1.(2025 湖南长沙浏阳市期末)如图,已知∠AOB=90°,∠EOF=60°,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC,求∠BOC和∠AOC的度数.

1. 解:因为∠AOB=90°,OE平分∠AOB,
所以∠BOE=1/2∠AOB=1/2×90°=45°.
因为∠EOF=60°,
所以∠FOB=∠EOF-∠BOE=60°-45°=15°.
因为OF平分∠BOC,
所以∠BOC=2∠FOB=2×15°=30°,
所以∠AOC=∠BOC+∠AOB=30°+90°=120°.
故∠BOC的度数为30°,∠AOC的度数为120°.

【分析】
解题时可从已知条件逐步推导：首先根据∠AOB的度数和OE平分∠AOB的条件，利用角平分线的定义求出∠BOE的度数；再结合已知的∠EOF的度数，通过角的差的关系计算出∠FOB的度数；接着依据OF平分∠BOC的条件，再次利用角平分线的定义，得到∠BOC是∠FOB的2倍，即可求出∠BOC的度数；最后利用角的和的关系，将∠AOB与∠BOC相加就能得到∠AOC的度数。
【解析】
解：因为∠AOB=90°，OE平分∠AOB，
所以∠BOE=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×90°=45°。
因为∠EOF=60°，
所以∠FOB=∠EOF-∠BOE=60°-45°=15°。
因为OF平分∠BOC，
所以∠BOC=2∠FOB=2×15°=30°，
所以∠AOC=∠BOC+∠AOB=30°+90°=120°。
【答案】
∠BOC的度数为30°，∠AOC的度数为120°
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是双角平分线模型的基础应用题，解题核心是熟练运用角平分线的定义转化角的倍数关系，结合角的和差运算逐步推导所求角的度数，整体逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

2.已知$∠ AOE$是平角，$OD$平分$∠ COE$，$OB$平分$∠ AOC$，$∠ DOE:∠ BOC=2:3$，求$∠ DOC$和$∠ BOC$的度数。

2. 解:由题意可画示意图如下.

因为∠AOE是平角,OD平分∠COE,OB平分∠AOC,
所以∠DOC=∠DOE=1/2∠COE,∠BOC=1/2∠AOC,
所以 ∠BOD = ∠BOC + ∠DOC = 1/2 (∠AOC + ∠COE)=1/2×180°=90°.
因为∠DOE : ∠BOC=2 : 3,
所以∠DOC : ∠BOC=2 : 3,
所以∠DOC=2/(2+3)×90°=36°,∠BOC=3/(2+3)×90°=54°.
故∠DOC的度数为36°,∠BOC的度数为54°.

【分析】
解题时先从已知条件逐步推导：第一步，由∠AOE是平角可得∠AOE=180°；第二步，根据角平分线的性质，可得出∠DOC=∠DOE，∠BOC等于∠AOC的一半；第三步，结合给出的∠DOE:∠BOC=2:3，可将比例转化为∠DOC:∠BOC=2:3；第四步，推导两个待求角的和：∠BOC与∠DOC相加刚好是平角∠AOE的一半，也就是90°；最后根据两个角的比例和总度数，按比例分配就能算出两个角的度数。
【解析】
解：由题意可画示意图如下.

因为∠AOE是平角，所以$∠ AOE=180°$，
因为$OD$平分$∠ COE$，$OB$平分$∠ AOC$，
所以$∠ DOC=∠ DOE=\frac{1}{2}∠ COE$，$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOC$，
所以 $∠ BOD = ∠ BOC + ∠ DOC = \frac{1}{2} (∠ AOC + ∠ COE)=\frac{1}{2}×180°=90°$，
因为$∠ DOE:∠ BOC=2:3$，
所以$∠ DOC:∠ BOC=2:3$，
总份数为$2+3=5$，
所以$∠ DOC=\frac{2}{2+3}×90°=36°$，$∠ BOC=\frac{3}{2+3}×90°=54°$。
【答案】

