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14 教科书第67页例9的题目如下：
例9 如图28-2-17，已知：在$△ ABC$中，AP平分$∠ BAC$.
求证：$\frac{AB}{AC}=\frac{BP}{PC}$.
证明 过点B作$BE// AC$，交AP的延长线于……
数学小组在研究时发现，该例题得出的性质可以用数学语言表达为“在三角形中，角平分线分对边所成的两条线段与夹这个角的两边对应成比例”.
（1）小海受到例9解答中添加平行线的启发，他认为过点C作$CE// AP$，交BA的延长线于点E，如图(1)所示，也能解决问题. 请你利用该辅助线完成证明.
（2）欢欢根据以上思路，在探究某些三角形的外角平分线时，也得到了相关线段成比例的结论：“如图(2)，已知：D、E分别是$△ ABC$边BC、BA延长线上的点，且AD平分$∠ CAE$. 求证：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.”请你完成该证明.
（3）数学小组根据前面的结论，完成了下面的问题：“如图(3)，在$△ ABC$中，BD平分$∠ ABC$，交AC于点D，过点D作$DE// AB$，交BC于点E，过点D作$DF⊥ CE$，垂足为F，$∠ DBC=\frac{2}{3}∠ CDF$，$BE:CE=3:5$，$EF=\frac{7}{5}$. 求AD的长.”请你完成该问题的求解.〔提示：可以利用第(1)(2)小题的结论〕
例9 如图28-2-17，已知：在$△ ABC$中，AP平分$∠ BAC$.
求证：$\frac{AB}{AC}=\frac{BP}{PC}$.
证明 过点B作$BE// AC$，交AP的延长线于……
数学小组在研究时发现，该例题得出的性质可以用数学语言表达为“在三角形中，角平分线分对边所成的两条线段与夹这个角的两边对应成比例”.
（1）小海受到例9解答中添加平行线的启发，他认为过点C作$CE// AP$，交BA的延长线于点E，如图(1)所示，也能解决问题. 请你利用该辅助线完成证明.
（2）欢欢根据以上思路，在探究某些三角形的外角平分线时，也得到了相关线段成比例的结论：“如图(2)，已知：D、E分别是$△ ABC$边BC、BA延长线上的点，且AD平分$∠ CAE$. 求证：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.”请你完成该证明.
（3）数学小组根据前面的结论，完成了下面的问题：“如图(3)，在$△ ABC$中，BD平分$∠ ABC$，交AC于点D，过点D作$DE// AB$，交BC于点E，过点D作$DF⊥ CE$，垂足为F，$∠ DBC=\frac{2}{3}∠ CDF$，$BE:CE=3:5$，$EF=\frac{7}{5}$. 求AD的长.”请你完成该问题的求解.〔提示：可以利用第(1)(2)小题的结论〕
答案
14. (1)
∵ CE//AP，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{BP}{PC}$，∠BAP=∠E，∠CAP=∠ACE.
∵ AP平分∠BAC，
∴ ∠BAP=∠CAP.
∴ ∠E=∠ACE.
∴ AC=AE.
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BP}{PC}$.
(2) 如图(1)，过点C作CF//AD，交AB于点F.
∵ CF//AD，
∴ ∠CAD=∠ACF，∠EAD=∠AFC.
∵ AD平分∠CAE，
∴ ∠CAD=∠EAD.
∴ ∠ACF=∠AFC.
∴ AC=AF.
∵ CF//AD，
∴ $\frac{AB}{AF}=\frac{BD}{CD}$.
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
(3)
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD.
设∠DBC=2α，则∠ABD=2α.
∵ ∠DBC=$\frac{2}{3}$∠CDF，
∴ ∠CDF=3α.
∵ DF⊥BC，
∴ ∠C=90°−3α.
∴ ∠BDA=2α+90°−3α=90°−α.
∴ ∠A=180°−2α−(90°−α)=90°−α.
∴ ∠A=∠BDA.
∴ AB=BD.
如图(2)，在BD的延长线上取点G，则∠CDG=∠ADB=90°−α.
∵ DE//AB，
∴ ∠CDE=∠A=90°−α.
∴ ∠CDG=∠CDE.
由(2)，得BD:DE=BC:CE.
∵ BE:CE=3:5，
∴ BC:CE=8:5.
∴ BD:DE=8:5.
∵ DE//AB，
∴ ∠EDB=∠ABD=∠CBD.
∴ ED=EB.
设DE=5x，则EB=5x，BD=8x.
过点E作EH⊥BD，垂足为H，则H为BD的中点，故BH=DH=8x·$\frac{1}{2}$=4x.
