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1. 如图，$PA$，$PB$ 为$\odot O$ 的两条切线，直线 $CD$ 切$\odot O$ 于点$E$，分别交 $PA$，$PB$ 于点 $C$，$D$。$F$ 为$\odot O$上一点，连接 $AF$，$BF$。若$∠ P=40°$，$PA=5$，则$∠ AFB$ 的度数和$△ PCD$ 的周长分别为 （
A.$40°,10$
B.$80°,10$
C.$70°,15$
D.$70°,10$
D
）A.$40°,10$
B.$80°,10$
C.$70°,15$
D.$70°,10$
答案
1. D 如图,连接 $OA,OB$. 由切线的性质及切线长定理,得$∠OAP=∠OBP=90°,CA=CE,DB=DE,PA=PB$.
$\because ∠P=40°,\therefore ∠AOB=360°-∠P-∠OAP-∠OBP=360°-40°-90°-90°=140°.$ $\therefore ∠AFB=\frac{1}{2}∠AOB=70°$,$△ PCD$ 的周长$=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA=10$.
$\because ∠P=40°,\therefore ∠AOB=360°-∠P-∠OAP-∠OBP=360°-40°-90°-90°=140°.$ $\therefore ∠AFB=\frac{1}{2}∠AOB=70°$,$△ PCD$ 的周长$=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA=10$.
解析
【分析】
我们需要分别求解∠AFB的度数和△PCD的周长，分两步梳理思路：
1. 求∠AFB：已知PA、PB是⊙O的切线，根据切线性质，连接OA、OB后可得OA⊥PA、OB⊥PB，得到两个直角。结合∠P=40°，利用四边形内角和为360°，就能算出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数。再根据圆周角定理，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求出∠AFB。
2. 求△PCD的周长：根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，可得CA=CE、DB=DE，同时PA=PB。将△PCD周长中的CE、DE分别替换为CA、DB，周长就可转化为PA+PB，代入PA=5即可算出周长，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：连接OA、OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
由四边形内角和为360°，已知∠P=40°，
可得∠AOB = 360° - ∠OAP - ∠OBP - ∠P = 360° - 90° -90° -40° =140°，
∵∠AFB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴∠AFB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×140° =70°。
∵CD是⊙O的切线，切点为E，
由切线长定理可得：CA=CE，DB=DE，PA=PB，
∴△PCD的周长 = PC + CD + PD = PC + CE + DE + PD
= PC + CA + DB + PD = (PC+CA) + (PD+DB) = PA + PB
代入PA=5，PA=PB，可得△PCD周长=5+5=10。
综上，∠AFB=70°，△PCD周长为10。
【答案】D
【知识点】切线长定理，圆周角定理，切线的性质
【点评】本题是圆切线相关的经典基础综合题，核心是利用切线长定理做线段等量代换，把原本零散的三角形边长转化为已知长度的PA、PB，大幅简化计算；角度计算部分结合四边形内角和与圆周角定理即可推导，属于切线章节的高频考题，解题时注意不要混淆同弧对应的圆周角和圆心角的倍数关系。
【难度系数】0.7
我们需要分别求解∠AFB的度数和△PCD的周长，分两步梳理思路：
1. 求∠AFB：已知PA、PB是⊙O的切线，根据切线性质，连接OA、OB后可得OA⊥PA、OB⊥PB，得到两个直角。结合∠P=40°，利用四边形内角和为360°，就能算出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数。再根据圆周角定理，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求出∠AFB。
2. 求△PCD的周长：根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，可得CA=CE、DB=DE，同时PA=PB。将△PCD周长中的CE、DE分别替换为CA、DB，周长就可转化为PA+PB，代入PA=5即可算出周长，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：连接OA、OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
由四边形内角和为360°，已知∠P=40°，
可得∠AOB = 360° - ∠OAP - ∠OBP - ∠P = 360° - 90° -90° -40° =140°，
∵∠AFB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴∠AFB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×140° =70°。
∵CD是⊙O的切线，切点为E，
由切线长定理可得：CA=CE，DB=DE，PA=PB，
∴△PCD的周长 = PC + CD + PD = PC + CE + DE + PD
= PC + CA + DB + PD = (PC+CA) + (PD+DB) = PA + PB
代入PA=5，PA=PB，可得△PCD周长=5+5=10。
综上，∠AFB=70°，△PCD周长为10。
【答案】D
【知识点】切线长定理，圆周角定理，切线的性质
【点评】本题是圆切线相关的经典基础综合题，核心是利用切线长定理做线段等量代换，把原本零散的三角形边长转化为已知长度的PA、PB，大幅简化计算；角度计算部分结合四边形内角和与圆周角定理即可推导，属于切线章节的高频考题，解题时注意不要混淆同弧对应的圆周角和圆心角的倍数关系。
【难度系数】0.7
2. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$C$为$\odot O$外一点,$CA$,$CD$是$\odot O$的切线,$A$,$D$为切点,连接$BD$,$AD$.
