1. (2025山东淄博外国语学校期末节选)直线AB:$y=x+b$分别与x,y轴交于A,B两点,点A的坐标为$(-3,0)$,过点B的直线交x轴正半轴于点C,且$OB:OC=3:1$.
(1)求点B的坐标及直线BC的函数表达式;
(2)在x轴上方是否存在点D,使以点A,B,D为顶点的三角形与$△ ABC$全等?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)点 B 的坐标为(0,3),直线 BC 的函数表达式为 y=-3x+3;
(2)存在,点 D 的坐标为(-4,3)或(-3,4).
分△BAD≌△ABC 和△ABD≌△ABC 两种情况考虑(如解图).

①当△BAD≌△ABC 时,因为 OA=OB=3,
所以∠BAC=45°.
因为△BAD≌△ABC,
所以∠ABD=∠BAC=45°,BD=AC=4,
所以 BD//AC,
所以点 D 的坐标为(-4,3);
②当△ABD≌△ABC 时,∠BAD=∠BAC=45°,AD=AC=4,
所以∠DAC=90°,
所以点 D 的坐标为(-3,4).
综上所述,点 D 的坐标为(-4,3)或(-3,4).

2. (2025 山西运城实验中学期末)如图,已知一次函数$y=-\dfrac{4}{3}x+4$的图象与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$.
(1)求点$A$和点$B$的坐标;
(2)点$C$是直线$AB$上一动点,$△ OAC$的面积是$△ OAB$面积的一半,求点$C$的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点$P$,使$△ ABP$为等腰直角三角形?若存在,直接写出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)A(3,0),B(0,4);
(2)△OAC 的面积是△OAB 面积的一半,且 AO=3,OB=4,
当点 C 在第一象限时,设 C 点坐标为$(x_1,y_1)$,
依题意,得$\dfrac{1}{2}×3× y_1=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×3×4=3$,$y_1=2$,
$x_1=\dfrac{3}{2}$,
所以点 C 的坐标为($\dfrac{3}{2}$,2);
当点 C 在第四象限时,设点 C 的坐标为$(x_2,y_2)$,
过点 C 作 CE⊥x 轴,
依题意,得$S_{△ OAC}=S_{△ OCE}-S_{△ ACE}=\dfrac{1}{2}x_2×|y_2|-\dfrac{1}{2}×(x_2-3)×|y_2|=3$,
解得$x_2=\dfrac{9}{2}$,$y_2=-2$,
所以点 C 的坐标为($\dfrac{9}{2}$,-2).
综上所述,点 C 的坐标为($\dfrac{3}{2}$,2)或($\dfrac{9}{2}$,-2).
(3)在第一象限内存在点 P,使△ABP 为等腰直角三角形;点 P 的坐标为(7,3)或(4,7),($\dfrac{7}{2}$,$\dfrac{7}{2}$).
理由如下:
点 P 在第一象限内,△ABP 为等腰直角三角形时,分三种情况讨论:
①当∠PAB=90°时,过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D,则∠PDA=90°,
因为 AB=AP,∠BOA=∠BAP=90°,
所以∠ABO=90°-∠BAO=∠PAD,
所以△ABO≌△PAD,
所以 PD=OA=3,AD=OB=4,
OD=OA+AD=3+4=7,
所以此时点 P 的坐标为(7,3);
②当∠PBA=90°时,过点 P 作 PD⊥y 轴于点 D,同理可得△PBD≌△BAO,
DB=AO=3,PD=OB=4,
DO=4+3=7,
则此时点 P 的坐标为(4,7);
③当∠APB=90°时,设点 P(m,n),
点 P 到点 A 的水平距离和到点 B 的垂直距离相等,即 m-3=4-n,
所以 m=7-n,
由 PA=PB,得 6m-8n=-7,
所以 6(7-n)-8n=-7,解得$n=\dfrac{7}{2}$,
所以$m=\dfrac{7}{2}$,
此时点 P 的坐标为($\dfrac{7}{2}$,$\dfrac{7}{2}$).
综上所述,在第一象限内存在点 P,使△ABP 为等腰直角三角形;点 P 的坐标为(7,3)或(4,7)或($\dfrac{7}{2}$,$\dfrac{7}{2}$).