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三、解答题
16. 计算:
(1) $-2 - 1 + (-16) - (-13)$；
(2) $25 ÷ 5 × (-\dfrac{1}{5}) ÷ (-\dfrac{3}{4})$；
(3) $(-\dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2}) ÷ (-\dfrac{1}{18})$；
(4) $-1^2 - (-5\dfrac{1}{2}) × \dfrac{4}{11} + (-2)^3 ÷ [(-3)^2 + 2]$。
16. 计算:
(1) $-2 - 1 + (-16) - (-13)$；
(2) $25 ÷ 5 × (-\dfrac{1}{5}) ÷ (-\dfrac{3}{4})$；
(3) $(-\dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2}) ÷ (-\dfrac{1}{18})$；
(4) $-1^2 - (-5\dfrac{1}{2}) × \dfrac{4}{11} + (-2)^3 ÷ [(-3)^2 + 2]$。
答案
16.(1)$-6$ (2)$\frac{4}{3}$ (3)$\frac{9}{2}$ (4)$\frac{3}{11}$
解析
【分析】
有理数运算需遵循运算规则逐步计算：①先明确运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的运算；同级运算从左到右依次计算。②去括号/符号判断：减去一个数等于加上它的相反数，除以一个数等于乘以它的倒数，多个因数相乘时，负因数个数为偶数结果为正，奇数结果为负。③能使用运算律（如乘法分配律）的可优先用运算律简化计算，减少通分等计算量。
（1）属于加减混合运算，先统一为加法运算（去括号化简符号），再分别计算正负项的和即可；
（2）属于乘除同级运算，先将所有除法转化为乘法，先判断结果符号，再计算绝对值的乘积；
（3）先将除法转化为乘法，观察括号内各项分母和乘数的关系，可用乘法分配律展开计算，避免先通分的繁琐；
（4）含乘方、括号的混合运算，先算所有乘方，再算括号内的运算，接着算乘除，最后算加减即可，注意区分$-1^2$和$(-1)^2$的区别。
【解析】
(1) 先去括号化简符号，再合并计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-2 -1 -16 +13\\&=(-2-1-16)+13\\&=-19+13\\&=-6\end{aligned}$
(2) 乘除同级运算，先将除法转为乘法，确定符号后计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=25× \frac{1}{5}× (-\frac{1}{5})× (-\frac{4}{3})\\&=25× \frac{1}{5}× \frac{1}{5}× \frac{4}{3}\\&=1× \frac{4}{3}\\&=\frac{4}{3}\end{aligned}$
(3) 除法转乘法后用乘法分配律简化计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-\frac{1}{12}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2})× (-18)\\&=(-\frac{1}{12})× (-18) + \frac{1}{3}× (-18) + (-\frac{1}{2})× (-18)\\&=\frac{3}{2} -6 +9\\&=\frac{3}{2}+3\\&=\frac{9}{2}\end{aligned}$
(4) 按先乘方、再括号、再乘除、最后加减的顺序计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-1 + \frac{11}{2}× \frac{4}{11} + (-8)÷ (9+2)\\&=-1 +2 + (-8)÷ 11\\&=1 - \frac{8}{11}\\&=\frac{3}{11}\end{aligned}$
【答案】
(1)$-6$；(2)$\dfrac{4}{3}$；(3)$\dfrac{9}{2}$；(4)$\dfrac{3}{11}$
【知识点】
有理数加减运算，有理数乘除运算，含乘方的有理数混合运算
【点评】
本题是有理数运算的常规基础题型，重点考察运算顺序、符号判断和运算律的灵活运用，计算时需注意特殊乘方的符号区分，合理运用运算律可简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
有理数运算需遵循运算规则逐步计算：①先明确运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的运算；同级运算从左到右依次计算。②去括号/符号判断：减去一个数等于加上它的相反数，除以一个数等于乘以它的倒数，多个因数相乘时，负因数个数为偶数结果为正，奇数结果为负。③能使用运算律（如乘法分配律）的可优先用运算律简化计算，减少通分等计算量。
（1）属于加减混合运算，先统一为加法运算（去括号化简符号），再分别计算正负项的和即可；
（2）属于乘除同级运算，先将所有除法转化为乘法，先判断结果符号，再计算绝对值的乘积；
（3）先将除法转化为乘法，观察括号内各项分母和乘数的关系，可用乘法分配律展开计算，避免先通分的繁琐；
（4）含乘方、括号的混合运算，先算所有乘方，再算括号内的运算，接着算乘除，最后算加减即可，注意区分$-1^2$和$(-1)^2$的区别。
【解析】
(1) 先去括号化简符号，再合并计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-2 -1 -16 +13\\&=(-2-1-16)+13\\&=-19+13\\&=-6\end{aligned}$
(2) 乘除同级运算，先将除法转为乘法，确定符号后计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=25× \frac{1}{5}× (-\frac{1}{5})× (-\frac{4}{3})\\&=25× \frac{1}{5}× \frac{1}{5}× \frac{4}{3}\\&=1× \frac{4}{3}\\&=\frac{4}{3}\end{aligned}$
