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1.若$△ ABC$的三边满足$BC^2 = AB^2 + AC^2$，则（
A.$∠ C$是直角
B.$∠ A$是直角
C.$∠ B$是直角
D.不能确定
B
）A.$∠ C$是直角
B.$∠ A$是直角
C.$∠ B$是直角
D.不能确定
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先回忆勾股定理的逆定理内容：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，且第三边（平方单独在等式一侧的边）为斜边，斜边所对的角是直角。接下来我们先找到本题中平方单独在等式一侧的边是BC，再确定BC边在△ABC中所对的角是哪个，就能得出哪个角是直角。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形的三边满足某一边的平方等于另外两边的平方和，则该边为斜边，斜边所对的角为直角。
在△ABC中，边BC的两个端点为B、C，它所对的角是顶点A处的角，即∠A。
已知$BC^2 = AB^2 + AC^2$，说明BC是斜边，因此BC所对的∠A是直角。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形边与对角的对应关系
【点评】
本题是基础考查题，核心是对勾股定理逆定理的理解和应用，解题时要注意区分“平方单独在等式一侧的边是斜边，斜边对应直角”的规律，避免混淆边和角的对应关系导致出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆勾股定理的逆定理内容：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，且第三边（平方单独在等式一侧的边）为斜边，斜边所对的角是直角。接下来我们先找到本题中平方单独在等式一侧的边是BC，再确定BC边在△ABC中所对的角是哪个，就能得出哪个角是直角。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形的三边满足某一边的平方等于另外两边的平方和，则该边为斜边，斜边所对的角为直角。
在△ABC中，边BC的两个端点为B、C，它所对的角是顶点A处的角，即∠A。
已知$BC^2 = AB^2 + AC^2$，说明BC是斜边，因此BC所对的∠A是直角。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形边与对角的对应关系
【点评】
本题是基础考查题，核心是对勾股定理逆定理的理解和应用，解题时要注意区分“平方单独在等式一侧的边是斜边，斜边对应直角”的规律，避免混淆边和角的对应关系导致出错。
【难度系数】
0.8
2.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(
A.2,3,4
B.4,6,8
C.6,8,10
D.5,11,12
C
)A.2,3,4
B.4,6,8
C.6,8,10
D.5,11,12
答案
2.C
解析
【分析】
要判断三条线段能否组成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时先找出每组线段中的最长边，再分别计算两条短边的平方和与最长边的平方，比较两者是否相等即可。
【解析】
根据勾股定理的逆定理逐一验证选项：
A. 最长边为4，$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能组成直角三角形；
B. 最长边为8，$4^2+6^2=16+36=52$，$8^2=64$，$52≠64$，不能组成直角三角形；
C. 最长边为10，$6^2+8^2=36+64=100$，$10^2=100$，$100=100$，能组成直角三角形；
D. 最长边为12，$5^2+11^2=25+121=146$，$12^2=144$，$146≠144$，不能组成直角三角形。
综上，符合条件的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题时需先确定最长边再计算，避免混淆边的长度顺序导致判断失误。
【难度系数】
0.8
要判断三条线段能否组成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时先找出每组线段中的最长边，再分别计算两条短边的平方和与最长边的平方，比较两者是否相等即可。
【解析】
根据勾股定理的逆定理逐一验证选项：
A. 最长边为4，$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能组成直角三角形；
B. 最长边为8，$4^2+6^2=16+36=52$，$8^2=64$，$52≠64$，不能组成直角三角形；
C. 最长边为10，$6^2+8^2=36+64=100$，$10^2=100$，$100=100$，能组成直角三角形；
D. 最长边为12，$5^2+11^2=25+121=146$，$12^2=144$，$146≠144$，不能组成直角三角形。
