次方程 (组) 解决实际问题的一般步骤相同, 均为审、设、列、解、验、答.
2. 常见类型

（1）如果在矩形铁皮的四个角上各剪去一个边长为x的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，那么这个盒子的底面积用含x的代数式表示为。
（2）如果在矩形铁皮的左上角和右下角各剪去一个边长为x的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，那么这个盒子的底面积用含x的代数式表示为。

$(a - 2x)(b - 2x)$；$(a - x)(b - x)$

8. (北师九上 P54 改编) 某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元售出, 平均每月能售出 600 个. 调查发现, 售价在 40 元至 60 元范围内, 这种台灯的售价每上涨 1 元, 其销售量就将减少 10 个. 为实现平均每月 10 000 元的销售利润, 这种台灯的售价应定为多少? 这时应购进台灯多少个? 设这种台灯的售价为 $x$ 元, 则可列方程为; 可得这种台灯的售价应定为元, 这时应购进台灯个.

设这种台灯的售价为$x$元。
单个台灯利润为$(x - 30)$元，售价上涨$(x - 40)$元，销售量减少$10(x - 40)$个，故销售量为$[600 - 10(x - 40)]$个。
总利润=单个利润×销售量，依题意可列方程：
$(x - 30)[600 - 10(x - 40)] = 10000$
化简方程：
$(x - 30)(1000 - 10x) = 10000$
$-10x^2 + 1300x - 30000 = 10000$
$x^2 - 130x + 4000 = 0$
因式分解：$(x - 50)(x - 80) = 0$
解得$x_1 = 50$，$x_2 = 80$（因售价在40-60元内，舍去$x=80$）
售价定为50元时，销售量为$600 - 10(50 - 40) = 500$个。
$(x - 30)[600 - 10(x - 40)] = 10000$；50；500

例1 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2x + c = 0$.
(1) 若该方程有两个相等的实数根, 则 $c =$;
(2) 若该方程有两个不相等的实数根, 则 $c$ 的取值范围为;
(3) 若该方程无实数根, 则 $c$ 的取值范围为.

(1) $1$
(2) $c＜1$
(3) $c＞1$

(1) 方程有两个相等的实数根，当且仅当判别式 $\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
即 $2^2 - 4 × 1 × c = 0$，
解得 $c = 1$。
(2) 方程有两个不相等的实数根，当且仅当判别式 $\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
即 $2^2 - 4 × 1 × c ＞ 0$，
解得 $c ＜ 1$。
(3) 方程无实数根，当且仅当判别式 $\Delta = b^2 - 4ac ＜ 0$，
即 $2^2 - 4 × 1 × c ＜ 0$，
解得 $c ＞ 1$。

1. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}-4x + 4 = 0$ 有两个不相等的实数根, 则 $a$ 的取值范围为.

$a＜1$ 且 $a \neq 0$

一元二次方程 $ax^2 - 4x + 4 = 0$ 有两个不相等的实数根，需满足：
1. $a \neq 0$（保证方程为二次方程）；
2. 判别式 $\Delta ＞ 0$，即 $\Delta = (-4)^2 - 4 · a · 4 = 16 - 16a ＞ 0$，解得 $a ＜ 1$。
综合得 $a ＜ 1$ 且 $a \neq 0$。

2. 若关于 $x$ 的方程 $ax^{2}-4x + 4 = 0$ 有实数根, 则 $a$ 的取值范围为.

$a \leq 1$

当 $a = 0$ 时，方程变为 $-4x + 4 = 0$，这是一个一元一次方程，它有一个实数解。
当 $a \neq 0$ 时，方程为一元二次方程，其判别式为：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4 × a × 4 = 16 - 16a$，
由于方程需要有实数解，所以判别式需满足：
$\Delta \geq 0$，
即：$16 - 16a \geq 0$，
从上式可以解得：$a \leq 1$ 且 $a \neq 0$（因为 $a = 0$ 的情况已经单独考虑过）。
综合以上两种情况，得出 $a$ 的取值范围为 $a \leq 1$。

例2 已知一元二次方程 $x^{2}+x - 2 = 0$ 的两个根分别为 $x_{1},x_{2}$.
(1) $x_{1}+x_{2}$ 的值为, $x_{1}x_{2}$ 的值为;
(2) $(x_{1}-x_{2})^{2}$ 的值为; $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$ 的值为.

(1) $-1$，$-2$；
(2) $9$，$\frac{1}{2}$

(1) 根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于方程 $x^{2}+x - 2 = 0$，其中 $a = 1$, $b = 1$, $c = -2$，则 $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-1$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=-2$。
(2) 根据公式 $(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$，将 $x_{1}+x_{2}=-1$，$x_{1}x_{2}=-2$ 代入可得：$(-1)^{2}-4×(-2)=1 + 8 = 9$。
根据公式 $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}$，将 $x_{1}+x_{2}=-1$，$x_{1}x_{2}=-2$ 代入可得：$\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$。