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1. 已知平面内有$\odot O$和点$A,B$,若$\odot O$的半径为$3\ \mathrm{cm}$,线段$OA=4\ \mathrm{cm}$,$OB=3\ \mathrm{cm}$,则直线$AB$与$\odot O$的位置关系为 $(\ \ \ \ \ \ )$
A.相离
B.相交
C.相切
D.相交或相切
A.相离
B.相交
C.相切
D.相交或相切
答案
1. D 解析:
∵ $\odot O$ 的半径为 3 cm,$OA=4\ \mathrm{cm}$,$OB=3\ \mathrm{cm}$,即点A到圆心O的距离大于圆的半径,点B到圆心O的距离等于圆的半径,
∴ 点A在$\odot O$外,点B在$\odot O$上,
∴ 直线AB与$\odot O$的位置关系为相交或相切,故选D.
∵ $\odot O$ 的半径为 3 cm,$OA=4\ \mathrm{cm}$,$OB=3\ \mathrm{cm}$,即点A到圆心O的距离大于圆的半径,点B到圆心O的距离等于圆的半径,
∴ 点A在$\odot O$外,点B在$\odot O$上,
∴ 直线AB与$\odot O$的位置关系为相交或相切,故选D.
解析
【分析】
解题时先根据点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点A、点B与$\odot O$的位置关系：点A到圆心的距离大于半径，故点A在圆外；点B到圆心的距离等于半径，故点B在圆上。接下来分析直线AB的位置：直线AB经过圆上的点B，分两种情况讨论：①当AB与OB垂直时，直线AB是$\odot O$的切线，此时直线与圆相切；②当AB与OB不垂直时，直线AB会与$\odot O$交于B点和另一个点，此时直线与圆相交，因此直线AB和圆的位置关系有两种可能。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=3\ \mathrm{cm}$，$OA=4\ \mathrm{cm}＞r$，$OB=3\ \mathrm{cm}=r$，
∴点A在$\odot O$外，点B在$\odot O$上。
分两种情况讨论直线AB与$\odot O$的位置关系：
1. 若$AB⊥ OB$，根据切线的判定定理，此时直线AB与$\odot O$相切，唯一公共点为点B；
2. 若AB与OB不垂直，直线AB除了经过圆上的点B外，还会与$\odot O$有另一个公共点，此时直线AB与$\odot O$相交。
因此直线AB与$\odot O$的位置关系为相交或相切，故选D。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系判定，直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题考查点与圆、直线与圆位置关系的综合应用，解题时需注意分类讨论过圆上一点的直线的不同位置，避免遗漏相切的情况错选B。
【难度系数】
0.6
解题时先根据点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点A、点B与$\odot O$的位置关系：点A到圆心的距离大于半径，故点A在圆外；点B到圆心的距离等于半径，故点B在圆上。接下来分析直线AB的位置：直线AB经过圆上的点B，分两种情况讨论：①当AB与OB垂直时，直线AB是$\odot O$的切线，此时直线与圆相切；②当AB与OB不垂直时，直线AB会与$\odot O$交于B点和另一个点，此时直线与圆相交，因此直线AB和圆的位置关系有两种可能。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=3\ \mathrm{cm}$，$OA=4\ \mathrm{cm}＞r$，$OB=3\ \mathrm{cm}=r$，
∴点A在$\odot O$外，点B在$\odot O$上。
分两种情况讨论直线AB与$\odot O$的位置关系：
1. 若$AB⊥ OB$，根据切线的判定定理，此时直线AB与$\odot O$相切，唯一公共点为点B；
2. 若AB与OB不垂直，直线AB除了经过圆上的点B外，还会与$\odot O$有另一个公共点，此时直线AB与$\odot O$相交。
因此直线AB与$\odot O$的位置关系为相交或相切，故选D。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系判定，直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题考查点与圆、直线与圆位置关系的综合应用，解题时需注意分类讨论过圆上一点的直线的不同位置，避免遗漏相切的情况错选B。
【难度系数】
0.6
2. ★★ 在直角坐标系中,点 P 的坐标是$(2,\sqrt{3})$,圆 P 的半径为 2,下列说法正确的是 (
A.圆 P 与 x 轴有一个公共点,与 y 轴有两个公共点
B.圆 P 与 x 轴有两个公共点,与 y 轴有一个公共点
C.圆 P 与 x 轴、y 轴都有两个公共点
D.圆 P 与 x 轴、y 轴都没有公共点
B
)A.圆 P 与 x 轴有一个公共点,与 y 轴有两个公共点
B.圆 P 与 x 轴有两个公共点,与 y 轴有一个公共点
C.圆 P 与 x 轴、y 轴都有两个公共点
D.圆 P 与 x 轴、y 轴都没有公共点
答案
2. B 解析:
∵ $P(2,\sqrt{3})$,圆 P 的半径为 2,
∴ 以 P 为圆心,以 2 为半径的圆与 x 轴的位置关系是相交,与 y 轴的位置关系是相切,
∴ 该圆与 x 轴的交点有 2 个,与 y 轴的交点有 1 个.故选 B.