如果$∠ C=48°$,那么$∠ DBA$的度数是（
A.$32°$
B.$48°$
C.$60°$
D.$66°$
如果$∠ C=48°$,那么$∠ DBA$的度数是（
D
）A.$32°$
B.$48°$
C.$60°$
D.$66°$
答案
2. D $\because CA,CD$ 是$\odot O$ 的切线,$\therefore CA⊥ AB,CA=CD$.
$\because ∠C=48°,\therefore ∠CAD=∠CDA=\frac{1}{2}×(180°-∠C)=\frac{1}{2}×(180°-48°)=66°.$ $\because AB$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ADB=∠CAB=90°.$ $\therefore ∠DBA+∠DAB=90°,∠CAD+∠DAB=90°.$ $\therefore ∠DBA=∠CAD=66°.$
$\because ∠C=48°,\therefore ∠CAD=∠CDA=\frac{1}{2}×(180°-∠C)=\frac{1}{2}×(180°-48°)=66°.$ $\because AB$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore ∠ADB=∠CAB=90°.$ $\therefore ∠DBA+∠DAB=90°,∠CAD+∠DAB=90°.$ $\therefore ∠DBA=∠CAD=66°.$
解析
【分析】
拿到题目后先梳理已知条件：CA、CD是⊙O的两条切线，AB是⊙O的直径，∠C=48°，目标求∠DBA的度数。首先回忆切线的相关性质：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且切线垂直于过切点的半径，由此可先得到CA=CD，且CA⊥AB，也就是∠CAB=90°。接着利用等腰三角形内角和性质，算出等腰△CAD的底角∠CAD的度数。再结合直径的性质：直径所对的圆周角是直角，得到∠ADB=90°，此时在Rt△ADB中∠DBA+∠DAB=90°，同时∠CAB=90°也就是∠CAD+∠DAB=90°，根据同角的余角相等，就能直接得到∠DBA=∠CAD，代入数值即可算出结果。
【解析】
解：
1. 因为CA、CD是⊙O的切线，根据切线性质可得：$CA⊥ AB$，$CA=CD$，即$∠ CAB=90°$。
2. 在等腰$△ CAD$中，已知$∠ C=48°$，由三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ CAD=∠ CDA=\frac{1}{2}×(180°-∠ C)=\frac{1}{2}×(180°-48°)=66°$
3. 因为AB是⊙O的直径，根据直径的圆周角性质得$∠ ADB=90°$，因此在$Rt△ ADB$中：
$∠ DBA+∠ DAB=90°$
4. 又因为$∠ CAB=∠ CAD+∠ DAB=90°$，可知$∠ DBA$和$∠ CAD$都是$∠ DAB$的余角，由同角的余角相等可得$∠ DBA=∠ CAD=66°$。
【答案】D
【知识点】切线长定理，直径的圆周角性质，同角余角相等
【点评】本题属于圆基础性质的常规考题，无需额外添加辅助线，核心是利用切线性质和直径的直角特性，快速找到两个角的等角关联，考察学生对圆基础性质的综合运用能力。
【难度系数】0.7
拿到题目后先梳理已知条件：CA、CD是⊙O的两条切线，AB是⊙O的直径，∠C=48°，目标求∠DBA的度数。首先回忆切线的相关性质：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且切线垂直于过切点的半径，由此可先得到CA=CD，且CA⊥AB，也就是∠CAB=90°。接着利用等腰三角形内角和性质，算出等腰△CAD的底角∠CAD的度数。再结合直径的性质：直径所对的圆周角是直角，得到∠ADB=90°，此时在Rt△ADB中∠DBA+∠DAB=90°，同时∠CAB=90°也就是∠CAD+∠DAB=90°，根据同角的余角相等，就能直接得到∠DBA=∠CAD，代入数值即可算出结果。
【解析】
解：