在Rt△BEH中，$EH=\sqrt{(5x)^2-(4x)^2}=3x$.
$S_{△BDE}=\frac{1}{2}BD·EH=\frac{1}{2}BE·DF$，即$\frac{1}{2}·8x·3x=\frac{1}{2}·5x·DF$，得$DF=\frac{24}{5}x$.
∵ $EF=\frac{7}{5}$，
∴ 在Rt△DEF中，$(\frac{7}{5})^2+(\frac{24}{5}x)^2=(5x)^2$，解得x=1或x=−1(舍去).
∴ AB=BD=8，BE=5，$DF=\frac{24}{5}$.
∵ BE:CE=3:5，
∴ $CE=\frac{25}{3}$.
∴ $CF=\frac{25}{3}-\frac{7}{5}=\frac{104}{15}$，$BC=\frac{25}{3}+5=\frac{40}{3}$.
在Rt△CDF中，$CD=\sqrt{(\frac{104}{15})^2+(\frac{24}{5})^2}=\frac{8\sqrt{10}}{3}$.
BD平分∠ABC，由(1)中的结论，得BA:BC=AD:CD，即$8:\frac{40}{3}=AD:\frac{8\sqrt{10}}{3}$，解得$AD=\frac{8\sqrt{10}}{5}$.
∴ AD的长为$\frac{8\sqrt{10}}{5}$.
解析
【分析】
本题分为三个递进的小问，考查相似相关的线段比例证明与综合计算：
1. 第(1)问证明内角角平分线分对边成比例：借助辅助线$CE//AP$，先通过平行线分线段成比例得到$\frac{AB}{AE}=\frac{BP}{PC}$，再结合角平分线性质和平行线的内错角相等，推出$∠E=∠ACE$，得到$AE=AC$，等量替换即可得证。
2. 第(2)问证明外角角平分线分对边成比例：类比第(1)问的思路，添加平行线$CF//AD$，同样通过等角对等边得到$AC=AF$，再结合平行线分线段成比例等量替换即可得证。
3. 第(3)问是综合应用：首先设角度，通过角度推导得到$AB=BD$、$ED=EB$两个等腰三角形，再结合外角平分线结论得到$BD$与$DE$的比例，设参数后用等腰三角形三线合一、勾股定理、面积法求出$DF$的表达式，结合$EF$的长度用勾股定理求出参数的值，最后用第(1)问的内角角平分线结论列比例式求出$AD$的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ $CE//AP$，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{BP}{PC}$，$∠BAP=∠E$，$∠CAP=∠ACE$。
∵ $AP$平分$∠BAC$，
∴ $∠BAP=∠CAP$，
∴ $∠E=∠ACE$，
∴ $AC=AE$，
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BP}{PC}$。
(2) 证明：
过点$C$作$CF//AD$，交$AB$于点$F$。
∵ $CF//AD$，
∴ $∠CAD=∠ACF$，$∠EAD=∠AFC$。
∵ $AD$平分$∠CAE$，
∴ $∠CAD=∠EAD$，
∴ $∠ACF=∠AFC$，
∴ $AC=AF$。
∵ $CF//AD$，
∴ $\frac{AB}{AF}=\frac{BD}{CD}$，
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
(3) 解：
∵ $BD$平分$∠ABC$，
∴ $∠ABD=∠CBD$。
设$∠DBC=2α$，则$∠ABD=2α$。
∵ $∠DBC=\frac{2}{3}∠CDF$，
∴ $∠CDF=3α$。
∵ $DF⊥BC$，
∴ $∠C=90°−3α$。
∴ $∠BDA=∠CBD+∠C=2α+90°−3α=90°−α$。
在$△ABD$中，$∠A=180°−∠ABD−∠BDA=180°−2α−(90°−α)=90°−α$，
∴ $∠A=∠BDA$，
∴ $AB=BD$。
∵ $DE//AB$，
∴ $∠CDE=∠A=90°−α$，$∠EDB=∠ABD=∠CBD$，
∴ $ED=EB$。
在$BD$的延长线上取点$G$，则$∠CDG=∠ADB=90°−α$，即$DC$平分$∠EDG$，
由(2)的外角平分线结论，得$\frac{BD}{DE}=\frac{BC}{CE}$。
∵ $BE:CE=3:5$，则$BC:CE=8:5$，
∴ $\frac{BD}{DE}=\frac{8}{5}$。
设$DE=5x$，则$EB=5x$，$BD=8x$。
过点$E$作$EH⊥BD$，垂足为$H$，
∵ $ED=EB$，$EH⊥BD$，
∴ $H$为$BD$的中点，$BH=DH=\frac{1}{2}BD=4x$。
在$Rt△BEH$中，$EH=\sqrt{BE^2-BH^2}=\sqrt{(5x)^2-(4x)^2}=3x$。
