1[中]奇奇和丽丽发现了“24点”新玩法游戏，要制作一个正方体骰子，每个面上都写有一个数，而且相对两个面上的数的乘积都等于24，则以下的展开图中，符合要求的是（）

C 【解析】A 选项,4 与 6 是相对面,12 与 3是相对面,8 与 2 是相对面,乘积不都是24,故本选项错误;B 选项,2 与 12 是相对面,8 与 4 是相对面,3 与 6 是相对面,乘积不都是24,故本选项错误;C 选项,2 与 12 是相对面,3 与 8是相对面,4 与 6 是相对面,乘积都是24,故本选项正确;D 选项,2 与 6 是相对面,3 与 8 是相对面,4 与 12 是相对面,乘积不都是 24,故本选项错误. 故选 C.

2[中]下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是（）

A 【解析】A 选项,剪去阴影部分后,能围成封闭的长方体,故此选项正确;B 选项,剪去阴影部分后,无法围成长方体,故此选项不合题意;C 选项,剪去阴影部分后,能围成无盖的正方体,故此选项不合题意;D 选项,剪去阴影部分后,无法围成长方体,故此选项不合题意. 故选 A.

3[中]九年级学生设计了正方体废纸回收盒，，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有种添加方式。

4 【解析】将写有“庆”字的正方形分别放在“建”“设”“美”“丽”的上方均可构成完整的正方体展开图,所以共有 4 种添加方式,故答案为 4.

4[中]小明剪开一个长方体纸盒时不小心多剪了一条棱,把纸盒剪成了两部分,如图(1)和图(2).根据你所学的知识,回答下列问题:
(1)小明共剪开了条棱.
(2)将剪断的纸条粘到图(1)中的什么位置才能折叠成一个长方体纸盒?请画出来.
(3)请你设计一个长方体的包装纸箱,使每箱能装10个这种纸盒(长为8 cm,宽为6 cm,高为3 cm),每层放1个,共放10层,要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少(纸箱的表面积尽可能小),请你通过计算说明最节省材料的包装纸箱的规格(单位:cm).

刷素养 走向重高

【解】(1)小明共剪开了 8 条棱,故答案为 8.
(2)如图,共有以下四种情况.

(3)方案一:纸箱的高为 $3×10=30(cm)$,则纸箱的表面积为 $6×8×2+2×(6+8)×30=936(cm^{2})$;
方案二:纸箱的高为 $6×10=60(cm)$,则纸箱的表面积为 $3×8×2+2×(3+8)×60=1\ 368(cm^{2})$;
方案三:纸箱的高为 $8×10=80(cm)$,则纸箱的表面积为 $3×6×2+2×(3+6)×80=1\ 476(cm^{2})$.
因为 $936＜1\ 368＜1\ 476$,
所以最节省材料的包装纸箱的规格为长8 cm,宽 6 cm,高 30 cm.

5 核心素养几何直观[2025河南济源期末,较难]小明用一张正方形的纸板,按如图(1)所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形,折合起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒.小亮用一张长方形的纸板,按如图(2)所示的方式在纸板的四角剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形,剩余部分折合起来恰好可以做成一个有盖的正方体纸盒.

现有一张长为a cm,宽为b cm的长方形纸板,请探究:
(1)若a=b,按图(1)所示的方式剪去的小正方形边长为c cm,做成一个无盖的正方体纸盒,你发现c与b之间存在的数量关系为;
(2)若a＞b,按图(2)所示的方式裁剪,做成一个有盖的正方体纸盒,你发现a与b之间存在的数量关系为;
(3)在(2)的条件下,若a=36,求有盖正方体纸盒的表面积.

【解】(1)由题意可知,做成的无盖正方体纸盒的棱长是 c cm,故可得 $b=3c$,故答案为 $b=3c$.
(2)设剪去的小正方形的边长为 c cm,则做成的有盖正方体纸盒的棱长为 c cm. 如图所示,由图形可得 $a=4c,b=3c$,所以 $c=\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{3}$,则$b=\dfrac{3}{4}a$,故答案为 $b=\dfrac{3}{4}a$.

(3)设有盖正方体纸盒的棱长为 x cm.
由题意得 $a=4x$,则 $4x=36$,解得 $x=9$,
所以有盖正方体纸盒的表面积为 $6×9^{2}=486(cm^{2})$.