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三、解答题
16. 解不等式组$\begin{cases} x - \dfrac{3}{2}(x - 2) ≤ 5, \\ \dfrac{1 + 3x}{2} ＞ 2x - 1, \end{cases}$并把不等式组的解集在数轴上（
）表示出来.
16. 解不等式组$\begin{cases} x - \dfrac{3}{2}(x - 2) ≤ 5, \\ \dfrac{1 + 3x}{2} ＞ 2x - 1, \end{cases}$并把不等式组的解集在数轴上（
）表示出来.答案
16.解：$\begin{cases} x - \dfrac{3}{2}(x - 2) ≤ 5, ① \\ \dfrac{1 + 3x}{2} ＞ 2x - 1, ② \end{cases}$
由①得 $x≥-4$,由②得 $x＜3$.
$\therefore$解集为$-4≤ x＜3$. 在数轴上的表示如图：
解析
【分析】
解一元一次不等式组的常规思路为：第一步分别求解每个不等式的解集，解单个不等式时注意去分母不要漏乘常数项，系数化为1时若两边同时乘/除以负数，不等号方向要改变；第二步根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的口诀，确定两个解集的公共部分，即为不等式组的解集；最后按照规则在数轴上表示解集：包含端点用实心点，不包含端点用空心圈，大于向右画线、小于向左画线。
【解析】
将不等式组标记为：
$\begin{cases} x - \dfrac{3}{2}(x - 2) ≤ 5, ① \\ \dfrac{1 + 3x}{2} ＞ 2x - 1, ② \end{cases}$
1. 解不等式①：
两边同时乘2去分母，得$2x - 3(x - 2) ≤ 10$
去括号，得$2x - 3x + 6 ≤ 10$
移项、合并同类项，得$-x ≤ 4$
系数化为1（两边同时除以-1，不等号方向改变），得$x ≥ -4$
2. 解不等式②：
两边同时乘2去分母，得$1 + 3x ＞ 2(2x - 1)$
去括号，得$1 + 3x ＞ 4x - 2$
移项、合并同类项，得$-x ＞ -3$
系数化为1（两边同时除以-1，不等号方向改变），得$x ＜ 3$
两个解集的公共部分为$-4 ≤ x ＜ 3$，即不等式组的解集为$-4 ≤ x ＜ 3$。
【答案】
不等式组的解集为$\boldsymbol{-4 ≤ x ＜ 3}$，在数轴上的表示如图：
【知识点】
一元一次不等式组的解法、不等式的基本性质、解集的数轴表示
【点评】
本题是不等式组的基础考查题，重点检验解不等式的基础操作能力，易错点为系数化为1时不等号方向判断错误、数轴表示时实心点和空心圈使用错误，熟练掌握解不等式的步骤和规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组的常规思路为：第一步分别求解每个不等式的解集，解单个不等式时注意去分母不要漏乘常数项，系数化为1时若两边同时乘/除以负数，不等号方向要改变；第二步根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的口诀，确定两个解集的公共部分，即为不等式组的解集；最后按照规则在数轴上表示解集：包含端点用实心点，不包含端点用空心圈，大于向右画线、小于向左画线。
【解析】
将不等式组标记为：
$\begin{cases} x - \dfrac{3}{2}(x - 2) ≤ 5, ① \\ \dfrac{1 + 3x}{2} ＞ 2x - 1, ② \end{cases}$
1. 解不等式①：
两边同时乘2去分母，得$2x - 3(x - 2) ≤ 10$
去括号，得$2x - 3x + 6 ≤ 10$
移项、合并同类项，得$-x ≤ 4$
系数化为1（两边同时除以-1，不等号方向改变），得$x ≥ -4$
2. 解不等式②：
两边同时乘2去分母，得$1 + 3x ＞ 2(2x - 1)$
去括号，得$1 + 3x ＞ 4x - 2$
移项、合并同类项，得$-x ＞ -3$
系数化为1（两边同时除以-1，不等号方向改变），得$x ＜ 3$
两个解集的公共部分为$-4 ≤ x ＜ 3$，即不等式组的解集为$-4 ≤ x ＜ 3$。
【答案】
不等式组的解集为$\boldsymbol{-4 ≤ x ＜ 3}$，在数轴上的表示如图：
【知识点】
一元一次不等式组的解法、不等式的基本性质、解集的数轴表示
【点评】
本题是不等式组的基础考查题，重点检验解不等式的基础操作能力，易错点为系数化为1时不等号方向判断错误、数轴表示时实心点和空心圈使用错误，熟练掌握解不等式的步骤和规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
17.△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C 三点在格点上.(1)作出△ABC 关于 y 轴对称的△A₁B₁C₁，并写出点 C₁ 的坐标；(2)作出△ABC 向下平移5个单位长度后得到的△A₂B₂C₂；(3)求△ABC 的面积.
