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例 已知$A$、$B$两个数的最大公因数是12，最小公倍数是72，$A$是36，则$B$是多少？
解析
$A$、$B$两个数与它们的最大公因数和最小公倍数之间存在以下关系：
①$A$、$B$两个数的乘积$=A$、$B$两个数的最大公因数$× A$、$B$两个数的最小公倍数；
②$A=A$、$B$两个数的最大公因数$× A$独有的因数，$B=A$、$B$两个数的最大公因数$× B$独有的因数，$A$、$B$两个数的最小公倍数$=A$、$B$两个数的最大公因数$× A$独有的因数$× B$独有的因数。
因此在已知$A$、$B$两个数的最大公因数和最小公倍数，以及$A$的值时，可以根据借助两种方法求出$B$的值。方法一：$B=A$、$B$两个数的最大公因数$× A$、$B$两个数的最小公倍数$÷ A$；方法二：$A$独有的因数$=A÷ A$、$B$两个数的最大公因数，$B$独有的因数$=A$、$B$两个数的最小公倍数$÷ A$、$B$两个数的最大公因数$÷ A$独有的因数，$B=A$、$B$两个数的最大公因数$× B$独有的因数。
答案：方法一：$72×12=864$
$864÷36=24$
方法二：$36÷12=3$
$72÷12÷3=2$
$12×2=24$
答：$B$是24。
小结
解决此类问题时，关键是根据两个不同的非0自然数的最大公因数和最小公倍数之间存在的倍数关系以及最大公因数和最小公倍数与两个数各自独有的因数之间的关系进行解答。
解析
$A$、$B$两个数与它们的最大公因数和最小公倍数之间存在以下关系：
①$A$、$B$两个数的乘积$=A$、$B$两个数的最大公因数$× A$、$B$两个数的最小公倍数；
②$A=A$、$B$两个数的最大公因数$× A$独有的因数，$B=A$、$B$两个数的最大公因数$× B$独有的因数，$A$、$B$两个数的最小公倍数$=A$、$B$两个数的最大公因数$× A$独有的因数$× B$独有的因数。
因此在已知$A$、$B$两个数的最大公因数和最小公倍数，以及$A$的值时，可以根据借助两种方法求出$B$的值。方法一：$B=A$、$B$两个数的最大公因数$× A$、$B$两个数的最小公倍数$÷ A$；方法二：$A$独有的因数$=A÷ A$、$B$两个数的最大公因数，$B$独有的因数$=A$、$B$两个数的最小公倍数$÷ A$、$B$两个数的最大公因数$÷ A$独有的因数，$B=A$、$B$两个数的最大公因数$× B$独有的因数。
答案：方法一：$72×12=864$
$864÷36=24$
方法二：$36÷12=3$
$72÷12÷3=2$
$12×2=24$
答：$B$是24。
小结
解决此类问题时，关键是根据两个不同的非0自然数的最大公因数和最小公倍数之间存在的倍数关系以及最大公因数和最小公倍数与两个数各自独有的因数之间的关系进行解答。
答案
方法一：
12×72=864
864÷36=24
方法二：
36÷12=3
72÷12÷3=2
12×2=24
答：B是24。
12×72=864
864÷36=24
方法二：
36÷12=3
72÷12÷3=2
12×2=24
答：B是24。
解析
【分析】
这道题的核心是利用两个非零自然数的最大公因数、最小公倍数和两数本身的固定关系来求解。首先我们可以直接套用“两个数的乘积 = 两数的最大公因数 × 两数的最小公倍数”这个结论，直接代入已知的最大公因数12、最小公倍数72、A的值36，就能直接算出B。第二种思路是拆分因数：把A和B都拆成“最大公因数 × 各自独有的互质因数”的形式，而最小公倍数刚好等于最大公因数乘两个数各自独有的因数，我们可以先算出A独有的因数，再反推出B独有的因数，最后乘最大公因数得到B，两种方法还可以互相验证结果是否正确。