(3) 除法转乘法后用乘法分配律简化计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-\frac{1}{12}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2})× (-18)\\&=(-\frac{1}{12})× (-18) + \frac{1}{3}× (-18) + (-\frac{1}{2})× (-18)\\&=\frac{3}{2} -6 +9\\&=\frac{3}{2}+3\\&=\frac{9}{2}\end{aligned}$
(4) 按先乘方、再括号、再乘除、最后加减的顺序计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-1 + \frac{11}{2}× \frac{4}{11} + (-8)÷ (9+2)\\&=-1 +2 + (-8)÷ 11\\&=1 - \frac{8}{11}\\&=\frac{3}{11}\end{aligned}$
【答案】
(1)$-6$；(2)$\dfrac{4}{3}$；(3)$\dfrac{9}{2}$；(4)$\dfrac{3}{11}$
【知识点】
有理数加减运算，有理数乘除运算，含乘方的有理数混合运算
【点评】
本题是有理数运算的常规基础题型，重点考察运算顺序、符号判断和运算律的灵活运用，计算时需注意特殊乘方的符号区分，合理运用运算律可简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
17.已知 $1\ \mathrm{cm}^3$ 氢气的质量约为 $0.000\ 09\ \mathrm{g}$，请用科学记数法表示下列计算结果.
(1)求一个容积为 $8\ 000\ 000\ \mathrm{cm}^3$ 的氢气球所充氢气的质量；
(2)一块橡皮重 $45\ \mathrm{g}$，这块橡皮的质量是 $1\ \mathrm{cm}^3$ 的氢气质量的多少倍？
(1)求一个容积为 $8\ 000\ 000\ \mathrm{cm}^3$ 的氢气球所充氢气的质量；
(2)一块橡皮重 $45\ \mathrm{g}$，这块橡皮的质量是 $1\ \mathrm{cm}^3$ 的氢气质量的多少倍？
答案
17.解:(1)$0.000\ 09×8\ 000\ 000 = 720(\mathrm{g})$,$720\ \mathrm{g}=7.2×10^2\ \mathrm{g}$.故氢气球所充氢气的质量为$720\ \mathrm{g}$.
(2)$45÷0.000 09=500 000=5×10^5$.故这块橡皮的质量是$1\ \mathrm{cm}^3$的氢气质量的$5×10^5$倍.
(2)$45÷0.000 09=500 000=5×10^5$.故这块橡皮的质量是$1\ \mathrm{cm}^3$的氢气质量的$5×10^5$倍.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 求氢气球所充氢气的总质量，根据“总质量=单位体积的质量×总体积”列式计算，再将计算结果转化为科学记数法即可，科学记数法要求形式为$a×10^n$，其中$1≤ a＜10$，$n$为整数。
(2) 求橡皮质量是1cm³氢气质量的几倍，用除法计算，即“橡皮质量÷1cm³氢气的质量”，得出结果后同样转化为科学记数法即可。
【解析】
(1) 已知$1\ \mathrm{cm}^3$氢气质量为$0.00009\ \mathrm{g}$，氢气球容积为$8000000\ \mathrm{cm}^3$，则氢气总质量为：
$0.00009×8000000 = 720(\mathrm{g})$
将$720$用科学记数法表示：$720 = 7.2×10^2\ \mathrm{g}$。
(2) 求倍数用除法，列式得：
$45÷0.00009 = 500000$
将$500000$用科学记数法表示：$500000 = 5×10^5$。
【答案】
(1) $7.2×10^2\ \mathrm{g}$
(2) $5×10^5$
【知识点】
1. 科学记数法
2. 有理数乘法运算
3. 有理数除法运算
【点评】
本题是科学记数法在实际生活中的应用类题目，需要熟练掌握有理数乘除的计算方法，同时牢记科学记数法的书写规则，尤其注意$a$的取值范围要满足$1≤ a＜10$，$n$的大小可根据原数的位数或小数点移动的位数确定，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 求氢气球所充氢气的总质量，根据“总质量=单位体积的质量×总体积”列式计算，再将计算结果转化为科学记数法即可，科学记数法要求形式为$a×10^n$，其中$1≤ a＜10$，$n$为整数。
(2) 求橡皮质量是1cm³氢气质量的几倍，用除法计算，即“橡皮质量÷1cm³氢气的质量”，得出结果后同样转化为科学记数法即可。
【解析】
(1) 已知$1\ \mathrm{cm}^3$氢气质量为$0.00009\ \mathrm{g}$，氢气球容积为$8000000\ \mathrm{cm}^3$，则氢气总质量为：
$0.00009×8000000 = 720(\mathrm{g})$
将$720$用科学记数法表示：$720 = 7.2×10^2\ \mathrm{g}$。
(2) 求倍数用除法，列式得：
$45÷0.00009 = 500000$
将$500000$用科学记数法表示：$500000 = 5×10^5$。
【答案】
(1) $7.2×10^2\ \mathrm{g}$
(2) $5×10^5$
【知识点】
1. 科学记数法
2. 有理数乘法运算
3. 有理数除法运算
【点评】
本题是科学记数法在实际生活中的应用类题目，需要熟练掌握有理数乘除的计算方法，同时牢记科学记数法的书写规则，尤其注意$a$的取值范围要满足$1≤ a＜10$，$n$的大小可根据原数的位数或小数点移动的位数确定，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
18.定义一种新运算“☆”，规则为$m☆n=m^n + mn - n$.例如:$2☆3=2^3 + 2×3 - 3=8 + 6 - 3=11$.根据定义计算下列算式:
(1)$(-2)☆4$;
(2)$(-1)☆[(-5)☆2]$.