综上，符合条件的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题时需先确定最长边再计算，避免混淆边的长度顺序导致判断失误。
【难度系数】
0.8
3.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是(
A.三条边的长度之比为$3:4:5$
B.三个内角的度数之比为$3:4:5$
C.三个内角的度数之比为$1:2:3$
D.三条边长的平方之比为$1:2:3$
B
)A.三条边的长度之比为$3:4:5$
B.三个内角的度数之比为$3:4:5$
C.三个内角的度数之比为$1:2:3$
D.三条边长的平方之比为$1:2:3$
答案
3.B
解析
【分析】
判断三角形是否为直角三角形有两种常用方法：一是从角的角度分析，利用三角形内角和为180°，计算最大内角的度数，若最大角为90°则为直角三角形；二是从边的角度分析，利用勾股定理的逆定理，若两条较短边的平方和等于最长边的平方，则为直角三角形。我们可以通过这两种方法逐一分析每个选项，找到不符合直角三角形的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 设三边长分别为3k、4k、5k（k＞0），计算可得：$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意。
B. 三个内角度数比为3:4:5，三角形内角和为180°，最大角的度数为$180°×\frac{5}{3+4+5}=75°＜90°$，不是直角三角形，符合题意。
C. 三个内角度数比为1:2:3，最大角的度数为$180°×\frac{3}{1+2+3}=90°$，是直角三角形，不符合题意。
D. 设三条边的平方分别为k、2k、3k（k＞0），可得$k+2k=3k$，即两条短边的平方和等于最长边的平方，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形内角和定理；按比例分配计算
【点评】
本题属于直角三角形判定的基础题型，核心是掌握从边和角两个维度判断直角三角形的方法，计算过程简单，只要熟练掌握相关定理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
判断三角形是否为直角三角形有两种常用方法：一是从角的角度分析，利用三角形内角和为180°，计算最大内角的度数，若最大角为90°则为直角三角形；二是从边的角度分析，利用勾股定理的逆定理，若两条较短边的平方和等于最长边的平方，则为直角三角形。我们可以通过这两种方法逐一分析每个选项，找到不符合直角三角形的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 设三边长分别为3k、4k、5k（k＞0），计算可得：$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意。
B. 三个内角度数比为3:4:5，三角形内角和为180°，最大角的度数为$180°×\frac{5}{3+4+5}=75°＜90°$，不是直角三角形，符合题意。
C. 三个内角度数比为1:2:3，最大角的度数为$180°×\frac{3}{1+2+3}=90°$，是直角三角形，不符合题意。
D. 设三条边的平方分别为k、2k、3k（k＞0），可得$k+2k=3k$，即两条短边的平方和等于最长边的平方，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形内角和定理；按比例分配计算
【点评】
本题属于直角三角形判定的基础题型，核心是掌握从边和角两个维度判断直角三角形的方法，计算过程简单，只要熟练掌握相关定理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
4.在$4×4$的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1。下列网格中的三角形，不是直角三角形的是( 
)
)答案
4.A
解析
【分析】
判断网格中的三角形是否为直角三角形，需用到勾股定理的逆定理：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。解题时先结合网格，用勾股定理算出每个三角形三边长度的平方，再验证是否满足逆定理的条件即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算各三角形三边的平方，再验证逆定理：
1. 选项A：计算得三边平方分别为5、10、17，两条短边的平方和为$5+10=15≠17$，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形。
2. 选项B：三边平方分别为8、17、25，$8+17=25$，满足逆定理，是直角三角形。
3. 选项C：三边平方分别为8、8、16，$8+8=16$，满足逆定理，是直角三角形。
4. 选项D：三边平方分别为5、10、15，$5+10=15$，满足逆定理，是直角三角形。