1. 因为CA、CD是⊙O的切线，根据切线性质可得：$CA⊥ AB$，$CA=CD$，即$∠ CAB=90°$。
2. 在等腰$△ CAD$中，已知$∠ C=48°$，由三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ CAD=∠ CDA=\frac{1}{2}×(180°-∠ C)=\frac{1}{2}×(180°-48°)=66°$
3. 因为AB是⊙O的直径，根据直径的圆周角性质得$∠ ADB=90°$，因此在$Rt△ ADB$中：
$∠ DBA+∠ DAB=90°$
4. 又因为$∠ CAB=∠ CAD+∠ DAB=90°$，可知$∠ DBA$和$∠ CAD$都是$∠ DAB$的余角，由同角的余角相等可得$∠ DBA=∠ CAD=66°$。
【答案】D
【知识点】切线长定理，直径的圆周角性质，同角余角相等
【点评】本题属于圆基础性质的常规考题，无需额外添加辅助线，核心是利用切线性质和直径的直角特性，快速找到两个角的等角关联，考察学生对圆基础性质的综合运用能力。
【难度系数】0.7
3. 易错题 如图,四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的外切四边形. 若 $BC:AB:AD=3:4:6$,且四边形$ABCD$ 的周长为 72,则边 $CD$ 的长为
20
.答案
3. 20 由四边形 $ABCD$ 是$\odot O$ 的外切四边形,可得 $AB+CD=BC+AD.$ $\because BC:AB:AD=3:4:6,\therefore$ 设 $BC=3x,AB=4x,AD=6x.$ $\therefore 4x+CD=3x+6x.$ $\therefore CD=5x.$ $\because$ 四边形 $ABCD$ 的周长为 72,$\therefore 3x+4x+5x+6x=72$,解得 $x=4.$ $\therefore CD=5x=20.$
解析
【分析】
首先看到四边形是⊙O的外切四边形，要第一时间联想到圆外切四边形的核心性质：对边之和相等，也就是AB+CD=BC+AD。题目给出了BC、AB、AD三条边的比值，我们可以用比例设元的方法，把这三条边都用含同一个未知数x的式子表示，代入外切四边形的对边和相等的关系，就能把CD也用x表示出来。之后结合四边形周长为72的条件，把四条边相加列方程解出x，最后代入CD的表达式即可算出CD的长度。
【解析】
1. 应用外切四边形性质
因为四边形ABCD是⊙O的外切四边形，根据圆外切四边形的性质可得：
$AB + CD = BC + AD$
2. 按比例设元
已知$BC:AB:AD=3:4:6$，设比例系数为x，即$BC=3x$，$AB=4x$，$AD=6x$。
3. 推导CD的表达式
将上述三条边代入对边和相等的等式：
$4x + CD = 3x + 6x$
整理得$CD=5x$。
4. 结合周长列方程求解
已知四边形ABCD的周长为72，即四条边长度之和为72：
$AB + BC + CD + AD = 72$
代入各边的含x表达式：
$4x + 3x + 5x + 6x = 72$
合并同类项得$18x=72$，解得$x=4$。
5. 计算CD的长度
将x=4代入CD=5x，得$CD=5×4=20$。
【答案】
20
【知识点】
圆外切四边形性质，比例设元
【点评】
本题属于基础性质应用类易错题，很多同学容易混淆圆内接、外切四边形的性质，忘记圆外切四边形对边和相等的结论，尝试用其他无关条件推导反而大幅提升解题难度，只要牢记该专属性质，结合常规的比例设元方法就能快速得到结果。
【难度系数】
0.6
首先看到四边形是⊙O的外切四边形，要第一时间联想到圆外切四边形的核心性质：对边之和相等，也就是AB+CD=BC+AD。题目给出了BC、AB、AD三条边的比值，我们可以用比例设元的方法，把这三条边都用含同一个未知数x的式子表示，代入外切四边形的对边和相等的关系，就能把CD也用x表示出来。之后结合四边形周长为72的条件，把四条边相加列方程解出x，最后代入CD的表达式即可算出CD的长度。
【解析】
1. 应用外切四边形性质
因为四边形ABCD是⊙O的外切四边形，根据圆外切四边形的性质可得：
$AB + CD = BC + AD$
2. 按比例设元