【解析】
方法一：利用两数乘积与最大公因数、最小公倍数的关系计算
根据性质：$A × B = \mathrm{最大公因数} × \mathrm{最小公倍数}$
代入已知数值计算：
$12 × 72 = 864$
$864 ÷ 36 = 24$
方法二：通过拆分独有因数计算
1. 先求A独有的因数：A是最大公因数和A独有因数的乘积，因此A独有的因数 = $A ÷ \mathrm{最大公因数} = 36 ÷ 12 = 3$
2. 再求B独有的因数：最小公倍数 = 最大公因数 × A独有因数 × B独有因数，因此B独有的因数 = $\mathrm{最小公倍数} ÷ \mathrm{最大公因数} ÷ A\mathrm{独有因数} = 72 ÷ 12 ÷ 3 = 2$
3. 最后计算B的值：$B = \mathrm{最大公因数} × B\mathrm{独有因数} = 12 × 2 = 24$
【答案】
B是24
【知识点】
最大公因数；最小公倍数；公因公倍关系
【点评】
本题是数论板块中最大公因数与最小公倍数应用的经典基础题型，两种解题思路分别对应了该类问题的两种常用推导逻辑，既可以直接套用核心公式快速计算，也可以通过拆分独有因数的方式从原理层面推导，能帮助学生跳出死记硬背公式的误区，真正理解最大公因数、最小公倍数和原数之间的内在关联，两种方法也可互相验算避免计算错误。
【难度系数】
0.7
这道题的核心是利用两个非零自然数的最大公因数、最小公倍数和两数本身的固定关系来求解。首先我们可以直接套用“两个数的乘积 = 两数的最大公因数 × 两数的最小公倍数”这个结论，直接代入已知的最大公因数12、最小公倍数72、A的值36，就能直接算出B。第二种思路是拆分因数：把A和B都拆成“最大公因数 × 各自独有的互质因数”的形式，而最小公倍数刚好等于最大公因数乘两个数各自独有的因数，我们可以先算出A独有的因数，再反推出B独有的因数，最后乘最大公因数得到B，两种方法还可以互相验证结果是否正确。
【解析】
方法一：利用两数乘积与最大公因数、最小公倍数的关系计算
根据性质：$A × B = \mathrm{最大公因数} × \mathrm{最小公倍数}$
代入已知数值计算：
$12 × 72 = 864$
$864 ÷ 36 = 24$
方法二：通过拆分独有因数计算
1. 先求A独有的因数：A是最大公因数和A独有因数的乘积，因此A独有的因数 = $A ÷ \mathrm{最大公因数} = 36 ÷ 12 = 3$
2. 再求B独有的因数：最小公倍数 = 最大公因数 × A独有因数 × B独有因数，因此B独有的因数 = $\mathrm{最小公倍数} ÷ \mathrm{最大公因数} ÷ A\mathrm{独有因数} = 72 ÷ 12 ÷ 3 = 2$
3. 最后计算B的值：$B = \mathrm{最大公因数} × B\mathrm{独有因数} = 12 × 2 = 24$
【答案】
B是24
【知识点】
最大公因数；最小公倍数；公因公倍关系
【点评】
本题是数论板块中最大公因数与最小公倍数应用的经典基础题型，两种解题思路分别对应了该类问题的两种常用推导逻辑，既可以直接套用核心公式快速计算，也可以通过拆分独有因数的方式从原理层面推导，能帮助学生跳出死记硬背公式的误区，真正理解最大公因数、最小公倍数和原数之间的内在关联，两种方法也可互相验算避免计算错误。
【难度系数】
0.7
1. 两个数的最大公因数是6,最小公倍数是90,已知一个数是18,另一个数是多少?
