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9.如图，一块面积为$60\mathrm{cm}^2$的三角形硬纸板（记为$△ ABC$）平行于投影面时，在点光源$O$的照射下形成的投影是$△ A_1B_1C_1$。若$OB:BB_1=2:3$，则$△ A_1B_1C_1$的面积是（
A.$90\mathrm{cm}^2$
B.$135\mathrm{cm}^2$
C.$150\mathrm{cm}^2$
D.$375\mathrm{cm}^2$
D
）A.$90\mathrm{cm}^2$
B.$135\mathrm{cm}^2$
C.$150\mathrm{cm}^2$
D.$375\mathrm{cm}^2$
答案
D
解析
【分析】
首先明确平行于投影面的图形在点光源下的投影与原图形是位似图形，位似中心为点O，位似比等于对应顶点到位似中心的距离之比。第一步先根据已知的$OB:BB_1$的比值，求出$OB$与$OB_1$的比值，即两个三角形的相似比；第二步利用相似三角形面积比等于相似比的平方，得到两个三角形的面积比；最后结合$△ ABC$的面积，即可计算出$△ A_1B_1C_1$的面积。
【解析】
解：$\because △ ABC$平行于投影面，在点光源$O$照射下形成投影$△ A_1B_1C_1$
$\therefore △ ABC ∽ △ A_1B_1C_1$，且$AB// A_1B_1$
$\therefore △ OAB ∽ △ OA_1B_1$，相似比$k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{OB}{OB_1}$
$\because OB:BB_1=2:3$
$\therefore OB:OB_1=OB:(OB+BB_1)=2:(2+3)=2:5$，即相似比$k=\frac{2}{5}$
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A_1B_1C_1}}=k^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$
将$S_{△ ABC}=60\mathrm{cm}^2$代入得：
$\frac{60}{S_{△ A_1B_1C_1}}=\frac{4}{25}$
解得$S_{△ A_1B_1C_1}=60×\frac{25}{4}=375\mathrm{cm}^2$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形的性质；中心投影的特征
【点评】
本题是中心投影与相似知识结合的典型题型，解题的核心是正确推导两个三角形的相似比，注意不要误将$OB:BB_1$的比值当作相似比，需先计算对应点到位似中心的距离之比，再结合面积比与相似比的关系求解即可。
【难度系数】
0.5
首先明确平行于投影面的图形在点光源下的投影与原图形是位似图形，位似中心为点O，位似比等于对应顶点到位似中心的距离之比。第一步先根据已知的$OB:BB_1$的比值，求出$OB$与$OB_1$的比值，即两个三角形的相似比；第二步利用相似三角形面积比等于相似比的平方，得到两个三角形的面积比；最后结合$△ ABC$的面积，即可计算出$△ A_1B_1C_1$的面积。
【解析】
解：$\because △ ABC$平行于投影面，在点光源$O$照射下形成投影$△ A_1B_1C_1$
$\therefore △ ABC ∽ △ A_1B_1C_1$，且$AB// A_1B_1$
$\therefore △ OAB ∽ △ OA_1B_1$，相似比$k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{OB}{OB_1}$
$\because OB:BB_1=2:3$
$\therefore OB:OB_1=OB:(OB+BB_1)=2:(2+3)=2:5$，即相似比$k=\frac{2}{5}$
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ A_1B_1C_1}}=k^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$
将$S_{△ ABC}=60\mathrm{cm}^2$代入得：
$\frac{60}{S_{△ A_1B_1C_1}}=\frac{4}{25}$
解得$S_{△ A_1B_1C_1}=60×\frac{25}{4}=375\mathrm{cm}^2$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形的性质；中心投影的特征
【点评】
本题是中心投影与相似知识结合的典型题型，解题的核心是正确推导两个三角形的相似比，注意不要误将$OB:BB_1$的比值当作相似比，需先计算对应点到位似中心的距离之比，再结合面积比与相似比的关系求解即可。
【难度系数】
0.5
10. 如图，$△ ABC$与$△ A'B'C'$是位似图形，点$A,B,A',B',O$共线，点$O$为位似中心.
(1)AC与$A'C'$平行吗？为什么？
(2)若$AB=2A'B',OC'=5$,求$CC'$的长.
(1)AC与$A'C'$平行吗？为什么？
(2)若$AB=2A'B',OC'=5$,求$CC'$的长.