∵ $P(2,\sqrt{3})$,圆 P 的半径为 2,
∴ 以 P 为圆心,以 2 为半径的圆与 x 轴的位置关系是相交,与 y 轴的位置关系是相切,
∴ 该圆与 x 轴的交点有 2 个,与 y 轴的交点有 1 个.故选 B.
解析
【分析】
要判断圆与x轴、y轴的公共点个数，本质是判断坐标轴（直线）与圆的位置关系，判定依据为：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，若d＜r，直线与圆相交，有2个公共点；若d=r，直线与圆相切，有1个公共点；若d＞r，直线与圆相离，没有公共点。解题时先求出圆心P到x轴、y轴的距离，再分别与半径2比较大小，即可对应得到交点个数。
【解析】
已知点P的坐标为$(2,\sqrt{3})$，圆P的半径$r=2$。
1. 求点P到x轴的距离：点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即$d_x=|\sqrt{3}|=\sqrt{3}$。
因为$\sqrt{3}＜2$，即$d_x＜r$，所以圆P与x轴相交，有2个公共点。
2. 求点P到y轴的距离：点到y轴的距离为横坐标的绝对值，即$d_y=|2|=2$。
因为$d_y=r$，所以圆P与y轴相切，有1个公共点。
综上，圆P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点，故选B。
【答案】
B
【知识点】
点到坐标轴的距离；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题核心是掌握不同位置关系对应的圆心到直线距离与半径的大小关系，以及点到坐标轴距离的计算方法，熟练掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断圆与x轴、y轴的公共点个数，本质是判断坐标轴（直线）与圆的位置关系，判定依据为：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，若d＜r，直线与圆相交，有2个公共点；若d=r，直线与圆相切，有1个公共点；若d＞r，直线与圆相离，没有公共点。解题时先求出圆心P到x轴、y轴的距离，再分别与半径2比较大小，即可对应得到交点个数。
【解析】
已知点P的坐标为$(2,\sqrt{3})$，圆P的半径$r=2$。
1. 求点P到x轴的距离：点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即$d_x=|\sqrt{3}|=\sqrt{3}$。
因为$\sqrt{3}＜2$，即$d_x＜r$，所以圆P与x轴相交，有2个公共点。
2. 求点P到y轴的距离：点到y轴的距离为横坐标的绝对值，即$d_y=|2|=2$。
因为$d_y=r$，所以圆P与y轴相切，有1个公共点。
综上，圆P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点，故选B。
【答案】
B
【知识点】
点到坐标轴的距离；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题核心是掌握不同位置关系对应的圆心到直线距离与半径的大小关系，以及点到坐标轴距离的计算方法，熟练掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. |教材P37练习T4变式 直线AB,CD相交于点O,射线OM平分∠AOD,点P在射线OM上(点P与点O不重合),如果以点P为圆心的圆与直线AB相离,那么圆P与直线CD的位置关系是 (
A.相离
B.相切
C.相交
D.不确定
A
)A.相离
B.相切
C.相交
D.不确定
答案
3. A 解析:
∵ OM 平分$∠ AOD$,以点 P 为圆心的圆与直线 AB 相离,
∴ 以点 P 为圆心的圆与直线 CD 相离.故选 A.
∵ OM 平分$∠ AOD$,以点 P 为圆心的圆与直线 AB 相离,
∴ 以点 P 为圆心的圆与直线 CD 相离.故选 A.