已知$BC:AB:AD=3:4:6$，设比例系数为x，即$BC=3x$，$AB=4x$，$AD=6x$。
3. 推导CD的表达式
将上述三条边代入对边和相等的等式：
$4x + CD = 3x + 6x$
整理得$CD=5x$。
4. 结合周长列方程求解
已知四边形ABCD的周长为72，即四条边长度之和为72：
$AB + BC + CD + AD = 72$
代入各边的含x表达式：
$4x + 3x + 5x + 6x = 72$
合并同类项得$18x=72$，解得$x=4$。
5. 计算CD的长度
将x=4代入CD=5x，得$CD=5×4=20$。
【答案】
20
【知识点】
圆外切四边形性质，比例设元
【点评】
本题属于基础性质应用类易错题，很多同学容易混淆圆内接、外切四边形的性质，忘记圆外切四边形对边和相等的结论，尝试用其他无关条件推导反而大幅提升解题难度，只要牢记该专属性质，结合常规的比例设元方法就能快速得到结果。
【难度系数】
0.6
4. 如图,$AB$为$\odot O$的直径,过圆外一点$E$作$\odot O$的两条切线$EC,EB$,切点分别为$D,B$,$EC$交$BA$的延长线于点$C$,连接$OE,AD,OD$.
(1) $AD$与$OE$有怎样的位置关系? 请说明理由.
(2) 若$EB=6,CD=4$,求$\odot O$的半径.
(1) $AD$与$OE$有怎样的位置关系? 请说明理由.
(2) 若$EB=6,CD=4$,求$\odot O$的半径.
答案
4. (1) $AD// OE$. 理由:$\because CE,BE$ 是$\odot O$ 的切线,$\therefore OD⊥ CE,OB⊥ BE.$ $\therefore ∠ODE=∠OBE=90°.$ 在 $\mathrm{Rt}△ DOE$ 和 $\mathrm{Rt}△ BOE$ 中,$\begin{cases}OD=OB,\\OE=OE,\end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ DOE≌\mathrm{Rt}△ BOE(\mathrm{HL}).$
$\therefore ∠DOE=∠BOE.$ $\because OD=OA,\therefore ∠ODA=∠OAD.$
$\because ∠DOB=∠DOE+∠BOE=∠ODA+∠OAD,$
$\therefore ∠DOE=∠ODA.$ $\therefore AD// OE.$ (2) $\because CE,BE$ 是$\odot O$ 的切线,$\therefore DE=BE=6.$ $\therefore CE=DE+CD=6+4=10.$ $\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ CBE$ 中,$BC=\sqrt{CE^2-BE^2}=8.$ 设 $OB=OD=r$,则 $OC=8-r.$ 在 $\mathrm{Rt}△ CDO$ 中,由勾股定理,得 $CD^2+OD^2=OC^2$,即 $4^2+r^2=(8-r)^2$,解得 $r=3.$ $\therefore \odot O$ 的半径为 3.
$\therefore ∠DOE=∠BOE.$ $\because OD=OA,\therefore ∠ODA=∠OAD.$
$\because ∠DOB=∠DOE+∠BOE=∠ODA+∠OAD,$
$\therefore ∠DOE=∠ODA.$ $\therefore AD// OE.$ (2) $\because CE,BE$ 是$\odot O$ 的切线,$\therefore DE=BE=6.$ $\therefore CE=DE+CD=6+4=10.$ $\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ CBE$ 中,$BC=\sqrt{CE^2-BE^2}=8.$ 设 $OB=OD=r$,则 $OC=8-r.$ 在 $\mathrm{Rt}△ CDO$ 中,由勾股定理,得 $CD^2+OD^2=OC^2$,即 $4^2+r^2=(8-r)^2$,解得 $r=3.$ $\therefore \odot O$ 的半径为 3.