综上，不是直角三角形的是A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理逆定理，网格线段计算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的典型应用题型，解题的关键是准确计算各边的平方，计算时注意数对横向和纵向的格数，避免因计数错误导致判断失误。
【难度系数】
0.7
判断网格中的三角形是否为直角三角形，需用到勾股定理的逆定理：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。解题时先结合网格，用勾股定理算出每个三角形三边长度的平方，再验证是否满足逆定理的条件即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算各三角形三边的平方，再验证逆定理：
1. 选项A：计算得三边平方分别为5、10、17，两条短边的平方和为$5+10=15≠17$，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形。
2. 选项B：三边平方分别为8、17、25，$8+17=25$，满足逆定理，是直角三角形。
3. 选项C：三边平方分别为8、8、16，$8+8=16$，满足逆定理，是直角三角形。
4. 选项D：三边平方分别为5、10、15，$5+10=15$，满足逆定理，是直角三角形。
综上，不是直角三角形的是A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理逆定理，网格线段计算
【点评】
本题是勾股定理逆定理的典型应用题型，解题的关键是准确计算各边的平方，计算时注意数对横向和纵向的格数，避免因计数错误导致判断失误。
【难度系数】
0.7
5.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度均为40 m/min，甲客轮用15 min到达A地，乙客轮用20 min到达B地。若A，B两地的直线距离为1 000 m，甲客轮沿着北偏东$60°$的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（
A.北偏西$60°$
B.南偏西$60°$
C.南偏西$30°$
D.南偏东$30°$
D
）。A.北偏西$60°$
B.南偏西$60°$
C.南偏西$30°$
D.南偏东$30°$
答案
5.D
解析
【分析】
解题时先根据路程=速度×时间，分别算出港口到A地、港口到B地的距离，再结合A、B两地的直线距离，用勾股定理的逆定理判断这三条线段构成的三角形是否为直角三角形，确定两艘客轮的航行方向夹角为90°，最后结合甲客轮的方位推算乙客轮的航行方向。
【解析】
解：首先计算两艘客轮的航行路程：
甲客轮航行路程（港口到A的距离）：$OA = 40 × 15 = 600\ \mathrm{m}$
乙客轮航行路程（港口到B的距离）：$OB = 40 × 20 = 800\ \mathrm{m}$
已知$AB = 1000\ \mathrm{m}$，验证三边平方关系：
$OA^2 + OB^2 = 600^2 + 800^2 = 360000 + 640000 = 1000000$
$AB^2 = 1000^2 = 1000000$
因此$OA^2 + OB^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得，$△ OAB$是直角三角形，且$∠ AOB = 90°$，即甲、乙两船的航行方向夹角为$90°$。
已知甲客轮沿北偏东$60°$方向航行，结合方位角的特征，与北偏东$60°$夹角为$90°$的方向为北偏西$30°$或南偏东$30°$，对照选项，只有南偏东$30°$符合要求。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理逆定理，方位角应用，行程公式
【点评】
本题是几何知识与实际生活结合的典型题型，解题的核心是先通过边长关系判断两船航行方向互相垂直，再结合已知方位推导未知方向，能很好地考查学生对勾股定理逆定理的应用能力和方位角的识别能力。
【难度系数】
0.7
解题时先根据路程=速度×时间，分别算出港口到A地、港口到B地的距离，再结合A、B两地的直线距离，用勾股定理的逆定理判断这三条线段构成的三角形是否为直角三角形，确定两艘客轮的航行方向夹角为90°，最后结合甲客轮的方位推算乙客轮的航行方向。
【解析】
解：首先计算两艘客轮的航行路程：
甲客轮航行路程（港口到A的距离）：$OA = 40 × 15 = 600\ \mathrm{m}$
乙客轮航行路程（港口到B的距离）：$OB = 40 × 20 = 800\ \mathrm{m}$
已知$AB = 1000\ \mathrm{m}$，验证三边平方关系：
$OA^2 + OB^2 = 600^2 + 800^2 = 360000 + 640000 = 1000000$
$AB^2 = 1000^2 = 1000000$
因此$OA^2 + OB^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得，$△ OAB$是直角三角形，且$∠ AOB = 90°$，即甲、乙两船的航行方向夹角为$90°$。
