8. (2024·吉林)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-4,0),点C的坐标为(0,2),以OA,OC为邻边作长方形OABC.若将长方形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°,得到长方形OA'B'C',则点B'的坐标为 ()

A.(-4,-2)
B.(-4,2)
C.(2,4)
D.(4,2)

8. C 解析: 由题意,得$BC=OA=4,OC=2,∠ BCO=90°$.由旋转的性质,得$OC'=OC=2,B'C'=BC=4$,$∠ B'C'O=∠ BCO=90°$,所以$B'C'⊥ x$轴,即点$B'$的坐标为$(2,4).$

9. 如图，在$△ ABO$中，点A的坐标为$(-4,0)$，点B的坐标为$(0,3)$，OC为中线，以点O为圆心，线段OC的长为半径作弧，交$x$轴正半轴于点D，则点D关于$y$轴的对称点的坐标为。

9. $(-\dfrac{5}{2},0)$ 解析: 由题意,得$OA=4,OB=3$.又$∠ AOB=90°$.所以$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=5$.又OC为$△ ABO$的中线,所以$OC=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{5}{2}$,即$OD=OC=\dfrac{5}{2}$,所以$D(\dfrac{5}{2},0)$.所以点D关于y轴的对称点的坐标为$(-\dfrac{5}{2},0).$

10. 如图，将△ABC先向右平移1个单位长度，再绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A'B'C'，则点B的对应点B'的坐标是。

10. $(4,-1)$ 解析: 先将点$B(2,4)$向右平移1个单位长度得到点$(3,4)$,再绕点$P(1,1)$按顺时针方向旋转$90°$得到点$B'(4,-1).$

11. 新素养 创新意识 我们规定，在平面直角坐标系中，将一个图形先关于y轴对称，再向下平移2个单位长度，记为一次“R变换”。如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(4,5)，B(1,2)，C(6,2)。
（1）画出△ABC经过1次“R变换”后得到的△A₁B₁C₁；
（2）若△ABC经过3次“R变换”后得到的图形为△A₃B₃C₃，则顶点A₃的坐标为；
（3）若点P(a,b)在△ABC上，且点P经过n次“R变换”后的对应点为Pₙ，则点Pₙ的坐标为（n为正整数）。

11. (1) 由题意,得点$A_1$的坐标为$(-4,3)$,点$B_1$的坐标为$(-1,0)$,点$C_1$的坐标为$(-6,0)$,连接$A_1B_1$,$A_1C_1,B_1C_1$,即可得$△ A_1B_1C_1$.图略.
(2) $(-4,-1)$
(3) $((-1)^n · a,b-2n)$

12. 如图,在平面直角坐标系中,$∠ A = 90°$,$OA = 2$,$OB$平分$∠ AOx$,则点$B(a-1,a-2)$关于$x$轴的对称点坐标是（）

A.$(-2,1)$
B.$(3,-2)$
C.$(2,-1)$
D.$(3,-1)$

12. C 解析: 过点 B 作$BC⊥ x$轴于点 C,则$∠ OCB=90°$.又$∠ A=90°$,所以$∠ A=∠ OCB$.又 OB 平分$∠ AOx$,所以$∠ AOB=∠ COB$.又$OB=OB$,所以$△ AOB≌△ COB(\mathrm{AAS})$.所以$OA=OC$.又$OA=2$,所以$OC=2$.又$B(a-1,a-2)$,所以$a-1=2$,即$a=3$.所以$B(2,1)$,即点 B 关于 x 轴的对称点的坐标是$(2,-1).$

13. 如图,在平面直角坐标系中,直线 $ l $ 过点 $ M(3,0) $,且平行于 $ y $ 轴.
(1) 如果 $ △ ABC $ 三个顶点的坐标分别是 $ A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2) $,$ △ ABC $ 关于 $ y $ 轴的对称图形是 $ △ A_1B_1C_1 $,$ △ A_1B_1C_1 $ 关于直线 $ l $ 的对称图形是 $ △ A_2B_2C_2 $,写出 $ △ A_2B_2C_2 $ 三个顶点的坐标;
(2) 如果点 $ P $ 的坐标是 $ (-a,0) $,其中 $ a＞0 $,点 $ P $ 关于 $ y $ 轴的对称点是 $ P_1 $,点 $ P_1 $ 关于直线 $ l $ 的对称点是 $ P_2 $,求 $ PP_2 $ 的长.

13. (1) $△ A_2B_2C_2$三个顶点的坐标分别是$A_2(4,0)$,$B_2(5,0),C_2(5,2).$
(2) 因为点 M 的坐标是$(3,0)$,所以$OM=3$.分类讨论如下:如图①,如果$0＜a≤3$,那么点$P_1$在线段OM上.所以$PP_2=PP_1+P_1P_2=2OP_1+2P_1M=2(OP_1+P_1M)=2OM=6$;如图②,如果$a＞3$,那么点$P_1$在点 M 的右边.所以$PP_2=PP_1-P_1P_2=2OP_1-2P_1M=2(OP_1-P_1M)=2OM=6$.综上,$PP_2$的长是6.