答案
1. $6×90÷18=30$
【解析】两个数的最大公因数与它们的最小公倍数的积等于这两个数的积,则另一个数是$6×90÷18=30$。
【解析】两个数的最大公因数与它们的最小公倍数的积等于这两个数的积,则另一个数是$6×90÷18=30$。
解析
【分析】
我们拿到这道题，已知两个数的最大公因数、最小公倍数，还知道其中一个数，要找另一个数。首先可以回忆数论里关于最大公因数和最小公倍数的核心规律：任意两个正整数的乘积，等于这两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积。我们不需要盲目枚举试算，直接利用这个规律变形，就可以得到“另一个数 = 最大公因数 × 最小公倍数 ÷ 已知的数”，代入对应数值计算就能得到结果，最后还可以反向验证算出的数和18的最大公因数、最小公倍数是否符合题干条件，确保结果正确。
【解析】
第一步：明确核心性质：对于任意两个正整数a、b，都有 $a × b = \mathrm{gcd}(a,b) × \mathrm{lcm}(a,b)$，其中$\mathrm{gcd}(a,b)$代表两数的最大公因数，$\mathrm{lcm}(a,b)$代表两数的最小公倍数。
第二步：对公式变形求未知的另一个数：已知其中一个数是18，最大公因数是6，最小公倍数是90，因此另一个数 = 最大公因数 × 最小公倍数 ÷ 已知数。
第三步：代入数值计算：
$6 × 90 ÷ 18 = 540 ÷ 18 = 30$
第四步：验证：18分解质因数为$2×3^2$，30分解质因数为$2×3×5$，二者最大公因数是$2×3=6$，最小公倍数是$2×3^2×5=90$，完全符合题干条件，结果正确。
【答案】30
【知识点】最大公因数、最小公倍数、公因公倍乘积性质
【点评】这是公因数公倍数模块的经典基础题，核心考察学生对“两数乘积等于最大公因数乘最小公倍数”这个常用结论的掌握，不需要复杂的分解质因数推导，熟练掌握该结论可以大幅提升解题速度，做完后反向验证可以有效避免计算错误。
【难度系数】0.7
我们拿到这道题，已知两个数的最大公因数、最小公倍数，还知道其中一个数，要找另一个数。首先可以回忆数论里关于最大公因数和最小公倍数的核心规律：任意两个正整数的乘积，等于这两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积。我们不需要盲目枚举试算，直接利用这个规律变形，就可以得到“另一个数 = 最大公因数 × 最小公倍数 ÷ 已知的数”，代入对应数值计算就能得到结果，最后还可以反向验证算出的数和18的最大公因数、最小公倍数是否符合题干条件，确保结果正确。
【解析】
第一步：明确核心性质：对于任意两个正整数a、b，都有 $a × b = \mathrm{gcd}(a,b) × \mathrm{lcm}(a,b)$，其中$\mathrm{gcd}(a,b)$代表两数的最大公因数，$\mathrm{lcm}(a,b)$代表两数的最小公倍数。
第二步：对公式变形求未知的另一个数：已知其中一个数是18，最大公因数是6，最小公倍数是90，因此另一个数 = 最大公因数 × 最小公倍数 ÷ 已知数。
第三步：代入数值计算：
$6 × 90 ÷ 18 = 540 ÷ 18 = 30$
第四步：验证：18分解质因数为$2×3^2$，30分解质因数为$2×3×5$，二者最大公因数是$2×3=6$，最小公倍数是$2×3^2×5=90$，完全符合题干条件，结果正确。
【答案】30
【知识点】最大公因数、最小公倍数、公因公倍乘积性质
【点评】这是公因数公倍数模块的经典基础题，核心考察学生对“两数乘积等于最大公因数乘最小公倍数”这个常用结论的掌握，不需要复杂的分解质因数推导，熟练掌握该结论可以大幅提升解题速度，做完后反向验证可以有效避免计算错误。
【难度系数】0.7
2. 两个自然数的最大公因数是6,最小公倍数是72,这两个数可能是多少?