$∠ DOC$的度数为$36°$，$∠ BOC$的度数为$54°$
【知识点】
1. 平角的定义
2. 角平分线的性质
3. 按比例分配求角度
【点评】
这道题是角的计算的典型题型，核心考查双角平分线模型的应用，解题的突破口是利用角平分线性质和平角的特征，推导得出两个待求角的和为$90°$，再结合给出的角度比例关系即可快速求解，掌握角的和差关系和角平分线性质是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7

3.如图，O为直线AB上的一点，且$∠ COD$为直角，OE平分$∠ BOD$，OF平分$∠ AOE$，若$∠ BOC=54°$，求$∠ COE$和$∠ DOF$的度数.

3. 解:因为∠COD=90°,∠BOC=54°,
所以∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-54°=36°.
因为OE平分∠BOD,
所以∠DOE=∠BOE=1/2∠BOD=1/2×36°=18°,
所以 ∠COE = ∠BOC + ∠BOE = 54° + 18° = 72°,
∠AOE=180°-∠BOE=180°-18°=162°.
因为OF平分∠AOE,
所以∠EOF=1/2∠AOE=1/2×162°=81°,
所以∠DOF=∠EOF-∠DOE=81°-18°=63°.
故∠COE的度数为72°,∠DOF的度数为63°.

【分析】
解题时从已知条件逐步推导：首先结合∠COD是直角、∠BOC的度数，通过角度差求出∠BOD的度数；再利用OE平分∠BOD的性质，得到∠BOE和∠DOE的度数，通过角度和的关系算出∠COE；接着借助AB为直线，平角为180°的性质求出∠AOE的度数，结合OF平分∠AOE的条件得到∠EOF的度数，最后通过角度差算出∠DOF即可。
【解析】
解：因为∠COD=90°，∠BOC=54°，
所以∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-54°=36°。
因为OE平分∠BOD，
所以∠DOE=∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$×36°=18°，
所以 ∠COE = ∠BOC + ∠BOE = 54° + 18° = 72°，
∠AOE=180°-∠BOE=180°-18°=162°。
因为OF平分∠AOE，
所以∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOE=$\frac{1}{2}$×162°=81°，
所以∠DOF=∠EOF-∠DOE=81°-18°=63°。
【答案】
∠COE的度数为72°，∠DOF的度数为63°
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题是角平分线与角度运算结合的基础题型，解题核心是理清图中各角的和差关系，结合已知条件逐步推导即可得出结果，熟练掌握角平分线性质能大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.75

4.直角三角尺ABO与直角三角尺COD按如图所示的方式放置,它们的直角顶点O重合,已知OE平分∠AOC,OF平分∠BOD.
(1)若∠BOC=30°,求∠BOE的度数.
(2)若∠BOC=a,求∠BOF的度数.(用含a的代数式表示)
(3)在(2)的条件下,∠EOF的度数是否随着a的变化而变化?若不变,求出∠EOF的度数;若变化,请说明理由.

4. 解:(1) 因为∠AOB=90°,∠BOC=30°,
所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°.
因为OE平分∠AOC,
所以∠AOE=1/2∠AOC=1/2×120°=60°,
所以∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-60°=30°.
(2) 因为∠BOD = ∠BOC + ∠COD = a + 90°, OF平分∠BOD,
所以∠BOF=1/2∠BOD=1/2(a+90°)=1/2a+45°.
(3) 当∠BOC = a 时, ∠AOC = ∠BOC + ∠AOB = a+90°,
因为OE平分∠AOC,
所以∠AOE=1/2∠AOC=1/2(a+90°)=1/2a+45°,
所以 ∠BOE = ∠AOB - ∠AOE = 90° - (1/2a+45°) = 45°-1/2a.
由(2)中结论可得∠BOF=1/2a+45°.
所以 ∠EOF = ∠BOE + ∠BOF = (45°-1/2a) + (1/2a+45°) = 90°.
故∠EOF=90°,∠EOF的度数不随着a的变化而变化.