答案
17.解:(1)$△ A_1B_1C_1$如图,$C_1(-3,2)$;
(2)$△ A_2B_2C_2$如图;
(3)$S_{△ ABC}=2×3-\dfrac{1}{2}×1×2×2-\dfrac{1}{2}×1×3=6-2-\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}$.
解析
【分析】
(1) 作关于y轴对称的图形时，先依据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数，找到A、B、C三点的对称点，依次连接就能得到△A₁B₁C₁，再根据坐标系直接读出C₁的坐标即可。
(2) 作向下平移5个单位的图形时，依据平移的坐标规律：横坐标不变，纵坐标减去5，找到三个顶点平移后的对应点，依次连接就能得到△A₂B₂C₂。
(3) 求格点三角形的面积适合用割补法，将△ABC补成一个矩形，用矩形的总面积减去周围多余的三个直角三角形的面积，就可以得到△ABC的面积，该方法无需直接找三角形的底和高，适合格点图形的面积计算。
【解析】
(1) 首先确定△ABC三个顶点坐标：A(2,4)，B(1,1)，C(3,2)。根据关于y轴对称的点的坐标规律，得对应点坐标：A₁(-2,4)，B₁(-1,1)，C₁(-3,2)，描点并依次连接三点得到△A₁B₁C₁，可得C₁坐标为(-3,2)。
(2) 根据向下平移5个单位的坐标变化规律，横坐标不变，纵坐标减5，得平移后对应点坐标：A₂(2,-1)，B₂(1,-4)，C₂(3,-3)，描点并依次连接三点得到△A₂B₂C₂。
(3) 用割补法计算面积：将△ABC放入长为3、宽为2的矩形中，矩形面积为$2×3=6$；
减去周围三个直角三角形的面积：2个底为1、高为2的三角形总面积为$\dfrac{1}{2}×1×2×2=2$，1个底为1、高为3的三角形面积为$\dfrac{1}{2}×1×3=\dfrac{3}{2}$；
因此$S_{△ABC}=6-2-\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}$。
【答案】
(1)$△ A_1B_1C_1$如图,$C_1(-3,2)$;
(2)$△ A_2B_2C_2$如图;
(3)$S_{△ ABC}=\dfrac{5}{2}$。
【知识点】
轴对称作图，平移作图，割补法求面积
【点评】
本题属于平面直角坐标系与几何变换结合的基础题型，解题的核心是熟练掌握轴对称、平移变换的坐标变化规律，灵活运用割补法计算格点图形的面积。
【难度系数】
0.75
(1) 作关于y轴对称的图形时，先依据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数，找到A、B、C三点的对称点，依次连接就能得到△A₁B₁C₁，再根据坐标系直接读出C₁的坐标即可。
(2) 作向下平移5个单位的图形时，依据平移的坐标规律：横坐标不变，纵坐标减去5，找到三个顶点平移后的对应点，依次连接就能得到△A₂B₂C₂。
(3) 求格点三角形的面积适合用割补法，将△ABC补成一个矩形，用矩形的总面积减去周围多余的三个直角三角形的面积，就可以得到△ABC的面积，该方法无需直接找三角形的底和高，适合格点图形的面积计算。
【解析】
(1) 首先确定△ABC三个顶点坐标：A(2,4)，B(1,1)，C(3,2)。根据关于y轴对称的点的坐标规律，得对应点坐标：A₁(-2,4)，B₁(-1,1)，C₁(-3,2)，描点并依次连接三点得到△A₁B₁C₁，可得C₁坐标为(-3,2)。
(2) 根据向下平移5个单位的坐标变化规律，横坐标不变，纵坐标减5，得平移后对应点坐标：A₂(2,-1)，B₂(1,-4)，C₂(3,-3)，描点并依次连接三点得到△A₂B₂C₂。
(3) 用割补法计算面积：将△ABC放入长为3、宽为2的矩形中，矩形面积为$2×3=6$；
减去周围三个直角三角形的面积：2个底为1、高为2的三角形总面积为$\dfrac{1}{2}×1×2×2=2$，1个底为1、高为3的三角形面积为$\dfrac{1}{2}×1×3=\dfrac{3}{2}$；
因此$S_{△ABC}=6-2-\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}$。
【答案】
(1)$△ A_1B_1C_1$如图,$C_1(-3,2)$;
(2)$△ A_2B_2C_2$如图;
(3)$S_{△ ABC}=\dfrac{5}{2}$。
【知识点】
轴对称作图，平移作图，割补法求面积
【点评】
本题属于平面直角坐标系与几何变换结合的基础题型，解题的核心是熟练掌握轴对称、平移变换的坐标变化规律，灵活运用割补法计算格点图形的面积。
【难度系数】
0.75
18. 如图,已知$OA⊥OB,OC⊥OD$,且$∠AOD:∠BOC=4:5$,求$∠BOC$的度数.