答案
2. $72÷6=12$ $12=1×12=3×4$
$1×6=6$ $12×6=72$ $3×6=18$ $4×6=24$
这两个数可能是6 和 72 或 18 和 24。
【解析】因为最小公倍数含有最大公因数和各自独有的因数，所以$72÷6=12$,12 可以是$1×12$,得出$1×6$和$12×6$这两个数;12 也可以是$3×4$,得出$3×6$和$4×6$这两个数;12 也可以分为$2×6$,这样还有公因数 2,两个数的最大公因数就是 12,不符合题意。
$1×6=6$ $12×6=72$ $3×6=18$ $4×6=24$
这两个数可能是6 和 72 或 18 和 24。
【解析】因为最小公倍数含有最大公因数和各自独有的因数，所以$72÷6=12$,12 可以是$1×12$,得出$1×6$和$12×6$这两个数;12 也可以是$3×4$,得出$3×6$和$4×6$这两个数;12 也可以分为$2×6$,这样还有公因数 2,两个数的最大公因数就是 12,不符合题意。
解析
【分析】
我们可以利用最大公因数和最小公倍数的关联来解题：已知两个数的最大公因数是6，说明这两个数都可以写成6乘某个自然数的形式，且这两个自然数必须互质（也就是它们的最大公因数是1，否则两个数的整体最大公因数就会大于6）。再结合最小公倍数的性质，用最小公倍数除以最大公因数，就能得到这两个互质自然数的乘积，接下来只需要找出所有乘积等于该结果、且互质的正整数对，分别乘6就能得到对应的两个数，最后验证排除不符合条件的组合即可。
【解析】
1. 设这两个自然数分别为6a、6b，其中a、b是自然数，且a和b互质（即最大公因数为1）。
2. 根据两个数的最小公倍数计算公式：两个数的最小公倍数 = 最大公因数 × a × b，代入已知条件得：
$6ab=72$，计算可得 $ab=72÷6=12$。
3. 列出所有乘积为12的正整数对：(1,12)、(2,6)、(3,4)。
4. 筛选互质的数对：
数对(1,12)：最大公因数为1，符合互质要求；
数对(2,6)：最大公因数为2，不满足互质要求，排除；
数对(3,4)：最大公因数为1，符合互质要求。
5. 将符合要求的数对分别乘6得到对应自然数：
第一组：$6×1=6$，$6×12=72$；
第二组：$6×3=18$，$6×4=24$。
反向验证可知两组数的最大公因数都是6，最小公倍数都是72，均符合题意。
【答案】
这两个数可能是6和72，或18和24。
【知识点】
最大公因数，最小公倍数，互质数
【点评】
本题考察最大公因数与最小公倍数的内在联系，易错点是分解因数对时忘记筛选互质的组合，容易误把12和36这类不符合最大公因数要求的组合作为答案，解题后可以反向验证结果是否匹配题干条件，避免出错。
【难度系数】
0.6
我们可以利用最大公因数和最小公倍数的关联来解题：已知两个数的最大公因数是6，说明这两个数都可以写成6乘某个自然数的形式，且这两个自然数必须互质（也就是它们的最大公因数是1，否则两个数的整体最大公因数就会大于6）。再结合最小公倍数的性质，用最小公倍数除以最大公因数，就能得到这两个互质自然数的乘积，接下来只需要找出所有乘积等于该结果、且互质的正整数对，分别乘6就能得到对应的两个数，最后验证排除不符合条件的组合即可。
【解析】
1. 设这两个自然数分别为6a、6b，其中a、b是自然数，且a和b互质（即最大公因数为1）。
2. 根据两个数的最小公倍数计算公式：两个数的最小公倍数 = 最大公因数 × a × b，代入已知条件得：
$6ab=72$，计算可得 $ab=72÷6=12$。
3. 列出所有乘积为12的正整数对：(1,12)、(2,6)、(3,4)。
4. 筛选互质的数对：
数对(1,12)：最大公因数为1，符合互质要求；
数对(2,6)：最大公因数为2，不满足互质要求，排除；
数对(3,4)：最大公因数为1，符合互质要求。
5. 将符合要求的数对分别乘6得到对应自然数：
第一组：$6×1=6$，$6×12=72$；
第二组：$6×3=18$，$6×4=24$。
反向验证可知两组数的最大公因数都是6，最小公倍数都是72，均符合题意。
【答案】
这两个数可能是6和72，或18和24。
【知识点】
最大公因数，最小公倍数，互质数
【点评】
本题考察最大公因数与最小公倍数的内在联系，易错点是分解因数对时忘记筛选互质的组合，容易误把12和36这类不符合最大公因数要求的组合作为答案，解题后可以反向验证结果是否匹配题干条件，避免出错。
【难度系数】
0.6
3. 自然数 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数是 140,最大公因数是 $5,a+b$ 的最大值是多少?