已知甲客轮沿北偏东$60°$方向航行，结合方位角的特征，与北偏东$60°$夹角为$90°$的方向为北偏西$30°$或南偏东$30°$，对照选项，只有南偏东$30°$符合要求。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理逆定理，方位角应用，行程公式
【点评】
本题是几何知识与实际生活结合的典型题型，解题的核心是先通过边长关系判断两船航行方向互相垂直，再结合已知方位推导未知方向，能很好地考查学生对勾股定理逆定理的应用能力和方位角的识别能力。
【难度系数】
0.7
6.若三角形三条边的长度$a,b,c$满足$|c^2 - a^2 - b^2| + (a - b)^2 = 0$，则该三角形的形状是
等腰直角三角形
。答案
6.等腰直角三角形
解析
【分析】
解题的核心是利用非负数的性质推导三边的数量关系：我们已知绝对值和完全平方数都是非负数，当两个非负数的和为0时，每个非负数的取值都为0，据此可以得到两个关于三边a、b、c的等式，再分别结合勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义，就能判断出三角形的形状。
【解析】
解：
∵ 绝对值和完全平方数均具有非负性，即$|c^2 - a^2 - b^2| ≥ 0$，$(a - b)^2 ≥ 0$，且二者的和为0，
∴ 可列方程组：$\begin{cases}|c^2 - a^2 - b^2| = 0 \\(a - b)^2 = 0\end{cases}$
由$|c^2 - a^2 - b^2| = 0$可得：$c^2 = a^2 + b^2$，根据勾股定理的逆定理，可知该三角形为直角三角形，且$∠ C$为直角；
由$(a - b)^2 = 0$可得：$a = b$，说明该三角形有两条边相等，是等腰三角形。
综上，该三角形既是等腰三角形又是直角三角形，即等腰直角三角形。
【答案】
等腰直角三角形
【知识点】
非负数的性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形判定
【点评】
本题是三角形形状判定的典型基础题，将非负数性质与三角形判定的知识点结合考查，解题时要注意不能遗漏任意一个推导条件，同时要熟练掌握勾股定理逆定理的应用场景。
【难度系数】
0.7
解题的核心是利用非负数的性质推导三边的数量关系：我们已知绝对值和完全平方数都是非负数，当两个非负数的和为0时，每个非负数的取值都为0，据此可以得到两个关于三边a、b、c的等式，再分别结合勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义，就能判断出三角形的形状。
【解析】
解：
∵ 绝对值和完全平方数均具有非负性，即$|c^2 - a^2 - b^2| ≥ 0$，$(a - b)^2 ≥ 0$，且二者的和为0，
∴ 可列方程组：$\begin{cases}|c^2 - a^2 - b^2| = 0 \\(a - b)^2 = 0\end{cases}$
由$|c^2 - a^2 - b^2| = 0$可得：$c^2 = a^2 + b^2$，根据勾股定理的逆定理，可知该三角形为直角三角形，且$∠ C$为直角；
由$(a - b)^2 = 0$可得：$a = b$，说明该三角形有两条边相等，是等腰三角形。
综上，该三角形既是等腰三角形又是直角三角形，即等腰直角三角形。
【答案】
等腰直角三角形
【知识点】
非负数的性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形判定
【点评】
本题是三角形形状判定的典型基础题，将非负数性质与三角形判定的知识点结合考查，解题时要注意不能遗漏任意一个推导条件，同时要熟练掌握勾股定理逆定理的应用场景。
【难度系数】
0.7
7.若一个三角形的三条边的长度之比是5:12:13，且周长是60，则它的面积是
120
。答案
7.120
解析
【分析】
解题时首先根据三边的比例关系，结合已知周长，可通过设参数的方法求出三条边的实际长度；再观察三边比例5:12:13是常见的勾股数组合，可利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，最后根据直角三角形的面积公式计算面积即可。
【解析】
解：设该三角形的三边长分别为$5k$、$12k$、$13k$（$k＞0$）。
由周长为60可得：
$5k+12k+13k=60$
合并同类项得：$30k=60$
解得：$k=2$
因此三边长分别为：$5×2=10$，$12×2=24$，$13×2=26$。
接下来验证三角形形状：
$∵10^2+24^2=100+576=676$，$26^2=676$
$∴10^2+24^2=26^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形，且两条直角边长为10和24。
则三角形的面积为：$\frac{1}{2}×10×24=120$
【答案】
120
【知识点】