【分析】
(1) 解题时先利用直角三角尺的性质得到∠AOB=90°，结合已知∠BOC的度数先求出∠AOC的度数；再根据角平分线的定义求出∠AOE的度数，最后用∠AOB减去∠AOE即可得到∠BOE的度数。
(2) 先根据角的和差关系得到∠BOD=∠BOC+∠COD，代入∠COD=90°和∠BOC=a得到∠BOD的表达式，再根据角平分线的定义，取∠BOD的一半即可得到∠BOF的表达式。
(3) 要判断∠EOF是否随a变化，先用含a的式子表示出∠BOE，再结合(2)中得到的∠BOF的表达式，将两个角相加，若计算结果不含a则说明度数不变，反之则变化。
【解析】
(1) 由直角三角尺的性质可知∠AOB=90°，
∵∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-60°=30°。
(2) 由直角三角尺的性质可知∠COD=90°，
∵∠BOC=a，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=a+90°，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$(a+90°)=$\frac{1}{2}$a+45°。
(3) ∠EOF的度数不随a的变化而变化，求解如下：
当∠BOC=a时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+a，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(90°+a)=45°+$\frac{1}{2}$a，
∴∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-(45°+$\frac{1}{2}$a)=45°-$\frac{1}{2}$a，
由(2)可知∠BOF=$\frac{1}{2}$a+45°，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=(45°-$\frac{1}{2}$a)+($\frac{1}{2}$a+45°)=90°，
故∠EOF的度数恒为90°，不随a的变化而变化。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$；
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}a+45°}$；
(3) $\boldsymbol{∠EOF}$的度数不随$\boldsymbol{a}$的变化而变化，恒为$\boldsymbol{90°}$。
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算；直角的性质
【点评】
本题属于双角平分线模型的典型应用，核心是利用角平分线的性质将待求角用已知角或参数表示，再通过角的和差关系化简推导，第三问的运算中参数会相互抵消，体现了整体运算的思路，能有效锻炼几何角度推导的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6

5. 如图，$∠ AOB = 126°$,射线OC在$∠ AOB$外部，且$∠ BOC = 2∠ AOC$.若OM平分$∠ BOC$,ON平分$∠ AOC$,求$∠ MON$的度数.

5. 解:因为∠AOB=126°,
所以∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB=360°-126°=234°.
因为∠BOC=2∠AOC,
所以∠BOC=156°,∠AOC=78°.
因为OM平分∠BOC,ON平分∠AOC,
所以∠COM=1/2∠BOC=1/2×156°=78°, ∠CON=1/2∠AOC=1/2×78°=39°,
所以∠MON=∠COM+∠CON=78°+39°=117°.

【分析】
解题时首先明确周角的度数为360°，结合已知∠AOB的度数，先求出∠BOC与∠AOC的和；再根据题目给出的∠BOC=2∠AOC的倍数关系，分别计算出∠BOC和∠AOC的具体度数；接下来依据角平分线的定义，分别求出∠COM和∠CON的度数；最后观察图形可知∠MON是∠COM与∠CON的和，相加即可得到最终结果。
【解析】
解：已知$∠ AOB=126°$，
根据周角为$360°$，可得$∠ BOC+∠ AOC=360°-∠ AOB=360°-126°=234°$，
又因为$∠ BOC=2∠ AOC$，代入得$2∠ AOC+∠ AOC=234°$，即$3∠ AOC=234°$，
解得$∠ AOC=78°$，则$∠ BOC=2×78°=156°$，
因为OM平分$∠ BOC$，根据角平分线的定义，$∠ COM=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×156°=78°$，
因为ON平分$∠ AOC$，同理可得$∠ CON=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×78°=39°$，
所以$∠ MON=∠ COM+∠ CON=78°+39°=117°$。
【答案】
$117°$
【知识点】
周角的性质、角平分线的定义、角度和差计算
【点评】
本题属于双角平分线模型的基础应用类题目，解题核心是先结合周角性质与已知角度的倍数关系求出未知角的度数，再利用角平分线的性质推导待求角的度数，熟练掌握该解题思路可快速解决同类型的角度计算问题。
【难度系数】
0.7