解析
【分析】
要判断圆P与直线CD的位置关系，首先明确直线与圆位置关系的判定核心：比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小，d＞r时相离、d=r时相切、d＜r时相交。已知圆P与AB相离，需要先找到点P到AB、CD两条直线的距离关系；由题中OM平分∠AOD，点P在OM上，根据角平分线的性质可推出P到AB和CD的距离相等，结合已知的相离条件即可推导圆P与CD的位置关系。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
∵ 射线OM平分∠AOD，点P在射线OM上，
∴ 点P到直线AB的距离与点P到直线CD的距离相等，设该距离为d，圆P的半径为r。
∵ 圆P与直线AB相离，
∴ d ＞ r，
∴ 点P到直线CD的距离也满足d ＞ r，因此圆P与直线CD相离。
故选A。
【答案】A
【知识点】
角平分线的性质；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础常考题，将角平分线性质和直线与圆位置关系的判定结合考查，解题关键是利用角平分线的性质建立圆心到两条相交直线的距离的等量关系，再结合位置关系判定规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断圆P与直线CD的位置关系，首先明确直线与圆位置关系的判定核心：比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小，d＞r时相离、d=r时相切、d＜r时相交。已知圆P与AB相离，需要先找到点P到AB、CD两条直线的距离关系；由题中OM平分∠AOD，点P在OM上，根据角平分线的性质可推出P到AB和CD的距离相等，结合已知的相离条件即可推导圆P与CD的位置关系。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
∵ 射线OM平分∠AOD，点P在射线OM上，
∴ 点P到直线AB的距离与点P到直线CD的距离相等，设该距离为d，圆P的半径为r。
∵ 圆P与直线AB相离，
∴ d ＞ r，
∴ 点P到直线CD的距离也满足d ＞ r，因此圆P与直线CD相离。
故选A。
【答案】A
【知识点】
角平分线的性质；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础常考题，将角平分线性质和直线与圆位置关系的判定结合考查，解题关键是利用角平分线的性质建立圆心到两条相交直线的距离的等量关系，再结合位置关系判定规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 已知$\odot O$的半径$OA=5\ \mathrm{cm}$，延长$OA$到$B$，$AB=2\ \mathrm{cm}$，以$OB$为一边作$∠ OBC=45°$，那么$BC$所在直线与$\odot O$的位置关系是
相交
。答案
4. 相交 解析:过 O 作 $OC ⊥ BC$,在$\mathrm{Rt}△ OBC$中,$∠ B=45°$,$OB=5+2=7$,$\therefore OC=\frac{7}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}＜5$,$\therefore BC$ 所在直线与 $\odot O$ 的位置关系是相交,故答案为相交.
解析
【分析】
要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小：d＜r时相交，d=r时相切，d＞r时相离。因此本题首先需要过圆心O作BC的垂线段，得到圆心到直线BC的距离；再结合已知的OB长度、∠OBC=45°的条件，利用直角三角形的性质求出该距离；最后将距离和半径5cm比较，即可得出位置关系。
【解析】
解：过点O作$OP⊥ BC$于点P，OP即为圆心O到直线BC的距离。
由题意得：$OB=OA+AB=5+2=7\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OPB$中，$∠ OBC=45°$，
$\therefore OP=OB·\sin45°=7×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{7\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{cm}$，
$\because \frac{7\sqrt{2}}{2}\approx4.95＜5$，即圆心到直线BC的距离小于$\odot O$的半径，
$\therefore BC$所在直线与$\odot O$的位置关系是相交。
【答案】
相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定，解直角三角形，锐角三角函数应用
【点评】
本题属于基础题，主要考查直线与圆位置关系的判定方法，解题关键是正确求出圆心到直线的距离，熟练掌握位置关系与d、r的大小对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小：d＜r时相交，d=r时相切，d＞r时相离。因此本题首先需要过圆心O作BC的垂线段，得到圆心到直线BC的距离；再结合已知的OB长度、∠OBC=45°的条件，利用直角三角形的性质求出该距离；最后将距离和半径5cm比较，即可得出位置关系。
【解析】
解：过点O作$OP⊥ BC$于点P，OP即为圆心O到直线BC的距离。
由题意得：$OB=OA+AB=5+2=7\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OPB$中，$∠ OBC=45°$，
$\therefore OP=OB·\sin45°=7×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{7\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{cm}$，
$\because \frac{7\sqrt{2}}{2}\approx4.95＜5$，即圆心到直线BC的距离小于$\odot O$的半径，
$\therefore BC$所在直线与$\odot O$的位置关系是相交。
【答案】
相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定，解直角三角形，锐角三角函数应用
【点评】
本题属于基础题，主要考查直线与圆位置关系的判定方法，解题关键是正确求出圆心到直线的距离，熟练掌握位置关系与d、r的大小对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图,若$\odot O$的半径为3,点O到一条直线的距离为3,则这条直线可能是（
）
A.$l_1$
B.$l_2$
C.$l_3$
D.$l_4$
）A.$l_1$
B.$l_2$
C.$l_3$
D.$l_4$
答案
5. A 解析:
∵ $\odot O$ 的半径为 3,圆心 O 到一条直线的距离为 3,$3=3$,由图可知只有直线 $l_1$ 与 $\odot O$ 相切.故选 A.