勾股定理逆定理、比例的应用、直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是先通过比例和周长求出三边实际长度，再利用勾股定理逆定理判定三角形为直角三角形，熟记常见的勾股数（如3:4:5、5:12:13等）可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据三边的比例关系，结合已知周长，可通过设参数的方法求出三条边的实际长度；再观察三边比例5:12:13是常见的勾股数组合，可利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，最后根据直角三角形的面积公式计算面积即可。
【解析】
解：设该三角形的三边长分别为$5k$、$12k$、$13k$（$k＞0$）。
由周长为60可得：
$5k+12k+13k=60$
合并同类项得：$30k=60$
解得：$k=2$
因此三边长分别为：$5×2=10$，$12×2=24$，$13×2=26$。
接下来验证三角形形状：
$∵10^2+24^2=100+576=676$，$26^2=676$
$∴10^2+24^2=26^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形，且两条直角边长为10和24。
则三角形的面积为：$\frac{1}{2}×10×24=120$
【答案】
120
【知识点】
勾股定理逆定理、比例的应用、直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是先通过比例和周长求出三边实际长度，再利用勾股定理逆定理判定三角形为直角三角形，熟记常见的勾股数（如3:4:5、5:12:13等）可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
8.清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”。该法则不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献。由此法则得出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…。根据上述规律，第⑥组勾股数为
13,84,85
。答案
8.13,84,85
解析
【分析】
解题时首先观察已知几组勾股数的特征：第一步找每组第一个数的规律，可发现第n组的第一个数为2n+1；第二步观察后两个数的关系，发现每组后两个数相差1，结合勾股定理即可推导出后两个数的表达式；最后将n=6代入表达式计算，即可得到第⑥组勾股数。
【解析】
1. 推导第n组勾股数第一个数的规律：
观察已知勾股数组：
第①组第一个数：$3=2×1+1$
第②组第一个数：$5=2×2+1$
第③组第一个数：$7=2×3+1$
第④组第一个数：$9=2×4+1$
由此可得，第$n$组勾股数的第一个数为$2n+1$。
2. 推导后两个数的表达式：
观察发现每组勾股数的后两个数相差1，设第$n$组第二个数为$b$，则第三个数为$b+1$，根据勾股定理可得：
$(2n+1)^2 + b^2 = (b+1)^2$
展开等式右边：$(2n+1)^2 + b^2 = b^2 + 2b + 1$
消去两边的$b^2$，整理得：$(2n+1)^2 = 2b + 1$
解得：$b=\frac{(2n+1)^2 -1}{2}=2n^2+2n$，第三个数为$b+1=2n^2+2n+1$。
3. 计算第⑥组勾股数（即$n=6$时）：
第一个数：$2×6+1=13$
第二个数：$2×6^2+2×6=84$
第三个数：$84+1=85$
验证：$13^2+84^2=169+7056=7225=85^2$，符合勾股定理。
【答案】
13,84,85
【知识点】
勾股数、数字规律探究
【点评】
本题解题核心是先从特殊的勾股数组中提炼出通用规律，再结合勾股定理验证规律的正确性，最后代入求解，考查了学生的观察归纳能力和对勾股定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知几组勾股数的特征：第一步找每组第一个数的规律，可发现第n组的第一个数为2n+1；第二步观察后两个数的关系，发现每组后两个数相差1，结合勾股定理即可推导出后两个数的表达式；最后将n=6代入表达式计算，即可得到第⑥组勾股数。
【解析】
1. 推导第n组勾股数第一个数的规律：
观察已知勾股数组：
第①组第一个数：$3=2×1+1$
第②组第一个数：$5=2×2+1$
第③组第一个数：$7=2×3+1$
第④组第一个数：$9=2×4+1$
由此可得，第$n$组勾股数的第一个数为$2n+1$。
2. 推导后两个数的表达式：
观察发现每组勾股数的后两个数相差1，设第$n$组第二个数为$b$，则第三个数为$b+1$，根据勾股定理可得：
$(2n+1)^2 + b^2 = (b+1)^2$
展开等式右边：$(2n+1)^2 + b^2 = b^2 + 2b + 1$
消去两边的$b^2$，整理得：$(2n+1)^2 = 2b + 1$
解得：$b=\frac{(2n+1)^2 -1}{2}=2n^2+2n$，第三个数为$b+1=2n^2+2n+1$。
3. 计算第⑥组勾股数（即$n=6$时）：
第一个数：$2×6+1=13$
第二个数：$2×6^2+2×6=84$
第三个数：$84+1=85$