由$△BDE$的面积可得：$\frac{1}{2}BD·EH=\frac{1}{2}BE·DF$，
代入得$\frac{1}{2}·8x·3x=\frac{1}{2}·5x·DF$，解得$DF=\frac{24}{5}x$。
在$Rt△DEF$中，$EF=\frac{7}{5}$，由勾股定理得：
$EF^2+DF^2=DE^2$，即$(\frac{7}{5})^2+(\frac{24}{5}x)^2=(5x)^2$，
解得$x=1$（$x=-1$舍去）。
∴ $AB=BD=8$，$BE=5$，$DF=\frac{24}{5}$。
∵ $BE:CE=3:5$，
∴ $CE=\frac{25}{3}$，
∴ $CF=CE-EF=\frac{25}{3}-\frac{7}{5}=\frac{104}{15}$，$BC=BE+CE=5+\frac{25}{3}=\frac{40}{3}$。
在$Rt△CDF$中，$CD=\sqrt{CF^2+DF^2}=\sqrt{(\frac{104}{15})^2+(\frac{24}{5})^2}=\frac{8\sqrt{10}}{3}$。
由(1)的内角角平分线结论，得$\frac{BA}{BC}=\frac{AD}{CD}$，
代入得$8:\frac{40}{3}=AD:\frac{8\sqrt{10}}{3}$，解得$AD=\frac{8\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
14. (1)
∵ CE//AP，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{BP}{PC}$，∠BAP=∠E，∠CAP=∠ACE.
∵ AP平分∠BAC，
∴ ∠BAP=∠CAP.
∴ ∠E=∠ACE.
∴ AC=AE.
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BP}{PC}$.
(2) 如图(1)，过点C作CF//AD，交AB于点F.
∵ CF//AD，
∴ ∠CAD=∠ACF，∠EAD=∠AFC.
∵ AD平分∠CAE，
∴ ∠CAD=∠EAD.
∴ ∠ACF=∠AFC.
∴ AC=AF.
∵ CF//AD，
∴ $\frac{AB}{AF}=\frac{BD}{CD}$.
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
(3)
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD.
设∠DBC=2α，则∠ABD=2α.
∵ ∠DBC=$\frac{2}{3}$∠CDF，
∴ ∠CDF=3α.
∵ DF⊥BC，
∴ ∠C=90°−3α.
∴ ∠BDA=2α+90°−3α=90°−α.
∴ ∠A=180°−2α−(90°−α)=90°−α.
∴ ∠A=∠BDA.
∴ AB=BD.
如图(2)，在BD的延长线上取点G，则∠CDG=∠ADB=90°−α.
∵ DE//AB，
∴ ∠CDE=∠A=90°−α.
∴ ∠CDG=∠CDE.
由(2)，得BD:DE=BC:CE.
∵ BE:CE=3:5，
∴ BC:CE=8:5.
∴ BD:DE=8:5.
∵ DE//AB，
∴ ∠EDB=∠ABD=∠CBD.
∴ ED=EB.
设DE=5x，则EB=5x，BD=8x.
过点E作EH⊥BD，垂足为H，则H为BD的中点，故BH=DH=8x·$\frac{1}{2}$=4x.
在Rt△BEH中，$EH=\sqrt{(5x)^2-(4x)^2}=3x$.
$S_{△BDE}=\frac{1}{2}BD·EH=\frac{1}{2}BE·DF$，即$\frac{1}{2}·8x·3x=\frac{1}{2}·5x·DF$，得$DF=\frac{24}{5}x$.
∵ $EF=\frac{7}{5}$，
∴ 在Rt△DEF中，$(\frac{7}{5})^2+(\frac{24}{5}x)^2=(5x)^2$，解得x=1或x=−1(舍去).
∴ AB=BD=8，BE=5，$DF=\frac{24}{5}$.
∵ BE:CE=3:5，
∴ $CE=\frac{25}{3}$.
∴ $CF=\frac{25}{3}-\frac{7}{5}=\frac{104}{15}$，$BC=\frac{25}{3}+5=\frac{40}{3}$.
在Rt△CDF中，$CD=\sqrt{(\frac{104}{15})^2+(\frac{24}{5})^2}=\frac{8\sqrt{10}}{3}$.
BD平分∠ABC，由(1)中的结论，得BA:BC=AD:CD，即$8:\frac{40}{3}=AD:\frac{8\sqrt{10}}{3}$，解得$AD=\frac{8\sqrt{10}}{5}$.