∵ $\odot O$ 的半径为 3,圆心 O 到一条直线的距离为 3,$3=3$,由图可知只有直线 $l_1$ 与 $\odot O$ 相切.故选 A.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆直线与圆位置关系的判定方法：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当d=r时直线和圆相切（仅1个公共点），d＜r时直线和圆相交，d＞r时直线和圆相离。首先结合题目给出的半径、距离数值确定直线和圆的位置关系，再对应找到图中符合该位置关系的直线即可。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=3$，圆心$O$到所求直线的距离$d=3$，可得$d=r$，因此这条直线与$\odot O$相切，即直线与$\odot O$有且只有1个公共点。
观察图形：直线$l_2$、$l_4$与$\odot O$均有2个公共点，属于相交；直线$l_3$与$\odot O$没有公共点，属于相离；只有直线$l_1$与$\odot O$仅有1个公共点，是$\odot O$的切线，符合要求。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的基础考查题，解题关键是熟练掌握根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆位置的方法，结合图形即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆直线与圆位置关系的判定方法：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当d=r时直线和圆相切（仅1个公共点），d＜r时直线和圆相交，d＞r时直线和圆相离。首先结合题目给出的半径、距离数值确定直线和圆的位置关系，再对应找到图中符合该位置关系的直线即可。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=3$，圆心$O$到所求直线的距离$d=3$，可得$d=r$，因此这条直线与$\odot O$相切，即直线与$\odot O$有且只有1个公共点。
观察图形：直线$l_2$、$l_4$与$\odot O$均有2个公共点，属于相交；直线$l_3$与$\odot O$没有公共点，属于相离；只有直线$l_1$与$\odot O$仅有1个公共点，是$\odot O$的切线，符合要求。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的基础考查题，解题关键是熟练掌握根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆位置的方法，结合图形即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
6. ★★ 已知$\odot O$的圆心到直线$l$的距离是一元二次方程$x^2 - x -20=0$的一个根，若$\odot O$与直线$l$相离，$\odot O$的半径可取的值为（
A.4
B.5
C.6
D.7
A
）A.4
B.5
C.6
D.7
答案
6. A 解析:
∵ $x^2-x-20=0$,$\therefore x_1=5$,$x_2=-4$.$\because \odot O$ 的圆心到直线 $l$ 的距离 $d$ 是一元二次方程 $x^2-x-20=0$ 的一个根,$\therefore d=5$.$\because \odot O$ 与直线 $l$ 相离,$\therefore \odot O$ 的半径 $r＜d$,即 $r＜5$.故选 A.
∵ $x^2-x-20=0$,$\therefore x_1=5$,$x_2=-4$.$\because \odot O$ 的圆心到直线 $l$ 的距离 $d$ 是一元二次方程 $x^2-x-20=0$ 的一个根,$\therefore d=5$.$\because \odot O$ 与直线 $l$ 相离,$\therefore \odot O$ 的半径 $r＜d$,即 $r＜5$.故选 A.
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步先求解给定的一元二次方程，得到方程的两个根；第二步结合圆心到直线的距离为非负数的性质，舍去方程的负根，得到距离$d$的具体值；第三步回忆直线和圆相离的判定条件，即圆的半径$r ＜ d$时直线与圆相离，结合选项选出符合条件的半径即可。
【解析】
先解一元二次方程$x^2 - x - 20 = 0$，因式分解得$(x-5)(x+4)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-4$。
因为圆心到直线$l$的距离$d$是非负数，且是该方程的一个根，所以$d=5$。
已知$\odot O$与直线$l$相离，根据直线与圆相离的判定规则，此时圆的半径$r ＜ d$，即$r ＜ 5$。
观察选项，只有4满足$r ＜ 5$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的求解；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础综合题，结合了一元二次方程求解和直线与圆位置关系两个考点，解题时要注意距离的非负性，合理舍去不符合实际意义的根，牢记直线与圆不同位置关系对应的半径和圆心距的大小关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题可分三步思考：第一步先求解给定的一元二次方程，得到方程的两个根；第二步结合圆心到直线的距离为非负数的性质，舍去方程的负根，得到距离$d$的具体值；第三步回忆直线和圆相离的判定条件，即圆的半径$r ＜ d$时直线与圆相离，结合选项选出符合条件的半径即可。
【解析】
先解一元二次方程$x^2 - x - 20 = 0$，因式分解得$(x-5)(x+4)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-4$。
因为圆心到直线$l$的距离$d$是非负数，且是该方程的一个根，所以$d=5$。
已知$\odot O$与直线$l$相离，根据直线与圆相离的判定规则，此时圆的半径$r ＜ d$，即$r ＜ 5$。
观察选项，只有4满足$r ＜ 5$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的求解；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础综合题，结合了一元二次方程求解和直线与圆位置关系两个考点，解题时要注意距离的非负性，合理舍去不符合实际意义的根，牢记直线与圆不同位置关系对应的半径和圆心距的大小关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7. ★★ 在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点A为圆心，r为半径作⊙A.