验证：$13^2+84^2=169+7056=7225=85^2$，符合勾股定理。
【答案】
13,84,85
【知识点】
勾股数、数字规律探究
【点评】
本题解题核心是先从特殊的勾股数组中提炼出通用规律，再结合勾股定理验证规律的正确性，最后代入求解，考查了学生的观察归纳能力和对勾股定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
9. 提升题 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BC=15$，$D$是边$AB$上的一点，$BD=9$，$CD=12$。
(1)请说明：$CD⊥ AB$。
(2)求$AC$的长。
(1)请说明：$CD⊥ AB$。
(2)求$AC$的长。
答案
解:(1)因为$9^2+12^2=15^2$,
即$BD^2+CD^2=BC^2$,
所以$△ BCD$为直角三角形,$∠ BDC=90°$,
所以$CD⊥ AB$。
(2)设$AC=x$,则$AB=AC=x$。
因为$CD⊥ AB$,
所以$AC^2=AD^2+CD^2$,
所以$x^2=(x-9)^2+12^2$,
解得$x=\frac{25}{2}$,即$AC=\frac{25}{2}$。
即$BD^2+CD^2=BC^2$,
所以$△ BCD$为直角三角形,$∠ BDC=90°$,
所以$CD⊥ AB$。
(2)设$AC=x$,则$AB=AC=x$。
因为$CD⊥ AB$,
所以$AC^2=AD^2+CD^2$,
所以$x^2=(x-9)^2+12^2$,
解得$x=\frac{25}{2}$,即$AC=\frac{25}{2}$。
解析
【分析】
(1)要证明$CD⊥AB$，本质是证明$∠BDC=90°$。已知$△ BCD$三边的长度，可通过勾股定理的逆定理判断：计算较短两边的平方和与最长边的平方，若二者相等，则$△ BCD$是直角三角形，最长边对应的角为直角，即可得证垂直。
(2)已知$AB=AC$，可设$AC=x$，则$AB=x$，$AD=AB-BD=x-9$。结合(1)中$CD⊥AB$的结论，$△ ACD$为直角三角形，根据勾股定理列关于$x$的方程，求解即可得到$AC$的长度。
【解析】
(1)已知$BD=9$，$CD=12$，$BC=15$，计算可得：
$BD^2+CD^2=9^2+12^2=81+144=225$，$BC^2=15^2=225$，
即$BD^2+CD^2=BC^2$。
根据勾股定理的逆定理，$△ BCD$是直角三角形，且$∠BDC=90°$，因此$CD⊥AB$。
(2)设$AC=x$，由$AB=AC$得$AB=x$，则$AD=AB-BD=x-9$。
由(1)知$CD⊥AB$，即$△ ACD$为直角三角形，根据勾股定理得：
$AC^2=AD^2+CD^2$，
代入得$x^2=(x-9)^2+12^2$，
展开整理得$18x=225$，解得$x=\frac{25}{2}$。
【答案】
(1) $CD⊥AB$得证；(2) $AC=\frac{25}{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，方程法求边长
【点评】
本题是勾股定理相关的典型综合题，先通过勾股定理的逆定理判定直角得到垂直关系，再结合勾股定理设未知数列方程求解边长，既考察了定理的基础应用，也渗透了几何问题中的方程思想，需熟练掌握勾股相关定理的适用条件。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$CD⊥AB$，本质是证明$∠BDC=90°$。已知$△ BCD$三边的长度，可通过勾股定理的逆定理判断：计算较短两边的平方和与最长边的平方，若二者相等，则$△ BCD$是直角三角形，最长边对应的角为直角，即可得证垂直。
(2)已知$AB=AC$，可设$AC=x$，则$AB=x$，$AD=AB-BD=x-9$。结合(1)中$CD⊥AB$的结论，$△ ACD$为直角三角形，根据勾股定理列关于$x$的方程，求解即可得到$AC$的长度。
【解析】
(1)已知$BD=9$，$CD=12$，$BC=15$，计算可得：
$BD^2+CD^2=9^2+12^2=81+144=225$，$BC^2=15^2=225$，
即$BD^2+CD^2=BC^2$。
根据勾股定理的逆定理，$△ BCD$是直角三角形，且$∠BDC=90°$，因此$CD⊥AB$。
(2)设$AC=x$，由$AB=AC$得$AB=x$，则$AD=AB-BD=x-9$。
由(1)知$CD⊥AB$，即$△ ACD$为直角三角形，根据勾股定理得：
$AC^2=AD^2+CD^2$，
代入得$x^2=(x-9)^2+12^2$，
展开整理得$18x=225$，解得$x=\frac{25}{2}$。
【答案】
(1) $CD⊥AB$得证；(2) $AC=\frac{25}{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，方程法求边长
【点评】
本题是勾股定理相关的典型综合题，先通过勾股定理的逆定理判定直角得到垂直关系，再结合勾股定理设未知数列方程求解边长，既考察了定理的基础应用，也渗透了几何问题中的方程思想，需熟练掌握勾股相关定理的适用条件。
【难度系数】
0.7