答案
(1)解:AC与$A'C'$平行.理由如下:
$\because △ABC$与$△A'B'C'$是位似图形,
$\therefore ∠A=∠C'A'B',\therefore AC// A'C'.$
(2)$\because △ABC$与$△A'B'C'$是位似图形,且$AB=2A'B',\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{OC}{OC'}=2.$
$\because OC'=5,\therefore OC=10,\therefore CC'=OC-OC'=10-5=5.$
$\because △ABC$与$△A'B'C'$是位似图形,
$\therefore ∠A=∠C'A'B',\therefore AC// A'C'.$
(2)$\because △ABC$与$△A'B'C'$是位似图形,且$AB=2A'B',\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{OC}{OC'}=2.$
$\because OC'=5,\therefore OC=10,\therefore CC'=OC-OC'=10-5=5.$
解析
【分析】
(1) 要判断AC与$A'C'$是否平行，可通过证明同位角相等推导平行关系。已知$△ABC$与$△A'B'C'$是位似图形，位似图形是特殊的相似图形，对应角相等，可得$∠A$与$∠C'A'B'$为相等的同位角，即可证得两直线平行。
(2) 要求$CC'$的长，由图可知$CC'=OC-OC'$，已知$OC'=5$，仅需求出OC的长度即可。位似图形的相似比等于位似中心到对应点的距离之比，结合$AB=2A'B'$可得相似比为2，即可先求出OC的长度，再计算$CC'$的长。
【解析】
(1) AC与$A'C'$平行，理由如下：
$\because △ABC$与$△A'B'C'$是位似图形，
$\therefore △ABC ∽ △A'B'C'$，
$\therefore ∠A=∠C'A'B'$，
$\therefore AC// A'C'$（同位角相等，两直线平行）。
(2) $\because △ABC$与$△A'B'C'$是位似图形，且$AB=2A'B'$，
$\therefore $ 位似比 $\frac{AB}{A'B'}=\frac{OC}{OC'}=2$，
$\because OC'=5$，
$\therefore OC=2× OC'=2×5=10$，
$\therefore CC'=OC-OC'=10-5=5$。
【答案】
(1) $AC// A'C'$，理由见解析；
(2) $CC'$的长为$5$。
【知识点】
位似图形的性质；平行线的判定；相似比的应用
【点评】
本题属于位似图形的基础考查题，结合了相似性质和平行线判定的相关知识，解题关键是掌握位似图形的对应角相等、对应点到位似中心的距离之比等于相似比这两个核心性质。
【难度系数】
0.8
(1) 要判断AC与$A'C'$是否平行，可通过证明同位角相等推导平行关系。已知$△ABC$与$△A'B'C'$是位似图形，位似图形是特殊的相似图形，对应角相等，可得$∠A$与$∠C'A'B'$为相等的同位角，即可证得两直线平行。
(2) 要求$CC'$的长，由图可知$CC'=OC-OC'$，已知$OC'=5$，仅需求出OC的长度即可。位似图形的相似比等于位似中心到对应点的距离之比，结合$AB=2A'B'$可得相似比为2，即可先求出OC的长度，再计算$CC'$的长。
【解析】
(1) AC与$A'C'$平行，理由如下：
$\because △ABC$与$△A'B'C'$是位似图形，
$\therefore △ABC ∽ △A'B'C'$，
$\therefore ∠A=∠C'A'B'$，
$\therefore AC// A'C'$（同位角相等，两直线平行）。
(2) $\because △ABC$与$△A'B'C'$是位似图形，且$AB=2A'B'$，
$\therefore $ 位似比 $\frac{AB}{A'B'}=\frac{OC}{OC'}=2$，
$\because OC'=5$，
$\therefore OC=2× OC'=2×5=10$，
$\therefore CC'=OC-OC'=10-5=5$。
【答案】
(1) $AC// A'C'$，理由见解析；
(2) $CC'$的长为$5$。
【知识点】
位似图形的性质；平行线的判定；相似比的应用
【点评】
本题属于位似图形的基础考查题，结合了相似性质和平行线判定的相关知识，解题关键是掌握位似图形的对应角相等、对应点到位似中心的距离之比等于相似比这两个核心性质。
【难度系数】
0.8
11. 如图，$△ ACC'$是由$△ ABB'$经过位似变换得到的.
(1)求出$△ ACC'$与$△ ABB'$的相似比，并指出它们的位似中心；
(2)$△ AEE'$是$△ ABB'$的位似图形吗？如果是，求相似比；如果不是，说明理由；
(3)图中与$△ ABB'$的相似比为$3$，且与$△ ABB'$关于点$A$成位似关系的图形是什么？
(1)求出$△ ACC'$与$△ ABB'$的相似比，并指出它们的位似中心；
(2)$△ AEE'$是$△ ABB'$的位似图形吗？如果是，求相似比；如果不是，说明理由；
(3)图中与$△ ABB'$的相似比为$3$，且与$△ ABB'$关于点$A$成位似关系的图形是什么？
答案
(1)解:$△ACC'$与$△ABB'$的相似比为$CC':BB'=2$;它们的位似中心是点$A$.
(2)$△AEE'$是$△ABB'$的位似图形,相似比为$EE':BB'=4$.