(1)$(-2)☆4$;
(2)$(-1)☆[(-5)☆2]$.
答案
18.解:(1)因为$m☆n=m^n + mn - n$,所以$(-2)☆4=(-2)^4+(-2)×4-4=16-8-4=4$.
(2)因为$m☆n=m^n + mn - n$,所以$(-1)☆[(-5)☆2]=(-1)☆[(-5)^2+(-5)×2-2]=(-1)☆(25-10-2)=(-1)☆13=(-1)^{13}+(-1)×13-13=-1-13-13=-27$.
(2)因为$m☆n=m^n + mn - n$,所以$(-1)☆[(-5)☆2]=(-1)☆[(-5)^2+(-5)×2-2]=(-1)☆(25-10-2)=(-1)☆13=(-1)^{13}+(-1)×13-13=-1-13-13=-27$.
解析
【分析】
解决新定义运算类问题的核心是准确理解给定的运算规则，将对应数值代入规则公式计算即可。第(1)问可直接将m=-2、n=4代入新运算公式，按照有理数运算顺序计算；第(2)问是嵌套型运算，需遵循先算括号内的运算顺序，先计算(-5)☆2的结果，再将该结果作为新的n值，与m=-1代入公式计算最终结果，计算过程中需注意有理数乘方、乘法的符号规则。
【解析】
(1) 根据新运算规则$m☆n=m^n + mn - n$，将$m=-2$，$n=4$代入得：
$(-2)☆4=(-2)^4+(-2)×4-4=16-8-4=4$
(2) 先计算括号内的$(-5)☆2$，将$m=-5$，$n=2$代入规则得：
$(-5)☆2=(-5)^2+(-5)×2-2=25-10-2=13$
再计算$(-1)☆13$，将$m=-1$，$n=13$代入规则得：
$(-1)☆13=(-1)^{13}+(-1)×13-13=-1-13-13=-27$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{-27}$
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义类基础题型，既考查对新规则的阅读理解和迁移运用能力，也考查有理数混合运算的准确度，只要严格按照规则代入数值、遵守运算顺序、注意符号判断即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解决新定义运算类问题的核心是准确理解给定的运算规则，将对应数值代入规则公式计算即可。第(1)问可直接将m=-2、n=4代入新运算公式，按照有理数运算顺序计算；第(2)问是嵌套型运算，需遵循先算括号内的运算顺序，先计算(-5)☆2的结果，再将该结果作为新的n值，与m=-1代入公式计算最终结果，计算过程中需注意有理数乘方、乘法的符号规则。
【解析】
(1) 根据新运算规则$m☆n=m^n + mn - n$，将$m=-2$，$n=4$代入得：
$(-2)☆4=(-2)^4+(-2)×4-4=16-8-4=4$
(2) 先计算括号内的$(-5)☆2$，将$m=-5$，$n=2$代入规则得：
$(-5)☆2=(-5)^2+(-5)×2-2=25-10-2=13$
再计算$(-1)☆13$，将$m=-1$，$n=13$代入规则得：
$(-1)☆13=(-1)^{13}+(-1)×13-13=-1-13-13=-27$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{-27}$
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义类基础题型，既考查对新规则的阅读理解和迁移运用能力，也考查有理数混合运算的准确度，只要严格按照规则代入数值、遵守运算顺序、注意符号判断即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
19.[阅读理解型试题]阅读材料,解决问题.
求值:$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· +2^{2023}$.