解析
【分析】
首先处理第(1)问，先预判AD和OE的位置关系，从图形特征可猜测二者平行，要证明两直线平行，可通过证明内错角相等实现。题目给出EC、EB是圆O的两条切线，根据切线性质可得切线垂直于过切点的半径，由此得到OD⊥CE、OB⊥BE，通过HL可证明Rt△DOE和Rt△BOE全等，得到∠DOE=∠BOE。再结合OA=OD的等腰三角形性质，以及三角形外角的性质，可推导出内错角∠DOE=∠ODA，即可证明AD//OE。
第(2)问求圆的半径，先根据切线长定理得到DE=BE=6，算出CE的总长度，在Rt△CBE中用勾股定理求出BC的长度，再设半径为r，用含r的代数式表示OC的长度，在Rt△CDO中利用勾股定理列方程，求解即可得到半径的值。
【解析】
(1) $AD// OE$，理由如下：
∵ CE、BE是$\odot O$的两条切线，D、B为切点，
∴ $OD⊥ CE$，$OB⊥ BE$，即$∠ ODE=∠ OBE=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DOE$和$\mathrm{Rt}△ BOE$中：
$\begin{cases} OD=OB \\ OE=OE \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ DOE≌\mathrm{Rt}△ BOE(\mathrm{HL})$，
∴ $∠ DOE=∠ BOE$。
又
∵ $OA=OD$，
∴ $∠ ODA=∠ OAD$。
由三角形外角性质得$∠ DOB=∠ ODA+∠ OAD=∠ DOE+∠ BOE$，
代入角的等量关系可得$∠ DOE=∠ ODA$，内错角相等，因此$AD// OE$。
(2) 解：
∵ CE、BE是$\odot O$的两条切线，
∴ 由切线长定理得$DE=BE=6$，
∴ $CE=CD+DE=4+6=10$。
在$\mathrm{Rt}△ CBE$中，$∠ CBE=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{CE^2-BE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=OD=r$，$OC=8-r$。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$中，$∠ CDO=90°$，由勾股定理得：
$4^2 + r^2=(8-r)^2$，
化简得$16+r^2=64-16r+r^2$，解得$r=3$。
【答案】
(1) $AD// OE$，理由如上；(2) $\odot O$的半径为3
【知识点】
切线的性质，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题是圆切线部分的经典中档题型，第一问综合串联了切线性质、全等证明、平行线判定的知识点，引导学生从角的等量关系推导直线位置关系；第二问通过切线长定理完成线段转化，两次运用勾股定理建立方程求解半径，是求圆半径的常用解题思路，能有效考察学生对切线相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先处理第(1)问，先预判AD和OE的位置关系，从图形特征可猜测二者平行，要证明两直线平行，可通过证明内错角相等实现。题目给出EC、EB是圆O的两条切线，根据切线性质可得切线垂直于过切点的半径，由此得到OD⊥CE、OB⊥BE，通过HL可证明Rt△DOE和Rt△BOE全等，得到∠DOE=∠BOE。再结合OA=OD的等腰三角形性质，以及三角形外角的性质，可推导出内错角∠DOE=∠ODA，即可证明AD//OE。
第(2)问求圆的半径，先根据切线长定理得到DE=BE=6，算出CE的总长度，在Rt△CBE中用勾股定理求出BC的长度，再设半径为r，用含r的代数式表示OC的长度，在Rt△CDO中利用勾股定理列方程，求解即可得到半径的值。
【解析】
(1) $AD// OE$，理由如下：
∵ CE、BE是$\odot O$的两条切线，D、B为切点，
∴ $OD⊥ CE$，$OB⊥ BE$，即$∠ ODE=∠ OBE=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ DOE$和$\mathrm{Rt}△ BOE$中：
$\begin{cases} OD=OB \\ OE=OE \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ DOE≌\mathrm{Rt}△ BOE(\mathrm{HL})$，
∴ $∠ DOE=∠ BOE$。
又
∵ $OA=OD$，
∴ $∠ ODA=∠ OAD$。
由三角形外角性质得$∠ DOB=∠ ODA+∠ OAD=∠ DOE+∠ BOE$，
代入角的等量关系可得$∠ DOE=∠ ODA$，内错角相等，因此$AD// OE$。
(2) 解：