(3)图中与$△ABB'$的相似比为3,且与$△ABB'$关于点$A$成位似关系的图形是$△ADD'$.
(2)$△AEE'$是$△ABB'$的位似图形,相似比为$EE':BB'=4$.
(3)图中与$△ABB'$的相似比为3,且与$△ABB'$关于点$A$成位似关系的图形是$△ADD'$.
解析
【分析】
解决本题需要结合位似图形的定义与性质思考：①位似图形是特殊的相似图形，对应顶点的连线交于同一点（即位似中心），对应边互相平行；②位似比就是两个位似图形的相似比，等于对应边的比值。
对于(1)，先数网格得到△ACC'和△ABB'的对应边CC'、BB'的长度，计算比值得到相似比，再根据对应点连线都过公共点A确定位似中心；对于(2)，先根据位似的定义判断△AEE'和△ABB'是否满足“对应点连线共点、对应边平行”，再计算对应边的比得到相似比；对于(3)，根据相似比为3算出对应边的长度，再结合网格找到符合要求的图形即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1：
(1) 观察网格可得$BB'=2$，$CC'=4$，位似图形的相似比为对应边的比值，因此$△ ACC'$与$△ ABB'$的相似比为$CC':BB'=4:2=2$；又因为两个三角形的对应顶点连线都经过点$A$，因此它们的位似中心是点$A$。
(2) $△ AEE'$与$△ ABB'$的对应顶点连线都经过点$A$，且$BB'// EE'$，符合位似图形的定义，因此$△ AEE'$是$△ ABB'$的位似图形。观察网格得$EE'=8$，因此相似比为$EE':BB'=8:2=4$。
(3) 已知与$△ ABB'$的相似比为3，则对应边的长度为$2×3=6$，观察网格可知$DD'=6$，且$△ ADD'$与$△ ABB'$对应顶点连线都过点$A$、对应边平行，符合要求，因此该图形是$△ ADD'$。
【答案】
(1)$△ ACC'$与$△ ABB'$的相似比为$2$，位似中心是点$A$；
(2)$△ AEE'$是$△ ABB'$的位似图形，相似比为$4$；
(3)$△ ADD'$
【知识点】
位似图形的判定，位似中心，位似比计算
【点评】
本题围绕位似图形的基础概念设置问题，结合网格降低了计算难度，核心考查对位似定义和性质的掌握，解题时要注意相似比的顺序，避免将前后图形的对应边比搞反。
【难度系数】
0.8
解决本题需要结合位似图形的定义与性质思考：①位似图形是特殊的相似图形，对应顶点的连线交于同一点（即位似中心），对应边互相平行；②位似比就是两个位似图形的相似比，等于对应边的比值。
对于(1)，先数网格得到△ACC'和△ABB'的对应边CC'、BB'的长度，计算比值得到相似比，再根据对应点连线都过公共点A确定位似中心；对于(2)，先根据位似的定义判断△AEE'和△ABB'是否满足“对应点连线共点、对应边平行”，再计算对应边的比得到相似比；对于(3)，根据相似比为3算出对应边的长度，再结合网格找到符合要求的图形即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1：
(1) 观察网格可得$BB'=2$，$CC'=4$，位似图形的相似比为对应边的比值，因此$△ ACC'$与$△ ABB'$的相似比为$CC':BB'=4:2=2$；又因为两个三角形的对应顶点连线都经过点$A$，因此它们的位似中心是点$A$。
(2) $△ AEE'$与$△ ABB'$的对应顶点连线都经过点$A$，且$BB'// EE'$，符合位似图形的定义，因此$△ AEE'$是$△ ABB'$的位似图形。观察网格得$EE'=8$，因此相似比为$EE':BB'=8:2=4$。
(3) 已知与$△ ABB'$的相似比为3，则对应边的长度为$2×3=6$，观察网格可知$DD'=6$，且$△ ADD'$与$△ ABB'$对应顶点连线都过点$A$、对应边平行，符合要求，因此该图形是$△ ADD'$。
【答案】
(1)$△ ACC'$与$△ ABB'$的相似比为$2$，位似中心是点$A$；
(2)$△ AEE'$是$△ ABB'$的位似图形，相似比为$4$；
(3)$△ ADD'$
【知识点】
位似图形的判定，位似中心，位似比计算
【点评】
本题围绕位似图形的基础概念设置问题，结合网格降低了计算难度，核心考查对位似定义和性质的掌握，解题时要注意相似比的顺序，避免将前后图形的对应边比搞反。
【难度系数】
0.8
12.(核心素养·空间观念)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,正方形ABCD的顶点和点O均在格点上.
