9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB的垂直平分线EF交BC于点E$,交$AB于点F$,$H为EC$的中点,$BE = AC$。
(1)求证：$AH\perp BC$。
(2)若$\angle B = 36^{\circ}$,求$\angle BAC$的度数。

（1）如图，连结 AE。因为 AB 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 E，交 AB 于点 F，所以 $ AE = BE $。因为 $ BE = AC $，所以 $ AE = AC $。因为 H 为 EC 的中点，所以 $ CH = EH $。又因为 $ AC = AE $，$ AH = AH $，所以 $ \triangle ACH \cong \triangle AEH $。所以易得 $ \angle AHC = \angle AHE = 90^{\circ} $。所以 $ AH \perp BC $。（2）因为 $ AE = BE $，$ \angle B = 36^{\circ} $，所以 $ \angle EAB = \angle B = 36^{\circ} $。所以 $ \angle AEC = \angle EAB + \angle B = 72^{\circ} $。因为 $ \triangle ACH \cong \triangle AEH $，所以 $ \angle C = \angle AEC = 72^{\circ} $。所以 $ \angle BAC = 180^{\circ} - \angle C - \angle B = 72^{\circ} $。

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AB的垂直平分线交AB于点N$,交$AC于点M$,$P是直线MN$上一动点,$H为BC$的中点。若$BC = 5$,$\triangle ABC的面积是30$,则$BP + PH$的最小值为()


A.$12$
B.$16$
C.$20$
D.$24$

A 解析：如图，连结 AP，AH。因为 $ AB = AC $，H 为 BC 的中点，所以易得 $ AH \perp BC $。因为△ABC 的面积是 30，所以 $ \frac{1}{2}BC \cdot AH = 30 $。因为 $ BC = 5 $，所以 $ AH = 12 $。因为 MN 是线段 AB 的垂直平分线，所以 $ AP = BP $。所以 $ BP + PH = AP + PH \geq AH $。所以 AH 的长为 $ BP + PH $的最小值。所以 $ BP + PH $的最小值为 12。

11. $OF是\angle MON$的平分线,点$A在射线OM$上,$P$,$Q是直线ON$上两动点,点$Q在点P$的右侧,且$PQ = OA$,作线段$OQ$的垂直平分线,分别交直线$OF$,$ON于点B$,$C$,连结$AB$,$PB$。
(1)如图①,当$P$,$Q两点都在射线ON$上时,线段$AB与PB$的数量关系是______。
(2)如图②,当$P$,$Q两点都在射线ON$的反向延长线上时,线段$AB$,$PB$是否还存在(1)中的数量关系？若存在,请写出证明过程；若不存在,请说明理由。

（1）$ AB = PB $。（2）存在。连结 BQ。因为 BC 垂直平分 OQ，所以 $ BO = BQ $，$ CO = CQ $，$ \angle BCO = \angle BCQ = 90^{\circ} $。所以 $ \angle BOQ = \angle BQO $。因为 $ \angle BOQ = \angle FON $，所以 $ \angle BQO = \angle FON $。因为 OF 平分 $ \angle MON $，所以 $ \angle AOF = \angle FON = \angle BQO $。所以易得 $ \angle AOB = \angle PQB $。在△AOB 和△PQB 中，因为 $ \begin{cases} OA = QP, \\ \angle AOB = \angle PQB \\ BO = BQ, \end{cases} $，所以 $ \triangle AOB \cong \triangle PQB(SAS) $。所以 $ AB = PB $。