(1)当r为
(2)当r为
(3)当r的范围为
(1)当r为
3
时，⊙A与直线BC相切；(2)当r为
2.4
时，⊙A与直线BD相切；(3)当r的范围为
3＜r＜4
时，⊙A与直线BC相交且与直线CD相离.答案
7. (1)3 解析:
∵ 四边形 ABCD 为矩形,$\therefore ∠ B=∠ D=90°$,$\therefore AB ⊥ BC$,$AD ⊥ DC$.$\because$ 圆心 A 到 BC 边的距离 $AB=3$,$\odot A$ 与直线 BC 相切,$\therefore r=AB=3$.则当半径 r 为 3 时,$\odot A$ 与直线 BC 相切.
(2)2.4 解析:如图,连接 BD,过 A 作 $AE ⊥ BD$ 于点 E,
∵ 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$AB=3$,$AD=4$,$\therefore BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=5$.
又
∵ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD · AE=\frac{1}{2}AB · AD$,$\therefore$ 圆心 A 到 BD 的距离 $AE=\frac{12}{5}=2.4$.又$\odot A$ 与直线 BD 相切,$\therefore r=AE=2.4$.则当半径 r 为 2.4 时,$\odot A$ 与直线 BD 相切.
(3)$3＜r＜4$ 解析:
∵ $\odot A$ 与直线 BC 相交,圆心 A 到 BC 边的距离为 $AB=3$,$\therefore r＞3$.又$\odot A$ 与直线 CD 相离,圆心 A 到 CD 边的距离为 $AD=4$,$\therefore r＜4$.则当 $3＜r＜4$ 时,$\odot A$ 与直线 BC 相交且与直线 CD 相离.
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握直线与圆的位置关系判定规则：设圆心到直线的距离为$d$，圆半径为$r$，当$d=r$时直线与圆相切，$d＜r$时直线与圆相交，$d＞r$时直线与圆相离。解题时先分别求出圆心$A$到对应直线的距离，再结合位置关系对应的$d$与$r$的数量关系求解即可：
(1)先求点$A$到直线$BC$的距离，结合相切条件即可得$r$的值；
(2)先用勾股定理求$BD$的长度，再用面积法求点$A$到$BD$的垂线段长度，结合相切条件得$r$的值；
(3)分别根据直线$BC$相交、直线$CD$相离的条件列$r$的不等式，取公共范围即为所求。
【解析】
(1)
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$∠ B=90°$，即$AB⊥ BC$，
∴圆心$A$到直线$BC$的距离为$AB=3$，
∵$\odot A$与直线$BC$相切，
∴$r=3$。
(2)如图，连接$BD$，过$A$作$AE⊥ BD$于点$E$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=3$，$AD=BC=4$，
由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$△ ABD$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB· AD$，也可表示为$\frac{1}{2}BD· AE$，
∴$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× AE$，解得$AE=\frac{12}{5}=2.4$，即圆心$A$到直线$BD$的距离为2.4，
∵$\odot A$与直线$BD$相切，
∴$r=AE=2.4$。
(3)
∵$\odot A$与直线$BC$相交，圆心$A$到$BC$的距离为3，
∴$r＞3$；
又
∵$\odot A$与直线$CD$相离，矩形中$AD⊥ CD$，圆心$A$到$CD$的距离为$AD=4$，
∴$r＜4$；
综上，$r$的取值范围是$3＜r＜4$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{3}$；(2)$\boldsymbol{2.4}$；(3)$\boldsymbol{3＜r＜4}$
【知识点】
直线与圆的位置关系、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用类题目，解题的关键是熟练掌握位置关系对应的数量规则，其中第二问用到的面积法求高是几何中计算垂线段长度的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是掌握直线与圆的位置关系判定规则：设圆心到直线的距离为$d$，圆半径为$r$，当$d=r$时直线与圆相切，$d＜r$时直线与圆相交，$d＞r$时直线与圆相离。解题时先分别求出圆心$A$到对应直线的距离，再结合位置关系对应的$d$与$r$的数量关系求解即可：
(1)先求点$A$到直线$BC$的距离，结合相切条件即可得$r$的值；
(2)先用勾股定理求$BD$的长度，再用面积法求点$A$到$BD$的垂线段长度，结合相切条件得$r$的值；
