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1[中]四个同学研究一列数:1,-3,5,-7,9,-11,13,…,按此规律,他们分别得出第n个数如下,你认为正确的是 (
A.$2n-1$
B.$1-2n$
C.$(-1)^n(2n-1)$
D.$(-1)^{n+1}(2n-1)$
D
)A.$2n-1$
B.$1-2n$
C.$(-1)^n(2n-1)$
D.$(-1)^{n+1}(2n-1)$
答案
1.D 【解析】第1个数:1=(-1)^(1+1)×(2×1-1)；第2个数:-3=(-1)^(2+1)×(2×2-1)；第3个数:5=(-1)^(3+1)×(2×3-1)；第4个数:-7=(-1)^(4+1)×(2×4-1)；…,按此规律,第n个数:(-1)^(n+1)×(2n-1). 故选D.
2[2026安徽芜湖期中,中]观察下列一组数:
1.9,3.99,5.999,7.9999,9.99999,…,按此规律,第n个数是 (
A.$2n - 0.1^n$
B.$2n + 1 - 0.1^n$
C.$2n - 1 + 0.9^n$
D.$2n - 1 - 0.1^n$
1.9,3.99,5.999,7.9999,9.99999,…,按此规律,第n个数是 (
A
)A.$2n - 0.1^n$
B.$2n + 1 - 0.1^n$
C.$2n - 1 + 0.9^n$
D.$2n - 1 - 0.1^n$
答案
2.A 【解析$】1.9=2-0.1=2×1-0.1^1,3.99=4-0.01=2×2-0.1^2,5.999=6-0.001=2×3-0.1^3,7.9999=8-0.0001=2×4-0.1^4,…,$以此类推,第n个数是2n-0.1^n. 故选A.
3 对于每个正整数n,设$f(n)$表示$n(n+1)$的末位数字.例如:$f(1)=2(1×2$的末位数字$),f(2)=6(2×3$的末位数字$),f(3)=2(3×4$的末位数字$)$,则$f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2023)$的值为
4 050
.答案
3.4 050 【解析】因为$f(n)$表示$n(n+1)$的末位数字,所以$f(1)=2,f(2)=6,f(3)=2,f(4)=0,f(5)=0,f(6)=2,f(7)=6,f(8)=2,f(9)=0,f(10)=0,…,$所以$f(n)$的结果每5个循环一次,$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=10$. 因为$2023÷5=404……3$,所以$f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2023)=10×404+10=4 050$. 故答案为4 050.
关键点拨
通过计算得到$f(n)$的结果每5个循环一次是解题的关键.
关键点拨
通过计算得到$f(n)$的结果每5个循环一次是解题的关键.
4[2025重庆万州区调研,中]我们把分子为1的分数叫作“理想分数”,如$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},···$,任何一个“理想分数”都可以写成另外两个不同“理想分数”的和,如$\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6},\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{12},\frac{1}{4}=\frac{1}{5}+\frac{1}{20},···$,根据对上述式子的观察,请你思考:如果“理想分数”$\frac{1}{n}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$,那么$a+b=$
$(n+1)^2$
.(用含$n$的代数式表示)答案
4.$(n+1)^2$ 【解析】$\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$,得$(2+1)^2=3+6$;$\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}$,得$(3+1)^2=4+12$;$\frac{1}{4}=\frac{1}{5}+\frac{1}{20}$,得$(4+1)^2=5+20$;…,所以$\frac{1}{n}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$,得$a+b=(n+1)^2$. 故答案为$(n+1)^2$.
5[较难]若一列数$a_1,a_2,a_3,a_4,···$中的任意三个相邻数之和都是46，已知$a_3=9,a_{100}=16$，则$a_{2024}=$
21
.答案
5.21 【解析】因为这列数中的任意三个相邻数之和都是46,所以$a_1+a_2+a_3=a_2+a_3+a_4$,$a_4+a_5+a_6=a_5+a_6+a_7$,…,$a_{97}+a_{98}+a_{99}=a_{98}+a_{99}+a_{100}$,…,则$a_1=a_4=a_7=…=a_{100}=…=a_{3n-2}$;同理可得,$a_2=a_5=a_8=…=a_{101}=…=a_{3n-1}$;$a_3=a_6=a_9=…=a_{99}=…=a_{3n}$. 因为$a_3=9$,$a_{100}=16$,所以$a_1=a_{100}=16$. 又因为$a_1+a_2+a_3=46$,所以$a_2=21$,则这列数按16,21,9循环出现. 又因为$2024÷3=674……2$,所以$a_{2024}=21$. 故答案为21.