答案
18. 解:$\because OA⊥ OB,OC⊥ OD$,
$\therefore∠ AOB=∠ COD=90°$,
$\therefore∠ AOD+∠ BOC=360°-90°-90°=180°$,
$\because∠ AOD:∠ BOC=4:5$,
$\therefore∠ AOD=80°,∠ BOC=100°$.
$\therefore∠ AOB=∠ COD=90°$,
$\therefore∠ AOD+∠ BOC=360°-90°-90°=180°$,
$\because∠ AOD:∠ BOC=4:5$,
$\therefore∠ AOD=80°,∠ BOC=100°$.
解析
【分析】
拿到题目首先梳理已知条件：①OA⊥OB、OC⊥OD，根据垂直的定义可直接得到两个直角；②∠AOD与∠BOC的比为4:5。接下来观察图形，四个角以O为顶点共同构成周角，周角度数为360°，用周角减去两个已知直角的度数，就能得到∠AOD与∠BOC的度数和。最后根据两个角的比例关系，按比分配即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：$\because OA⊥ OB,OC⊥ OD$，
$\therefore ∠ AOB=∠ COD=90°$，
$\because$ 以O为顶点的四个角之和为周角，等于$360°$，
$\therefore ∠ AOD+∠ BOC=360°-∠ AOB-∠ COD=360°-90°-90°=180°$，
又$\because ∠ AOD:∠ BOC=4:5$，
$\therefore ∠ BOC=180°×\frac{5}{4+5}=100°$。
【答案】
$\boldsymbol{100°}$
【知识点】
垂直的定义，周角的性质，按比分配求角
【点评】
本题属于基础角度计算类题目，核心是挖掘周角为360°的隐含条件，结合垂直的性质推导出两个成比例角的和，再利用比例关系计算即可，解题时需注意理清各角之间的和差关系。
【难度系数】
0.8
拿到题目首先梳理已知条件：①OA⊥OB、OC⊥OD，根据垂直的定义可直接得到两个直角；②∠AOD与∠BOC的比为4:5。接下来观察图形，四个角以O为顶点共同构成周角，周角度数为360°，用周角减去两个已知直角的度数，就能得到∠AOD与∠BOC的度数和。最后根据两个角的比例关系，按比分配即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：$\because OA⊥ OB,OC⊥ OD$，
$\therefore ∠ AOB=∠ COD=90°$，
$\because$ 以O为顶点的四个角之和为周角，等于$360°$，
$\therefore ∠ AOD+∠ BOC=360°-∠ AOB-∠ COD=360°-90°-90°=180°$，
又$\because ∠ AOD:∠ BOC=4:5$，
$\therefore ∠ BOC=180°×\frac{5}{4+5}=100°$。
【答案】
$\boldsymbol{100°}$
【知识点】
垂直的定义，周角的性质，按比分配求角
【点评】
本题属于基础角度计算类题目，核心是挖掘周角为360°的隐含条件，结合垂直的性质推导出两个成比例角的和，再利用比例关系计算即可，解题时需注意理清各角之间的和差关系。
【难度系数】
0.8
19.现有A，B两种商品，买2件A种商品和1件B种商品用了90元，买3件A种商品和2件B种商品用了160元.
(1)求A，B两种商品每件各是多少元；
(2)如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元且不低于300元，有几种购买方案？哪种方案费用最低？
(1)求A，B两种商品每件各是多少元；
(2)如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元且不低于300元，有几种购买方案？哪种方案费用最低？
答案
19.解:(1)设A,B两种商品每件各是x,y元.
则有$\begin{cases}2x+y=90,\\3x+2y=160,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=20,\\y=50.\end{cases}$
即A,B两种商品每件各是20元,50元；
(2)设小亮购买A种商品a件，则购买B种商品(10-a)件.
则有$\begin{cases}20a+50(10-a)≥300,\\20a+50(10-a)≤350,\end{cases}$
解得$5≤ a≤\dfrac{20}{3}$,$\therefore a=5$或6.
当a=5时,10-a=5,20×5+50×5=350(元)；
当a=6时,10-a=4,20×6+50×4=320(元).
答:有两种购买方案,方案一:购A 5件,B 5件;方案二:购A 6件,B 4件.方案二费用最低.