∴ AD的长为$\frac{8\sqrt{10}}{5}$.
【知识点】
平行线分线段成比例，角平分线分线段成比例定理，勾股定理
【点评】
本题从教材基础例题出发，先引导证明三角形内角角平分线的线段比例性质，再拓展到外角角平分线的类似结论，最后结合角度推导、等腰三角形性质、面积法、勾股定理等知识综合求解，层层递进，重在考查知识迁移能力和综合运用所学结论解决问题的能力，平时学习要重视教材例题的拓展延伸，学会举一反三。
【难度系数】
0.4
本题分为三个递进的小问，考查相似相关的线段比例证明与综合计算：
1. 第(1)问证明内角角平分线分对边成比例：借助辅助线$CE//AP$，先通过平行线分线段成比例得到$\frac{AB}{AE}=\frac{BP}{PC}$，再结合角平分线性质和平行线的内错角相等，推出$∠E=∠ACE$，得到$AE=AC$，等量替换即可得证。
2. 第(2)问证明外角角平分线分对边成比例：类比第(1)问的思路，添加平行线$CF//AD$，同样通过等角对等边得到$AC=AF$，再结合平行线分线段成比例等量替换即可得证。
3. 第(3)问是综合应用：首先设角度，通过角度推导得到$AB=BD$、$ED=EB$两个等腰三角形，再结合外角平分线结论得到$BD$与$DE$的比例，设参数后用等腰三角形三线合一、勾股定理、面积法求出$DF$的表达式，结合$EF$的长度用勾股定理求出参数的值，最后用第(1)问的内角角平分线结论列比例式求出$AD$的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ $CE//AP$，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{BP}{PC}$，$∠BAP=∠E$，$∠CAP=∠ACE$。
∵ $AP$平分$∠BAC$，
∴ $∠BAP=∠CAP$，
∴ $∠E=∠ACE$，
∴ $AC=AE$，
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BP}{PC}$。
(2) 证明：
过点$C$作$CF//AD$，交$AB$于点$F$。
∵ $CF//AD$，
∴ $∠CAD=∠ACF$，$∠EAD=∠AFC$。
∵ $AD$平分$∠CAE$，
∴ $∠CAD=∠EAD$，
∴ $∠ACF=∠AFC$，
∴ $AC=AF$。
∵ $CF//AD$，
∴ $\frac{AB}{AF}=\frac{BD}{CD}$，
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
(3) 解：
∵ $BD$平分$∠ABC$，
∴ $∠ABD=∠CBD$。
设$∠DBC=2α$，则$∠ABD=2α$。
∵ $∠DBC=\frac{2}{3}∠CDF$，
∴ $∠CDF=3α$。
∵ $DF⊥BC$，
∴ $∠C=90°−3α$。
∴ $∠BDA=∠CBD+∠C=2α+90°−3α=90°−α$。
在$△ABD$中，$∠A=180°−∠ABD−∠BDA=180°−2α−(90°−α)=90°−α$，
∴ $∠A=∠BDA$，
∴ $AB=BD$。
∵ $DE//AB$，
∴ $∠CDE=∠A=90°−α$，$∠EDB=∠ABD=∠CBD$，
∴ $ED=EB$。
在$BD$的延长线上取点$G$，则$∠CDG=∠ADB=90°−α$，即$DC$平分$∠EDG$，
由(2)的外角平分线结论，得$\frac{BD}{DE}=\frac{BC}{CE}$。
∵ $BE:CE=3:5$，则$BC:CE=8:5$，
∴ $\frac{BD}{DE}=\frac{8}{5}$。
设$DE=5x$，则$EB=5x$，$BD=8x$。
过点$E$作$EH⊥BD$，垂足为$H$，
∵ $ED=EB$，$EH⊥BD$，
∴ $H$为$BD$的中点，$BH=DH=\frac{1}{2}BD=4x$。
在$Rt△BEH$中，$EH=\sqrt{BE^2-BH^2}=\sqrt{(5x)^2-(4x)^2}=3x$。
由$△BDE$的面积可得：$\frac{1}{2}BD·EH=\frac{1}{2}BE·DF$，
代入得$\frac{1}{2}·8x·3x=\frac{1}{2}·5x·DF$，解得$DF=\frac{24}{5}x$。
在$Rt△DEF$中，$EF=\frac{7}{5}$，由勾股定理得：
$EF^2+DF^2=DE^2$，即$(\frac{7}{5})^2+(\frac{24}{5}x)^2=(5x)^2$，
解得$x=1$（$x=-1$舍去）。
∴ $AB=BD=8$，$BE=5$，$DF=\frac{24}{5}$。
∵ $BE:CE=3:5$，
∴ $CE=\frac{25}{3}$，
∴ $CF=CE-EF=\frac{25}{3}-\frac{7}{5}=\frac{104}{15}$，$BC=BE+CE=5+\frac{25}{3}=\frac{40}{3}$。
在$Rt△CDF$中，$CD=\sqrt{CF^2+DF^2}=\sqrt{(\frac{104}{15})^2+(\frac{24}{5})^2}=\frac{8\sqrt{10}}{3}$。
由(1)的内角角平分线结论，得$\frac{BA}{BC}=\frac{AD}{CD}$，
代入得$8:\frac{40}{3}=AD:\frac{8\sqrt{10}}{3}$，解得$AD=\frac{8\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
14. (1)
∵ CE//AP，
∴ $\frac{AB}{AE}=\frac{BP}{PC}$，∠BAP=∠E，∠CAP=∠ACE.