(3)分别根据直线$BC$相交、直线$CD$相离的条件列$r$的不等式，取公共范围即为所求。
【解析】
(1)
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$∠ B=90°$，即$AB⊥ BC$，
∴圆心$A$到直线$BC$的距离为$AB=3$，
∵$\odot A$与直线$BC$相切，
∴$r=3$。
(2)如图，连接$BD$，过$A$作$AE⊥ BD$于点$E$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=3$，$AD=BC=4$，
由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$△ ABD$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB· AD$，也可表示为$\frac{1}{2}BD· AE$，
∴$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× AE$，解得$AE=\frac{12}{5}=2.4$，即圆心$A$到直线$BD$的距离为2.4，
∵$\odot A$与直线$BD$相切，
∴$r=AE=2.4$。
(3)
∵$\odot A$与直线$BC$相交，圆心$A$到$BC$的距离为3，
∴$r＞3$；
又
∵$\odot A$与直线$CD$相离，矩形中$AD⊥ CD$，圆心$A$到$CD$的距离为$AD=4$，
∴$r＜4$；
综上，$r$的取值范围是$3＜r＜4$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{3}$；(2)$\boldsymbol{2.4}$；(3)$\boldsymbol{3＜r＜4}$
【知识点】
直线与圆的位置关系、矩形的性质、勾股定理
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用类题目，解题的关键是熟练掌握位置关系对应的数量规则，其中第二问用到的面积法求高是几何中计算垂线段长度的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
8. |教材P36练习T2变式 已知$△ ABC$中，$∠ C=90°,AC=3,BC=4$.以$C$为圆心作$\odot C$,如果圆$C$与斜边$AB$有两个公共点,那么圆$C$的半径长$R$的取值范围是
$\frac{12}{5}＜R≤3$
.答案
8. $\frac{12}{5}＜R≤3$ 解析:作 $CD ⊥ AB$ 于点 D.$\because ∠ ACB=90°$,$AC=3$,$BC=4$,$\therefore AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$.$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB · CD=\frac{1}{2}AC · BC$,$\therefore CD=\frac{AC · BC}{AB}=\frac{12}{5}$,即圆心 C 到 AB 的距离 $d=\frac{12}{5}$.$\because AC＜BC$,$\therefore$ 以 C 为圆心,$R=4$ 为半径所作的圆与斜边 AB 只有一个公共点,$\therefore$ 若 $\odot C$ 与斜边 AB 有两个公共点,则 R 的取值范围是 $\frac{12}{5}＜R≤3$.
解析
【分析】
要解决这道题，需结合直线与圆的位置关系分析，同时注意题目要求是圆与斜边AB（线段）有两个公共点，而非与AB所在直线有交点，解题思路分为两步：① 先计算圆心C到斜边AB的距离，即斜边上的高，这个距离是圆与AB所在直线相切时的半径，此时圆与AB只有1个公共点，要得到2个公共点，半径需大于这个距离；② 再判断半径的上限，保证两个交点都落在线段AB上，观察直角边长度，当半径超过较短直角边AC的长度时，点A进入圆内，此时线段AB与圆仅会有1个公共点，因此半径不能超过AC的长度，综合两个条件即可得到R的取值范围。
【解析】
解：过点C作$CD ⊥ AB$于点D。
$\because ∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
$\therefore$ 由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\because △ ABC$的面积可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB · CD = \frac{1}{2}AC · BC$，
$\therefore CD=\frac{AC · BC}{AB}=\frac{3 × 4}{5}=\frac{12}{5}$，即圆心C到AB所在直线的距离$d=\frac{12}{5}$。
当$R=\frac{12}{5}$时，$\odot C$与AB所在直线相切，与线段AB只有1个公共点；
当$R＞\frac{12}{5}$时，$\odot C$与AB所在直线有2个交点，结合线段AB的范围分析：
$\because AC=3＜BC=4$，