答案
3. $a+b$ 的最大值是 145。
【解析】$140=2×2×5×7$,因为自然数 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数是 140,所以 $a$ 和 $b$ 是 2,2,5,7 中的一个数或多个数相乘得到的数。因为 $a$ 和 $b$ 的最大公因数是 5,所以这两个数都含有质因数 5,其中一个数就是 5,要使 $a+b$ 的值最大,另一个数是 140,因此 $a+b$ 的最大值是$5+140=145$。
【解析】$140=2×2×5×7$,因为自然数 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数是 140,所以 $a$ 和 $b$ 是 2,2,5,7 中的一个数或多个数相乘得到的数。因为 $a$ 和 $b$ 的最大公因数是 5,所以这两个数都含有质因数 5,其中一个数就是 5,要使 $a+b$ 的值最大,另一个数是 140,因此 $a+b$ 的最大值是$5+140=145$。
解析
【分析】
我们要解决这道求a+b最大值的问题，可以按照以下思路逐步思考：
1. 先明确已知条件的性质：a、b的最大公因数是5，说明a和b都是5的倍数，且除了5之外没有其他公共的质因数；二者的最小公倍数是140。
2. 利用数论基本规律：两个正整数的乘积等于它们的最大公因数乘最小公倍数，也就是$a×b=5×140=700$，乘积固定的两个数，差值越大，它们的和就越大。
3. 要让两数差尽可能大，就需要其中一个数尽可能小，另一个数尽可能大。符合条件的最小数就是最大公因数本身5，对应的另一个数就是140，验证后完全满足条件，此时的和就是最大值。
【解析】
1. 先对最小公倍数140做质因数分解：$140=2×2×5×7$。
2. 结合最大公因数的性质分析：因为a和b的最大公因数是5，说明两个数都包含质因数5，且除了5之外没有其他公共的质因数。
3. 要让a+b的和最大，需要让两个数的差值尽可能大：符合条件的最小自然数是5，此时对应的另一个数就是最小公倍数140。
4. 验证条件：5和140的最大公因数是5，最小公倍数是140，完全符合题目要求，计算两数之和：$5+140=145$。
【答案】
145
【知识点】
最大公因数性质，最小公倍数性质，质因数分解
【点评】
本题考察最大公因数与最小公倍数的关联应用，利用“乘积固定的两个数，差越大和越大”的规律可以快速求解，避免了枚举所有数对的冗余计算，部分同学容易错误拆分质因数得到其他数对，忽略了取最小数为最大公因数本身就能得到最大和的结论。
【难度系数】
0.6
我们要解决这道求a+b最大值的问题，可以按照以下思路逐步思考：
1. 先明确已知条件的性质：a、b的最大公因数是5，说明a和b都是5的倍数，且除了5之外没有其他公共的质因数；二者的最小公倍数是140。
2. 利用数论基本规律：两个正整数的乘积等于它们的最大公因数乘最小公倍数，也就是$a×b=5×140=700$，乘积固定的两个数，差值越大，它们的和就越大。
3. 要让两数差尽可能大，就需要其中一个数尽可能小，另一个数尽可能大。符合条件的最小数就是最大公因数本身5，对应的另一个数就是140，验证后完全满足条件，此时的和就是最大值。
【解析】
1. 先对最小公倍数140做质因数分解：$140=2×2×5×7$。
2. 结合最大公因数的性质分析：因为a和b的最大公因数是5，说明两个数都包含质因数5，且除了5之外没有其他公共的质因数。
3. 要让a+b的和最大，需要让两个数的差值尽可能大：符合条件的最小自然数是5，此时对应的另一个数就是最小公倍数140。
4. 验证条件：5和140的最大公因数是5，最小公倍数是140，完全符合题目要求，计算两数之和：$5+140=145$。
【答案】
145
【知识点】
最大公因数性质，最小公倍数性质，质因数分解
【点评】