∵ AP平分∠BAC，
∴ ∠BAP=∠CAP.
∴ ∠E=∠ACE.
∴ AC=AE.
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BP}{PC}$.
(2) 如图(1)，过点C作CF//AD，交AB于点F.
∵ CF//AD，
∴ ∠CAD=∠ACF，∠EAD=∠AFC.
∵ AD平分∠CAE，
∴ ∠CAD=∠EAD.
∴ ∠ACF=∠AFC.
∴ AC=AF.
∵ CF//AD，
∴ $\frac{AB}{AF}=\frac{BD}{CD}$.
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
(3)
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD.
设∠DBC=2α，则∠ABD=2α.
∵ ∠DBC=$\frac{2}{3}$∠CDF，
∴ ∠CDF=3α.
∵ DF⊥BC，
∴ ∠C=90°−3α.
∴ ∠BDA=2α+90°−3α=90°−α.
∴ ∠A=180°−2α−(90°−α)=90°−α.
∴ ∠A=∠BDA.
∴ AB=BD.
如图(2)，在BD的延长线上取点G，则∠CDG=∠ADB=90°−α.
∵ DE//AB，
∴ ∠CDE=∠A=90°−α.
∴ ∠CDG=∠CDE.
由(2)，得BD:DE=BC:CE.
∵ BE:CE=3:5，
∴ BC:CE=8:5.
∴ BD:DE=8:5.
∵ DE//AB，
∴ ∠EDB=∠ABD=∠CBD.
∴ ED=EB.
设DE=5x，则EB=5x，BD=8x.
过点E作EH⊥BD，垂足为H，则H为BD的中点，故BH=DH=8x·$\frac{1}{2}$=4x.
在Rt△BEH中，$EH=\sqrt{(5x)^2-(4x)^2}=3x$.
$S_{△BDE}=\frac{1}{2}BD·EH=\frac{1}{2}BE·DF$，即$\frac{1}{2}·8x·3x=\frac{1}{2}·5x·DF$，得$DF=\frac{24}{5}x$.
∵ $EF=\frac{7}{5}$，
∴ 在Rt△DEF中，$(\frac{7}{5})^2+(\frac{24}{5}x)^2=(5x)^2$，解得x=1或x=−1(舍去).
∴ AB=BD=8，BE=5，$DF=\frac{24}{5}$.
∵ BE:CE=3:5，
∴ $CE=\frac{25}{3}$.
∴ $CF=\frac{25}{3}-\frac{7}{5}=\frac{104}{15}$，$BC=\frac{25}{3}+5=\frac{40}{3}$.
在Rt△CDF中，$CD=\sqrt{(\frac{104}{15})^2+(\frac{24}{5})^2}=\frac{8\sqrt{10}}{3}$.
BD平分∠ABC，由(1)中的结论，得BA:BC=AD:CD，即$8:\frac{40}{3}=AD:\frac{8\sqrt{10}}{3}$，解得$AD=\frac{8\sqrt{10}}{5}$.
∴ AD的长为$\frac{8\sqrt{10}}{5}$.
【知识点】
平行线分线段成比例，角平分线分线段成比例定理，勾股定理
【点评】
本题从教材基础例题出发，先引导证明三角形内角角平分线的线段比例性质，再拓展到外角角平分线的类似结论，最后结合角度推导、等腰三角形性质、面积法、勾股定理等知识综合求解，层层递进，重在考查知识迁移能力和综合运用所学结论解决问题的能力，平时学习要重视教材例题的拓展延伸，学会举一反三。
【难度系数】
0.4