$\therefore$ 当$R ≤ 3$时，点A在$\odot C$上或圆外，点B在圆外，此时直线AB与圆的2个交点都落在线段AB上，符合题意；
当$3＜R ≤ 4$时，点A在圆内，点B在圆外或圆上，此时线段AB与$\odot C$只有1个公共点，不符合题意。
综上，$\odot C$与斜边AB有两个公共点时，R的取值范围是$\frac{12}{5}＜R ≤ 3$。
【答案】
$\frac{12}{5}＜R≤3$
【知识点】
直线与圆的位置关系，勾股定理，面积法求高
【点评】
本题的易错点是误将AB看作直线，忽略交点需落在线段AB上的限制，错把半径上限定为4，解题时要结合图形分析端点与圆的位置关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需结合直线与圆的位置关系分析，同时注意题目要求是圆与斜边AB（线段）有两个公共点，而非与AB所在直线有交点，解题思路分为两步：① 先计算圆心C到斜边AB的距离，即斜边上的高，这个距离是圆与AB所在直线相切时的半径，此时圆与AB只有1个公共点，要得到2个公共点，半径需大于这个距离；② 再判断半径的上限，保证两个交点都落在线段AB上，观察直角边长度，当半径超过较短直角边AC的长度时，点A进入圆内，此时线段AB与圆仅会有1个公共点，因此半径不能超过AC的长度，综合两个条件即可得到R的取值范围。
【解析】
解：过点C作$CD ⊥ AB$于点D。
$\because ∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
$\therefore$ 由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\because △ ABC$的面积可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB · CD = \frac{1}{2}AC · BC$，
$\therefore CD=\frac{AC · BC}{AB}=\frac{3 × 4}{5}=\frac{12}{5}$，即圆心C到AB所在直线的距离$d=\frac{12}{5}$。
当$R=\frac{12}{5}$时，$\odot C$与AB所在直线相切，与线段AB只有1个公共点；
当$R＞\frac{12}{5}$时，$\odot C$与AB所在直线有2个交点，结合线段AB的范围分析：
$\because AC=3＜BC=4$，
$\therefore$ 当$R ≤ 3$时，点A在$\odot C$上或圆外，点B在圆外，此时直线AB与圆的2个交点都落在线段AB上，符合题意；
当$3＜R ≤ 4$时，点A在圆内，点B在圆外或圆上，此时线段AB与$\odot C$只有1个公共点，不符合题意。
综上，$\odot C$与斜边AB有两个公共点时，R的取值范围是$\frac{12}{5}＜R ≤ 3$。
【答案】
$\frac{12}{5}＜R≤3$
【知识点】
直线与圆的位置关系，勾股定理，面积法求高
【点评】
本题的易错点是误将AB看作直线，忽略交点需落在线段AB上的限制，错把半径上限定为4，解题时要结合图形分析端点与圆的位置关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
9. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,半径为2的$\odot P$的圆心$P$的坐标为$(-3,0)$,将$\odot P$沿$x$轴正方向平移,使$\odot P$与$y$轴相切,则平移的距离为
1或5
.答案
9. 1或5 解析:当$\odot P$ 位于 y 轴的左侧且与 y 轴相切时,平移的距离为 1;当$\odot P$ 位于 y 轴的右侧且与 y 轴相切时,平移的距离为 5.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆直线和圆相切的判定条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。本题中⊙P沿x轴正方向平移，平移过程中圆心纵坐标始终为0，半径保持2不变，y轴为直线x=0。我们需要分两种情况讨论⊙P和y轴相切的位置：一种是圆平移后仍在y轴左侧与y轴相切，另一种是圆平移到y轴右侧与y轴相切，分别计算两种情况下的平移距离即可。
【解析】
已知⊙P初始圆心坐标为(-3,0)，半径r=2，沿x轴正方向平移后，设平移后圆心坐标为(a, 0)。
当⊙P与y轴（直线x=0）相切时，圆心到y轴的距离等于半径，即|a|=2，解得a=2或a=-2。
1. 当a=-2时，⊙P在y轴左侧与y轴相切，平移距离为|-2 - (-3)|=1；
2. 当a=2时，⊙P在y轴右侧与y轴相切，平移距离为|2 - (-3)|=5。
综上，平移的距离为1或5。
【答案】
1或5
【知识点】
直线与圆相切的性质，图形平移的性质
【点评】
本题易漏解，解题时需全面考虑圆与y轴相切的两种位置情况，考查对直线与圆相切条件的运用，同时也体现了分类讨论思想在几何题中的重要性。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆直线和圆相切的判定条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。本题中⊙P沿x轴正方向平移，平移过程中圆心纵坐标始终为0，半径保持2不变，y轴为直线x=0。我们需要分两种情况讨论⊙P和y轴相切的位置：一种是圆平移后仍在y轴左侧与y轴相切，另一种是圆平移到y轴右侧与y轴相切，分别计算两种情况下的平移距离即可。