∵ CE、BE是$\odot O$的两条切线，
∴ 由切线长定理得$DE=BE=6$，
∴ $CE=CD+DE=4+6=10$。
在$\mathrm{Rt}△ CBE$中，$∠ CBE=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{CE^2-BE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=OD=r$，$OC=8-r$。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$中，$∠ CDO=90°$，由勾股定理得：
$4^2 + r^2=(8-r)^2$，
化简得$16+r^2=64-16r+r^2$，解得$r=3$。
【答案】
(1) $AD// OE$，理由如上；(2) $\odot O$的半径为3
【知识点】
切线的性质，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题是圆切线部分的经典中档题型，第一问综合串联了切线性质、全等证明、平行线判定的知识点，引导学生从角的等量关系推导直线位置关系；第二问通过切线长定理完成线段转化，两次运用勾股定理建立方程求解半径，是求圆半径的常用解题思路，能有效考察学生对切线相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5. 一题多解 如图,半圆$O$的圆心在梯形$ABCD$的底边$AB$上,并与其他三边均相切.若$AB=10$,$AD=6$,则$CB$的长为（
A.4
B.5
C.6
D.8
A
）A.4
B.5
C.6
D.8
答案
5. A 解法一:如图,设半圆 $O$ 的半径是$R$,半圆 $O$ 与 $AD$,$DC$,$CB$ 相切于点 $E$,$F$,$H$,连接 $OE$,$OD$,$OF$,$OC$,$OH$. 设 $CD=y$,$CB=x$. 设 $S_{\mathrm{梯形}ABCD}=S$,则 $S=\frac{1}{2}(CD+AB)R=\frac{1}{2}(y+10)R$ ①,$S=S_{△ BOC}+S_{△ COD}+S_{△ DOA}=\frac{1}{2}xR+\frac{1}{2}yR+\frac{1}{2}×6R$ ②. 联立①②,解得 $x=4$,即 $CB=4$.
解法二:连接 $OC$,$OD.$ $\because AD,CD$ 是$\odot O$ 的切线,$\therefore$ 易得 $∠ADO=∠ODC.$ 由梯形 $ABCD$,可得 $CD// AB$,$\therefore ∠ODC=∠AOD.$ $\therefore ∠ADO=∠AOD.$ $\therefore AD=OA.$
$\because AD=6,\therefore OA=6.$ $\because AB=10,\therefore OB=AB-OA=10-6=4.$ 同理,可得 $CB=OB=4.$
解析
【分析】
我们拿到这道题，首先抓住核心条件：半圆O和梯形的AD、DC、CB三边都相切，圆心O在AB上，已知AB=10，AD=6求CB的长。思路一：用面积法，梯形的面积既可以用梯形面积公式直接表示，也可以拆成三个以O为顶点的三角形△DOA、△COD、△BOC的面积之和，两个表达式里的半圆半径R、CD长度都可以作为公共参数消去，直接解出CB的长度。思路二：利用切线的性质和平行线的内错角相等推导等腰三角形，因为梯形上下底CD平行AB，结合切线得到的角平分线性质，能快速得到AD=OA，CB=OB，不用引入其他未知量就能直接算出结果。
【解析】
解法一：设半圆O的半径为R，半圆O与AD、DC、CB分别相切于点E、F、H，连接OE、OD、OF、OC、OH。设CD=y，CB=x。
梯形ABCD的面积可以用梯形面积公式计算：$S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}(CD+AB)· R=\frac{1}{2}(y+10)R$ ①
同时梯形面积也可以拆分为三个三角形面积之和：$S_{梯形ABCD}=S_{△ DOA}+S_{△ COD}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}· AD· R + \frac{1}{2}· CD· R + \frac{1}{2}· CB· R=\frac{1}{2}×6R+\frac{1}{2}yR+\frac{1}{2}xR$ ②
联立①②，两边同时约去$\frac{1}{2}R$，得到：$y+10=6+y+x$，化简后直接解得x=4，即CB=4。
解法二：连接OC、OD。
∵AD、CD是半圆O的切线，根据切线长定理，OD平分∠ADC，即∠ADO=∠ODC。
又
∵ABCD是梯形，CD//AB，根据平行线内错角相等，得∠ODC=∠AOD。
∴∠ADO=∠AOD，可得△AOD为等腰三角形，AD=OA。