(1)将正方形ABCD向右平移3个单位,再向上平移1个单位,得到正方形$A_1B_1C_1D_1$,请画出正方形$A_1B_1C_1D_1$;
(2)以O为位似中心,在网格中画出正方形ABCD的位似图形正方形$A_2B_2C_2D_2$,使正方形ABCD与正方形$A_2B_2C_2D_2$的相似比为$\frac{1}{2}$;
(3)在正方形ABCD上方,正方形$A_1B_1C_1D_1$和正方形$A_2B_2C_2D_2$有位似中心吗?如果有,请找出来.
(1)将正方形ABCD向右平移3个单位,再向上平移1个单位,得到正方形$A_1B_1C_1D_1$,请画出正方形$A_1B_1C_1D_1$;
(2)以O为位似中心,在网格中画出正方形ABCD的位似图形正方形$A_2B_2C_2D_2$,使正方形ABCD与正方形$A_2B_2C_2D_2$的相似比为$\frac{1}{2}$;
(3)在正方形ABCD上方,正方形$A_1B_1C_1D_1$和正方形$A_2B_2C_2D_2$有位似中心吗?如果有,请找出来.
答案
(1)解:如图,正方形$A_1B_1C_1D_1$即为所求.
(2)如图,正方形$A_2B_2C_2D_2$即为所求.
(3)有,如图,点E即为所求.
解析
【分析】
(1)平移作图的核心是确定各顶点平移后的位置：根据平移规则“向右平移3个单位，再向上平移1个单位”，将正方形ABCD的四个顶点分别按规则平移，再顺次连接得到平移后的图形。
(2)位似作图需结合位似中心和相似比：已知位似中心为O，相似比为1:2，即新图形边长是原图形的2倍，分别延长原图形各顶点与O的连线，使延长后线段长度为原线段的2倍，得到对应顶点后顺次连接即可。
(3)位似中心是所有对应顶点连线的公共交点：连接两个正方形的对应顶点，它们的交点即为所求位似中心。
【解析】
(1)首先找到正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D，将每个点向右移动3格，再向上移动1格，得到对应点A₁、B₁、C₁、D₁，顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁，得到正方形A₁B₁C₁D₁。
(2)连接OA、OB、OC、OD并向O的右上方延长，使OA₂=2OA，OB₂=2OB，OC₂=2OC，OD₂=2OD，依次连接A₂B₂、B₂C₂、C₂D₂、D₂A₂，得到的正方形A₂B₂C₂D₂满足相似比为1:2的要求。
(3)分别连接A₁A₂、B₁B₂、C₁C₂、D₁D₂，可发现四条线段交于同一点E，根据位似中心的性质，该点就是正方形A₁B₁C₁D₁和正方形A₂B₂C₂D₂的位似中心。
【答案】
(1)解:如图,正方形$A_1B_1C_1D_1$即为所求.
(2)如图,正方形$A_2B_2C_2D_2$即为所求.
(3)有,如图,点E即为所求.
【知识点】
平移作图、位似图形作图、位似中心判定
【点评】
本题考查几何基本作图能力，结合了平移、位似两类图形变换的性质，解题关键是准确把握变换前后对应点的位置关系，作图时需保证格点位置准确。
【难度系数】
0.7
(1)平移作图的核心是确定各顶点平移后的位置：根据平移规则“向右平移3个单位，再向上平移1个单位”，将正方形ABCD的四个顶点分别按规则平移，再顺次连接得到平移后的图形。
(2)位似作图需结合位似中心和相似比：已知位似中心为O，相似比为1:2，即新图形边长是原图形的2倍，分别延长原图形各顶点与O的连线，使延长后线段长度为原线段的2倍，得到对应顶点后顺次连接即可。
(3)位似中心是所有对应顶点连线的公共交点：连接两个正方形的对应顶点，它们的交点即为所求位似中心。
【解析】
(1)首先找到正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D，将每个点向右移动3格，再向上移动1格，得到对应点A₁、B₁、C₁、D₁，顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁，得到正方形A₁B₁C₁D₁。
(2)连接OA、OB、OC、OD并向O的右上方延长，使OA₂=2OA，OB₂=2OB，OC₂=2OC，OD₂=2OD，依次连接A₂B₂、B₂C₂、C₂D₂、D₂A₂，得到的正方形A₂B₂C₂D₂满足相似比为1:2的要求。
(3)分别连接A₁A₂、B₁B₂、C₁C₂、D₁D₂，可发现四条线段交于同一点E，根据位似中心的性质，该点就是正方形A₁B₁C₁D₁和正方形A₂B₂C₂D₂的位似中心。
【答案】
(1)解:如图,正方形$A_1B_1C_1D_1$即为所求.
(2)如图,正方形$A_2B_2C_2D_2$即为所求.
(3)有,如图,点E即为所求.
【知识点】
平移作图、位似图形作图、位似中心判定
【点评】
本题考查几何基本作图能力，结合了平移、位似两类图形变换的性质，解题关键是准确把握变换前后对应点的位置关系，作图时需保证格点位置准确。
【难度系数】
0.7