【解析】
已知⊙P初始圆心坐标为(-3,0)，半径r=2，沿x轴正方向平移后，设平移后圆心坐标为(a, 0)。
当⊙P与y轴（直线x=0）相切时，圆心到y轴的距离等于半径，即|a|=2，解得a=2或a=-2。
1. 当a=-2时，⊙P在y轴左侧与y轴相切，平移距离为|-2 - (-3)|=1；
2. 当a=2时，⊙P在y轴右侧与y轴相切，平移距离为|2 - (-3)|=5。
综上，平移的距离为1或5。
【答案】
1或5
【知识点】
直线与圆相切的性质，图形平移的性质
【点评】
本题易漏解，解题时需全面考虑圆与y轴相切的两种位置情况，考查对直线与圆相切条件的运用，同时也体现了分类讨论思想在几何题中的重要性。
【难度系数】
0.7
10. ★★★ 如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C = 90°, AC ≠ BC$,点 M 是边 AC 上的动点.过点 M 作 $MN // AB$ 交 BC 于点 N,现将 $△ MNC$ 沿 MN 折叠,得到 $△ MNP$.若点 P 在 AB 上,则以 MN 为直径的圆与直线 AB 的位置关系是 (
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
A
)A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
答案
10. A 解析:如图,连接 PC 交 MN 于点 D,取 MN 的中点 O,连接 OP,由题意 $PD＜OP$,点 O 即为以 MN 为直径的圆的圆心,$\therefore$ 圆心 O 到直线 AB 的距离小于 $\odot O$ 的半径,$\therefore$ 以 MN 为直径的圆与直线 AB 相交.故选 A.
解析
【分析】
要判断以MN为直径的圆与直线AB的位置关系，核心是比较圆心到直线AB的距离d和圆半径r的大小：d＜r时相交，d=r时相切，d＞r时相离。首先确定圆心：MN为直径，故圆心是MN的中点O，半径r=OP。再结合折叠性质：折叠后点C与P关于MN对称，因此MN垂直平分PC，又MN//AB，可得PC垂直AB，此时平行线MN与AB的距离PD就是圆心O到AB的距离d。最后在直角三角形ODP中，斜边OP大于直角边PD，即d＜r，即可得出位置关系。
【解析】
解：如图，连接PC交MN于点D，取MN的中点O，连接OP。
由折叠的性质可知，MN垂直平分PC，
∴$CD=PD$，$MN⊥PC$。
∵$MN// AB$，
∴$PC⊥AB$，即圆心O到直线AB的距离为PD的长度。
∵O是MN的中点，MN为圆的直径，$∠ MPN=∠ C=90°$，
∴OP是$\odot O$的半径，即$r=OP$。
在$Rt△ ODP$中，$∠ ODP=90°$，根据直角三角形中斜边大于直角边，可得$OP＞PD$，即圆心到直线AB的距离小于圆的半径。
∴以MN为直径的圆与直线AB相交。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系；折叠的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了折叠变换、平行线性质和直线与圆位置关系的判定，解题关键是明确直线与圆位置关系的判定核心是比较圆心到直线的距离和半径的大小，通过作辅助线结合几何性质得到二者的大小关系即可求解。
【难度系数】
0.6
要判断以MN为直径的圆与直线AB的位置关系，核心是比较圆心到直线AB的距离d和圆半径r的大小：d＜r时相交，d=r时相切，d＞r时相离。首先确定圆心：MN为直径，故圆心是MN的中点O，半径r=OP。再结合折叠性质：折叠后点C与P关于MN对称，因此MN垂直平分PC，又MN//AB，可得PC垂直AB，此时平行线MN与AB的距离PD就是圆心O到AB的距离d。最后在直角三角形ODP中，斜边OP大于直角边PD，即d＜r，即可得出位置关系。
【解析】
解：如图，连接PC交MN于点D，取MN的中点O，连接OP。
由折叠的性质可知，MN垂直平分PC，
∴$CD=PD$，$MN⊥PC$。
∵$MN// AB$，
∴$PC⊥AB$，即圆心O到直线AB的距离为PD的长度。
∵O是MN的中点，MN为圆的直径，$∠ MPN=∠ C=90°$，
∴OP是$\odot O$的半径，即$r=OP$。
在$Rt△ ODP$中，$∠ ODP=90°$，根据直角三角形中斜边大于直角边，可得$OP＞PD$，即圆心到直线AB的距离小于圆的半径。
∴以MN为直径的圆与直线AB相交。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系；折叠的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了折叠变换、平行线性质和直线与圆位置关系的判定，解题关键是明确直线与圆位置关系的判定核心是比较圆心到直线的距离和半径的大小，通过作辅助线结合几何性质得到二者的大小关系即可求解。
【难度系数】
0.6