已知AD=6，因此OA=6，又AB=10，所以OB=AB-OA=10-6=4。
同理可证，OC平分∠BCD，CD//AB可得∠BCO=∠COB，△COB为等腰三角形，CB=OB=4。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；梯形面积计算；平行线性质
【点评】
本题提供两种典型解题思路，面积法通过整体代换消去未知参数，不需要计算半圆半径即可得到结果；几何性质推导法结合切线角平分线性质和平行线性质快速构造等腰三角形，计算更加简便，能有效锻炼学生几何转化、简化运算的思维能力。
【难度系数】
0.6
我们拿到这道题，首先抓住核心条件：半圆O和梯形的AD、DC、CB三边都相切，圆心O在AB上，已知AB=10，AD=6求CB的长。思路一：用面积法，梯形的面积既可以用梯形面积公式直接表示，也可以拆成三个以O为顶点的三角形△DOA、△COD、△BOC的面积之和，两个表达式里的半圆半径R、CD长度都可以作为公共参数消去，直接解出CB的长度。思路二：利用切线的性质和平行线的内错角相等推导等腰三角形，因为梯形上下底CD平行AB，结合切线得到的角平分线性质，能快速得到AD=OA，CB=OB，不用引入其他未知量就能直接算出结果。
【解析】
解法一：设半圆O的半径为R，半圆O与AD、DC、CB分别相切于点E、F、H，连接OE、OD、OF、OC、OH。设CD=y，CB=x。
梯形ABCD的面积可以用梯形面积公式计算：$S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}(CD+AB)· R=\frac{1}{2}(y+10)R$ ①
同时梯形面积也可以拆分为三个三角形面积之和：$S_{梯形ABCD}=S_{△ DOA}+S_{△ COD}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}· AD· R + \frac{1}{2}· CD· R + \frac{1}{2}· CB· R=\frac{1}{2}×6R+\frac{1}{2}yR+\frac{1}{2}xR$ ②
联立①②，两边同时约去$\frac{1}{2}R$，得到：$y+10=6+y+x$，化简后直接解得x=4，即CB=4。
解法二：连接OC、OD。
∵AD、CD是半圆O的切线，根据切线长定理，OD平分∠ADC，即∠ADO=∠ODC。
又
∵ABCD是梯形，CD//AB，根据平行线内错角相等，得∠ODC=∠AOD。
∴∠ADO=∠AOD，可得△AOD为等腰三角形，AD=OA。
已知AD=6，因此OA=6，又AB=10，所以OB=AB-OA=10-6=4。
同理可证，OC平分∠BCD，CD//AB可得∠BCO=∠COB，△COB为等腰三角形，CB=OB=4。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；梯形面积计算；平行线性质
【点评】
本题提供两种典型解题思路，面积法通过整体代换消去未知参数，不需要计算半圆半径即可得到结果；几何性质推导法结合切线角平分线性质和平行线性质快速构造等腰三角形，计算更加简便，能有效锻炼学生几何转化、简化运算的思维能力。
【难度系数】
0.6
6. 如图,以正方形$ABCD$的边$AB$为直径作半圆$O$,过点$C$作直线切半圆于点$F$,交边$AD$于点$E$.若$△ CDE$的周长为12,则直角梯形$ABCE$的周长为（
A.12
B.13
C.14
D.15
C
）A.12
B.13
C.14
D.15
答案
6. C 设 $AE$ 的长为 $x.$ $\because CE$ 与半圆 $O$ 相切于点 $F$,$\therefore AE=EF,BC=CF.$ $\because EF+FC+CD+ED=12$,$\therefore AE+ED+CD+BC=12$,即 $AD+CD+BC=12.$
$\because AD=CD=BC=AB$,$\therefore$ 正方形 $ABCD$ 的边长为 4. 在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,$ED^2+CD^2=CE^2$,即 $(4-x)^2+4^2=(4+x)^2$,解得 $x=1.$ $\therefore AE+EF+FC+BC+AB=14.$ $\therefore$ 直角梯形 $ABCE$ 的周长为 14.
$\because AD=CD=BC=AB$,$\therefore$ 正方形 $ABCD$ 的边长为 4. 在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,$ED^2+CD^2=CE^2$,即 $(4-x)^2+4^2=(4+x)^2$,解得 $x=1.$ $\therefore AE+EF+FC+BC+AB=14.$ $\therefore$ 直角梯形 $ABCE$ 的周长为 14.