关键点拨
根据相邻三个数的和都是46可得出这列数的特征,据此可解决问题.
关键点拨
根据相邻三个数的和都是46可得出这列数的特征,据此可解决问题.
6[较难]已知整数$a_1,a_2,a_3,a_4,\dots$满足下列条件:$a_1=0,a_2=-|a_1+1|,a_3=-|a_2+2|,a_4=-|a_3+3|,\dots,a_{n+1}=-|a_n+n|$($n$为正整数).依次类推,则$a_{2022}$的值为
-1 011
.答案
6.-1 011 【解析】由题意可得,$a_1=0$,$a_2=-|a_1+1|=-|0+1|=-1$,$a_3=-|a_2+2|=-|-1+2|=-1$,$a_4=-|a_3+3|=-|-1+3|=-2$,$a_5=-|a_4+4|=-|-2+4|=-2$,$a_6=-|a_5+5|=-|-2+5|=-3$,$a_7=-|a_6+6|=-|-3+6|=-3$,…,由上可得,从第二个数开始,每两个为一组,依次出现-1,-1,-2,-2,-3,-3,…,并且第偶数个数是这个偶数除以2的商的相反数. 因为$2022÷2=1 011$,所以$a_{2022}=-1 011$. 故答案为-1 011.
7[2025江苏无锡期中,中]图(1)是一个水平摆放的小正方体木块,图(2)、图(3)由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续叠放下去,第7个图形中,小正方体木块总数应是 (
A.92
B.91
C.90
D.89
B
)A.92
B.91
C.90
D.89
答案
7.B 【解析】观察可知,第n个叠放的图形共有n层,从上往下看第1层的小正方体木块个数为1=4×0+1,第2层的小正方体木块个数为5=4×1+1,第3层的小正方体木块个数为9=4×2+1,…,第n层的小正方体木块个数为4(n-1)+1,所以第4层的小正方体木块个数为13,第5层的小正方体木块个数为17,第6层的小正方体木块个数为21,第7层的小正方体木块个数为25,所以第7个叠放的图形中,小正方体木块总数应是1+5+9+13+17+21+25=91. 故选B.
8[中]如图,第1个图形需要3个棋子,第2个图形需要8个棋子,第3个图形需要15个棋子,…,按照这样的规律,第n个图形需要
$n(n+2)$
个棋子(用含n的代数式表示).答案
8.$n(n+2)$ 【解析】第1个图形中的棋子数是2×3-3=1×3=3,第2个图形中的棋子数是3×4-4=2×4=8,第3个图形中的棋子数是4×5-5=3×5=15,…,所以第n个图形需要n(n+2)个棋子. 故答案为$n(n+2)$.
解题策略
探究图形的变化规律,需要运用从特殊到一般的思想方法,在探究图形的规律时,不仅要关注每个图形中基本图形的个数与对应序号之间的关系,还要关注图形之间的变化规律.
解题策略
探究图形的变化规律,需要运用从特殊到一般的思想方法,在探究图形的规律时,不仅要关注每个图形中基本图形的个数与对应序号之间的关系,还要关注图形之间的变化规律.
9[2025江苏南京期末,中]如图所示,将形状大小完全相同的“□”按照一定规律摆成下列图形.第1幅图中“□”的个数为$a_1$,第2幅图中“□”的个数为$a_2$,第3幅图中“□”的个数为$a_3$,…,以此类推,$\frac{2}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\frac{2}{a_3}+\frac{2}{a_4}+…+\frac{2}{a_{2024}}$的值为
$\frac{4\ 048}{2\ 025}$
.答案
9.$\frac{4\ 048}{2\ 025}$ 【解析】由题图可以发现,$a_1=1×2$,$a_2=2×3$,$a_3=3×4$,$a_4=4×5$,…,所以$a_n=n×(n+1)$,所以$\frac{2}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\frac{2}{a_3}+\frac{2}{a_4}+…+\frac{2}{a_{2024}}=2(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+…+\frac{1}{a_{2024}})=2(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-…+\frac{1}{2023}-\frac{1}{2024}+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025})=2(1-\frac{1}{2025})=\frac{4\ 048}{2\ 025}$,故答案为$\frac{4\ 048}{2\ 025}$.