则有$\begin{cases}2x+y=90,\\3x+2y=160,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=20,\\y=50.\end{cases}$
即A,B两种商品每件各是20元,50元；
(2)设小亮购买A种商品a件，则购买B种商品(10-a)件.
则有$\begin{cases}20a+50(10-a)≥300,\\20a+50(10-a)≤350,\end{cases}$
解得$5≤ a≤\dfrac{20}{3}$,$\therefore a=5$或6.
当a=5时,10-a=5,20×5+50×5=350(元)；
当a=6时,10-a=4,20×6+50×4=320(元).
答:有两种购买方案,方案一:购A 5件,B 5件;方案二:购A 6件,B 4件.方案二费用最低.
解析
【分析】
(1) 要求A、B两种商品的单价，可先设两个未知数，根据题目给出的两次购买的总费用条件，列出两个方程组成二元一次方程组，解方程组即可得到两种商品的单价。(2) 要确定购买方案，先设购买A商品的数量，用总件数减去A的数量表示B商品的数量，再根据总费用的范围（不低于300元、不超过350元）列出一元一次不等式组，求出A商品数量的取值范围，结合商品数量为正整数的隐藏条件，找出范围内的整数解得到对应购买方案，最后计算各方案总费用对比得出最低费用方案即可。
【解析】
(1) 设A种商品每件x元，B种商品每件y元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}2x+y=90,\\3x+2y=160,\end{cases}$
将第一个方程两边乘2得$4x+2y=180$，减去第二个方程得$x=20$，把$x=20$代入$2x+y=90$，解得$y=50$。
即A、B两种商品每件各是20元、50元。
(2) 设小亮购买A种商品a件，则购买B种商品$(10-a)$件。
根据总费用的范围可列不等式组：
$\begin{cases}20a+50(10-a)≥300,\\20a+50(10-a)≤350,\end{cases}$
解第一个不等式得$a≤\dfrac{20}{3}$，解第二个不等式得$a≥5$，即解集为$5≤ a≤\dfrac{20}{3}$。
因为a为正整数，所以$a=5$或$6$。
当$a=5$时，$10-a=5$，总费用为$20×5+50×5=350$元；
当$a=6$时，$10-a=4$，总费用为$20×6+50×4=320$元。
对比可知方案二费用更低。
【答案】
(1)A商品每件20元，B商品每件50元；
(2)有两种购买方案，方案一：购A 5件，B 5件；方案二：购A 6件，B 4件。方案二费用最低。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；方案优化问题
【点评】
本题是贴近生活的购物类应用题，将方程与不等式结合考查，解题的核心是准确提取题干中的等量关系和不等关系，注意商品数量为正整数这一隐藏条件，计算费用时要细心避免运算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 要求A、B两种商品的单价，可先设两个未知数，根据题目给出的两次购买的总费用条件，列出两个方程组成二元一次方程组，解方程组即可得到两种商品的单价。(2) 要确定购买方案，先设购买A商品的数量，用总件数减去A的数量表示B商品的数量，再根据总费用的范围（不低于300元、不超过350元）列出一元一次不等式组，求出A商品数量的取值范围，结合商品数量为正整数的隐藏条件，找出范围内的整数解得到对应购买方案，最后计算各方案总费用对比得出最低费用方案即可。
【解析】
(1) 设A种商品每件x元，B种商品每件y元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}2x+y=90,\\3x+2y=160,\end{cases}$
将第一个方程两边乘2得$4x+2y=180$，减去第二个方程得$x=20$，把$x=20$代入$2x+y=90$，解得$y=50$。
即A、B两种商品每件各是20元、50元。
(2) 设小亮购买A种商品a件，则购买B种商品$(10-a)$件。
根据总费用的范围可列不等式组：
$\begin{cases}20a+50(10-a)≥300,\\20a+50(10-a)≤350,\end{cases}$
解第一个不等式得$a≤\dfrac{20}{3}$，解第二个不等式得$a≥5$，即解集为$5≤ a≤\dfrac{20}{3}$。
因为a为正整数，所以$a=5$或$6$。
当$a=5$时，$10-a=5$，总费用为$20×5+50×5=350$元；
当$a=6$时，$10-a=4$，总费用为$20×6+50×4=320$元。
对比可知方案二费用更低。
【答案】
(1)A商品每件20元，B商品每件50元；
(2)有两种购买方案，方案一：购A 5件，B 5件；方案二：购A 6件，B 4件。方案二费用最低。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；方案优化问题
【点评】
本题是贴近生活的购物类应用题，将方程与不等式结合考查，解题的核心是准确提取题干中的等量关系和不等关系，注意商品数量为正整数这一隐藏条件，计算费用时要细心避免运算错误。
【难度系数】
0.7