解析
【分析】
我们首先可以利用切线长定理梳理线段的等量关系：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。本题中EA垂直AB是半圆的切线，EF也是半圆的切线，因此AE=EF；同理CB垂直AB是半圆的切线，CF也是半圆的切线，因此BC=CF。接下来把△CDE的周长12用上述等量关系替换，就能快速求出正方形的边长，之后在Rt△CDE中用勾股定理算出AE的长度，最后把直角梯形ABCE的所有边长相加即可得到结果。
【解析】
解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a。
1. 推导切线长等量关系：
∵ EA⊥AB，AB是半圆O的直径，
∴ EA是半圆O的切线；
又
∵ CE切半圆O于点F，根据切线长定理可得：AE=EF；
同理，CB⊥AB，可知CB是半圆O的切线，因此BC=CF。
2. 结合△CDE周长求正方形边长：
已知△CDE的周长为12，即ED + CD + CE = 12，
将CE拆分为EF+FC，代入得：ED + CD + EF + FC = 12，
把EF=AE、FC=BC代入上式，得ED + CD + AE + BC = 12，
整理得(AE+ED) + CD + BC = 12，也就是AD + CD + BC = 12。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=CD=BC=AB=a，
代入得3a=12，解得a=4，即正方形ABCD的边长为4。
3. 用勾股定理求AE的长度：
在Rt△CDE中，ED = AD - AE = 4 - x，CD=4，CE=EF+FC=AE+BC=x+4，
由勾股定理列方程：$(4-x)^2 + 4^2 = (4+x)^2$，
展开化简得：$16 - 8x + x^2 + 16 = 16 + 8x + x^2$，进一步得16x=16，解得x=1，即AE=1。
4. 计算直角梯形ABCE的周长：
直角梯形ABCE的周长 = AE + EF + FC + BC + AB = 1 + 1 + 4 + 4 + 4 = 14。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，勾股定理，正方形性质
【点评】
本题的核心突破口是利用切线长定理完成线段等量代换，快速推导出正方形的边长，避免了复杂的设元计算，后续结合勾股定理求出短边AE的长度即可得到最终结果，综合考察了几何定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
我们首先可以利用切线长定理梳理线段的等量关系：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。本题中EA垂直AB是半圆的切线，EF也是半圆的切线，因此AE=EF；同理CB垂直AB是半圆的切线，CF也是半圆的切线，因此BC=CF。接下来把△CDE的周长12用上述等量关系替换，就能快速求出正方形的边长，之后在Rt△CDE中用勾股定理算出AE的长度，最后把直角梯形ABCE的所有边长相加即可得到结果。
【解析】
解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a。
1. 推导切线长等量关系：
∵ EA⊥AB，AB是半圆O的直径，
∴ EA是半圆O的切线；
又
∵ CE切半圆O于点F，根据切线长定理可得：AE=EF；
同理，CB⊥AB，可知CB是半圆O的切线，因此BC=CF。
2. 结合△CDE周长求正方形边长：
已知△CDE的周长为12，即ED + CD + CE = 12，
将CE拆分为EF+FC，代入得：ED + CD + EF + FC = 12，
把EF=AE、FC=BC代入上式，得ED + CD + AE + BC = 12，
整理得(AE+ED) + CD + BC = 12，也就是AD + CD + BC = 12。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=CD=BC=AB=a，
代入得3a=12，解得a=4，即正方形ABCD的边长为4。
3. 用勾股定理求AE的长度：
在Rt△CDE中，ED = AD - AE = 4 - x，CD=4，CE=EF+FC=AE+BC=x+4，
由勾股定理列方程：$(4-x)^2 + 4^2 = (4+x)^2$，
展开化简得：$16 - 8x + x^2 + 16 = 16 + 8x + x^2$，进一步得16x=16，解得x=1，即AE=1。
4. 计算直角梯形ABCE的周长：
直角梯形ABCE的周长 = AE + EF + FC + BC + AB = 1 + 1 + 4 + 4 + 4 = 14。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，勾股定理，正方形性质
【点评】
本题的核心突破口是利用切线长定理完成线段等量代换，快速推导出正方形的边长，避免了复杂的设元计算，后续结合勾股定理求出短边AE的长度即可得到最终结果，综合考察了几何定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
