6.(青岛莱西市期中)综合与实践
【问题背景】小吊瓜又叫礼品瓜,采用“吊挂”“嫁接”等技术,瓜蔓向上生长,结出的瓜都吊在空中,因其玲珑的外观,甜美的口感成为水果市场新宠.研学小组的同学走进某种植基地,对同时上市的A,B两个品种小吊瓜前15天的销售情况进行调查.
【数据收集】信息1:A品种小吊瓜第x天的销售利润y(元)与x的函数关系可近似地用如下坐标系中的抛物线刻画,该抛物线经过点(4,2000),且顶点坐标为(12,2640),其中1≤x≤15且x为整数.


信息2:B品种小吊瓜每千克的销售成本为2元
信息3:B品种小吊瓜的销售单价及销售量与上市时间的关系如下表:
|上市时间|第1天|第2天|第3天|第4天|第5天|…|第x天|
|销售单价(元/千克)|30|28|图3|24|22|…|$32-2x$|
|销售量(千克)|70|80|90|100|110|…||
(注:其中1≤x≤15且x为整数)
【建立模型】
(1)求A品种小吊瓜第x天的销售利润y(元)与x之间的函数关系式.
(2)按照信息3表格呈现的规律,B品种小吊瓜第x天的销售量用含x的代数式表示为千克;B品种小吊瓜第x天的销售利润z(元)与x之间的函数关系式为.
【问题解决】
(3)①上市第几天时,A,B两种小吊瓜当天的销售总利润最大?最大利润是多少?
②当A,B两种小吊瓜日销售利润都随天数x的增大而增大时,请直接写出相应的上市时间(第x天)的范围.

解:(1)
∵抛物线的顶点坐标为(12,2 640),
∴设抛物线解析式为y=a(x-12)²+2 640.
∵该抛物线经过点(4,2 000),
∴a(4-12)²+2 640=2 000,解得a=-10,
∴抛物线解析式为y=-10(x-12)²+2 640=-10x²+240x+1 200,
即y与x之间的函数关系式为y=-10x²+240x+1 200.
(2)由信息3表格可知,B品种小吊瓜的销售量每天增加10千克,且第1天的销售量为70千克,
∴第x天的销售量用含x的代数式表示为(10x+60)千克,
销售利润z=(32-2x-2)·(10x+60)=-20x²+180x+1 800.
答案:(10x+60) z=-20x²+180x+1 800
(3)①
∵A品种小吊瓜第x天的销售利润y(元)与x之间的函数关系式为y=-10x²+240x+1 200,
B品种小吊瓜第x天的销售利润z(元)与x之间的函数关系式为z=-20x²+180x+1 800,
∴总利润=y+z=-10x²+240x+1 200-20x²+180x+1 800=-30x²+420x+3 000=-30(x-7)²+4 470.
∵-30＜0,
∴当x=7时,y+z取得最大值4 470,
即上市第7天时,两种小吊瓜当天的销售总利润最大,最大利润是4 470元.
②1≤x≤4且x为整数
［提示］
∵y=-10(x-12)²+2 640,
∴A种小吊瓜日销售利润y随天数x的增大而增大的上市时间范围为1≤x≤12.
∵z=-20x²+180x+1 800=-20$(x-\frac{9}{2})^2$+2 205,
∴B种小吊瓜日销售利润z随天数x的增大而增大的上市时间范围为1≤x≤$\frac{9}{2}$.
∵x为整数,
∴当A,B两种小吊瓜日销售利润都随天数x的增大而增大时,相应的上市时间(第x天)的范围为1≤x≤4且x为整数.