本题考察最大公因数与最小公倍数的关联应用，利用“乘积固定的两个数，差越大和越大”的规律可以快速求解，避免了枚举所有数对的冗余计算，部分同学容易错误拆分质因数得到其他数对，忽略了取最小数为最大公因数本身就能得到最大和的结论。
【难度系数】
0.6
4. 两个自然数的差是24，最大公因数是4，最小公倍数是28。这两个数分别是多少？
答案
4. $28÷4=7$ $7=1×7$ $4×1=4$ $4×7=28$
这两个数分别是 4 和 28。
【解析】先用最小公倍数除以最大公因数求出两个数各自独有因数的乘积是$28÷4=7$,再把这个乘积进行拆分,$7=1×7$,1 和 7 是两个数各自独有的因数,最后用 1 和 7 分别乘最大公因数即可求出这两个数。
这两个数分别是 4 和 28。
【解析】先用最小公倍数除以最大公因数求出两个数各自独有因数的乘积是$28÷4=7$,再把这个乘积进行拆分,$7=1×7$,1 和 7 是两个数各自独有的因数,最后用 1 和 7 分别乘最大公因数即可求出这两个数。
解析
【分析】
我们可以利用两个数的最大公因数和最小公倍数的关联来解题：首先已知两个数的最大公因数是4，说明这两个数都是4的倍数，我们可以把这两个数表示为4乘两个互质的自然数a和b，也就是两数为4a、4b，且a和b的最大公因数是1。接下来根据性质，两个数的最小公倍数就等于最大公因数乘a乘b，所以用最小公倍数28除以最大公因数4，就能得到a和b的乘积是7。接下来把7拆成两个互质的自然数相乘，7是质数，只能拆成1×7，最后分别乘最大公因数4得到两个数，再验证两数的差是否为24即可得到答案。
【解析】
1. 设这两个自然数分别为$4a$、$4b$（其中$a$、$b$是互质的自然数，即二者最大公因数为1）。
2. 根据最大公因数和最小公倍数的关系：两个数的最小公倍数 = 最大公因数 × $a × b$，因此可得：
$a × b = 28 ÷ 4 =7$
3. 7是质数，拆分得到互质的两个自然数仅能为$a=1$，$b=7$。
4. 计算两个数：
$4×1=4$，$4×7=28$
5. 验证条件：两数差为$28-4=24$，完全符合题干要求。
【答案】
这两个数分别是4和28。
【知识点】
最大公因数，最小公倍数，互质性质
【点评】
本题属于公因数公倍数的基础应用题型，核心是掌握“若两数最大公因数为d，将两数除以d后得到的两个数互质，且两数的最小公倍数等于d乘以这两个互质数的乘积”这一规律，解题时拆分出独有因数后，最后验证题干给出的差的条件即可，难度不高，适合巩固对公因数公倍数关系的理解。
【难度系数】
0.6
我们可以利用两个数的最大公因数和最小公倍数的关联来解题：首先已知两个数的最大公因数是4，说明这两个数都是4的倍数，我们可以把这两个数表示为4乘两个互质的自然数a和b，也就是两数为4a、4b，且a和b的最大公因数是1。接下来根据性质，两个数的最小公倍数就等于最大公因数乘a乘b，所以用最小公倍数28除以最大公因数4，就能得到a和b的乘积是7。接下来把7拆成两个互质的自然数相乘，7是质数，只能拆成1×7，最后分别乘最大公因数4得到两个数，再验证两数的差是否为24即可得到答案。
【解析】
1. 设这两个自然数分别为$4a$、$4b$（其中$a$、$b$是互质的自然数，即二者最大公因数为1）。
2. 根据最大公因数和最小公倍数的关系：两个数的最小公倍数 = 最大公因数 × $a × b$，因此可得：
$a × b = 28 ÷ 4 =7$
3. 7是质数，拆分得到互质的两个自然数仅能为$a=1$，$b=7$。
4. 计算两个数：
$4×1=4$，$4×7=28$
5. 验证条件：两数差为$28-4=24$，完全符合题干要求。
【答案】
这两个数分别是4和28。
【知识点】
最大公因数，最小公倍数，互质性质
【点评】
本题属于公因数公倍数的基础应用题型，核心是掌握“若两数最大公因数为d，将两数除以d后得到的两个数互质，且两数的最小公倍数等于d乘以这两个互质数的乘积”这一规律，解题时拆分出独有因数后，最后验证题干给出的差的条件即可，难度不高，适合巩固对公因数公倍数关系的理解。
【难度系数】
0.6