解:设$S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· +2^{2023}$,将等式两边同时乘2得$2S=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· +2^{2023}+2^{2024}$,
将下式减去上式得$2S - S=2^{2024}-1$,
即$S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· +2^{2023}=2^{2024}-1$.
请你仿照此法计算:
(1)$1+2+2^{2}+2^{3}+··· +2^{10}$;
(2)$1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+··· +3^{n}$.(其中$n$为正整数)
求值:$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· +2^{2023}$.
解:设$S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· +2^{2023}$,将等式两边同时乘2得$2S=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· +2^{2023}+2^{2024}$,
将下式减去上式得$2S - S=2^{2024}-1$,
即$S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· +2^{2023}=2^{2024}-1$.
请你仿照此法计算:
(1)$1+2+2^{2}+2^{3}+··· +2^{10}$;
(2)$1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+··· +3^{n}$.(其中$n$为正整数)
答案
19.解:(1)设$S=1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{10}$,将等式两边同时乘2,得$2S=2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{11}$,将下式减去上式,得$2S-S=2^{11}-1$,即$S=1+2+2^2+2^3+2^4+\dots2^{10}=2^{11}-1$.
(2)设$S=1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n$,将等式两边同时乘3,得$3S=3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{n+1}$,将下式减去上式,得$3S-S=3^{n+1}-1$,即$2S=3^{n+1}-1$,得$S=1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n=\frac{3^{n+1}-1}{2}$.
(2)设$S=1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n$,将等式两边同时乘3,得$3S=3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{n+1}$,将下式减去上式,得$3S-S=3^{n+1}-1$,即$2S=3^{n+1}-1$,得$S=1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n=\frac{3^{n+1}-1}{2}$.
解析
【分析】
这是一道阅读迁移类的求和题，解题核心是掌握材料给出的错位相减法：首先观察所求算式的特点，每一项都是前一项乘固定的数（公比），第一步设所求的和为S，第二步将等式两边同时乘公比得到新的等式，第三步用新等式减去原等式，中间重复的项会相互抵消，只剩下首尾两项，最后整理计算即可求出S的值。第(1)问的算式和材料结构完全一致，公比为2，直接照搬方法计算即可；第(2)问公比变为3，计算时注意相减后左边是2S，需要除以2得到最终结果。
【解析】
(1) 设$S=1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{10}$，将等式两边同时乘2，得$2S=2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{11}$，
将下式减去上式，得$2S-S=2^{11}-1$，
即$S=1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{10}=2^{11}-1$。
(2) 设$S=1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n$，将等式两边同时乘3，得$3S=3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{n+1}$，
将下式减去上式，得$3S-S=3^{n+1}-1$，即$2S=3^{n+1}-1$，
得$S=1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n=\frac{3^{n+1}-1}{2}$。
【答案】
(1) $2^{11}-1$
(2) $\frac{3^{n+1}-1}{2}$（$n$为正整数）
【知识点】
错位相减法求和；有理数乘方；整式加减运算
【点评】
本题是典型的阅读理解类题型，主要考查对新方法的模仿迁移能力，解题的关键是读懂错位相减的操作逻辑，根据算式的公比灵活调整计算步骤，整体运算量小，重在方法的理解应用。
【难度系数】
0.7
这是一道阅读迁移类的求和题，解题核心是掌握材料给出的错位相减法：首先观察所求算式的特点，每一项都是前一项乘固定的数（公比），第一步设所求的和为S，第二步将等式两边同时乘公比得到新的等式，第三步用新等式减去原等式，中间重复的项会相互抵消，只剩下首尾两项，最后整理计算即可求出S的值。第(1)问的算式和材料结构完全一致，公比为2，直接照搬方法计算即可；第(2)问公比变为3，计算时注意相减后左边是2S，需要除以2得到最终结果。
【解析】
(1) 设$S=1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{10}$，将等式两边同时乘2，得$2S=2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{11}$，
将下式减去上式，得$2S-S=2^{11}-1$，
即$S=1+2+2^2+2^3+2^4+\dots+2^{10}=2^{11}-1$。
(2) 设$S=1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n$，将等式两边同时乘3，得$3S=3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{n+1}$，
将下式减去上式，得$3S-S=3^{n+1}-1$，即$2S=3^{n+1}-1$，
得$S=1+3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^n=\frac{3^{n+1}-1}{2}$。
【答案】
(1) $2^{11}-1$
(2) $\frac{3^{n+1}-1}{2}$（$n$为正整数）
【知识点】
错位相减法求和；有理数乘方；整式加减运算
【点评】
本题是典型的阅读理解类题型，主要考查对新方法的模仿迁移能力，解题的关键是读懂错位相减的操作逻辑，根据算式的公比灵活调整计算步骤，整体运算量小，重在方法的理解应用。
【难度系数】
0.7
