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1. (2025·连云港期末)如图所示，钟表上显示的时间是10时10分，此时，时针和分针的夹角的度数是(
A.$100^{\circ }$
B.$105^{\circ }$
C.$115^{\circ }$
D.$120^{\circ }$
C
).A.$100^{\circ }$
B.$105^{\circ }$
C.$115^{\circ }$
D.$120^{\circ }$
答案
∵时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，
∴当钟表上10时10分时，时针从10时转过10分钟转了0.5°×10=5°，此时时针与12时的夹角为60°−5°=55°，分针从12的位置顺时针转了6°×10=60°，
∴10时10分时分针与时针的夹角的度数为55°+60°=115°。
故选C。
2. (2025·镇江丹徒区期末)如图,已知 $ O $ 为直线 $ AD $ 上一点, $ OC $ 是 $ ∠ AOB $ 内部一条射线且满足$ ∠ AOB $ 与 $ ∠ AOC $ 互补, $ OM, ON $ 分别为$ ∠ AOB, ∠ AOC $ 的角平分线.
(1) $ ∠ COD $ 与 $ ∠ AOB $ 相等吗? 请说明理由.
(2)若 $ ∠ AOB = 150° $, 试求 $ ∠ AON $ 与 $ ∠ MON $的度数.
(3)若 $ ∠ MON = 52° $, 试求 $ ∠ AOB $ 的度数.
(1) $ ∠ COD $ 与 $ ∠ AOB $ 相等吗? 请说明理由.
(2)若 $ ∠ AOB = 150° $, 试求 $ ∠ AON $ 与 $ ∠ MON $的度数.
(3)若 $ ∠ MON = 52° $, 试求 $ ∠ AOB $ 的度数.
答案
(1)$∠ COD=∠ AOB$,理由：
$\because ∠ AOB$与$∠ AOC$互补，$\therefore ∠ AOB+∠ AOC=180°$，
$\because ∠ COD+∠ AOC=180°$，$\therefore ∠ COD=∠ AOB$，同角的补角相等。
(2)$\because ∠ AOB$与$∠ AOC$互补，$∠ AOB=150°$，
$\therefore ∠ AOC=180°-150°=30°$。
$\because ON$为$∠ AOC$的角平分线，
$\therefore ∠ AON=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×30°=15°$。
$\because OM$为$∠ AOB$的角平分线，$∠ AOB=150°$，
$\therefore ∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×150°=75°$，
$\therefore ∠ MON=∠ AOM-∠ AON=75°-15°=60°$。
(3)$\because OM,ON$分别为$∠ AOB,∠ AOC$的角平分线，
$\therefore ∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOB,∠ AON=\frac{1}{2}∠ AOC$，
$\therefore ∠ MON=∠ AOM-∠ AON=\frac{1}{2}∠ AOB-\frac{1}{2}∠ AOC=52°$，
$\therefore ∠ AOB-∠ AOC=104°$，$\therefore ∠ AOC=∠ AOB-104°$。
$\because ∠ AOB+∠ AOC=180°$，
$\therefore 2∠ AOB=284°$，$\therefore ∠ AOB=142°$。
$\because ∠ AOB$与$∠ AOC$互补，$\therefore ∠ AOB+∠ AOC=180°$，
$\because ∠ COD+∠ AOC=180°$，$\therefore ∠ COD=∠ AOB$，同角的补角相等。
(2)$\because ∠ AOB$与$∠ AOC$互补，$∠ AOB=150°$，
$\therefore ∠ AOC=180°-150°=30°$。
$\because ON$为$∠ AOC$的角平分线，
$\therefore ∠ AON=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×30°=15°$。
$\because OM$为$∠ AOB$的角平分线，$∠ AOB=150°$，
$\therefore ∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×150°=75°$，
$\therefore ∠ MON=∠ AOM-∠ AON=75°-15°=60°$。
(3)$\because OM,ON$分别为$∠ AOB,∠ AOC$的角平分线，
$\therefore ∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOB,∠ AON=\frac{1}{2}∠ AOC$，
$\therefore ∠ MON=∠ AOM-∠ AON=\frac{1}{2}∠ AOB-\frac{1}{2}∠ AOC=52°$，
$\therefore ∠ AOB-∠ AOC=104°$，$\therefore ∠ AOC=∠ AOB-104°$。
$\because ∠ AOB+∠ AOC=180°$，
$\therefore 2∠ AOB=284°$，$\therefore ∠ AOB=142°$。
3. 如图,直线 AB 与 CD 相交于点 O,OC 平分$∠ AOM$,且$∠ AOM=90°$,射线 ON 在$∠ BOM$内部.
(1)求$∠ AOD$的度数;
(2)若$∠ BOC=5∠ NOB$,求$∠ MON$的度数.
(1)求$∠ AOD$的度数;
(2)若$∠ BOC=5∠ NOB$,求$∠ MON$的度数.
答案
(1)$\because OC$平分$∠ AOM$，且$∠ AOM=90°$，
$\therefore ∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOM=45°$。
$\because ∠ AOC+∠ AOD=180°$，
$\therefore ∠ AOD=180°-∠ AOC=135°$。
(2)$\because ∠ AOD=∠ BOC=135°$，对顶角相等，$∠ BOC=5∠ NOB$，
$\therefore ∠ NOB=\frac{1}{5}∠ AOD=27°$。
$\because ∠ AOM=90°$，$\therefore ∠ BOM=180°-90°=90°$，
$\therefore ∠ MON=∠ BOM-∠ NOB=63°$。
$\therefore ∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOM=45°$。
$\because ∠ AOC+∠ AOD=180°$，
$\therefore ∠ AOD=180°-∠ AOC=135°$。
(2)$\because ∠ AOD=∠ BOC=135°$，对顶角相等，$∠ BOC=5∠ NOB$，
$\therefore ∠ NOB=\frac{1}{5}∠ AOD=27°$。
$\because ∠ AOM=90°$，$\therefore ∠ BOM=180°-90°=90°$，
$\therefore ∠ MON=∠ BOM-∠ NOB=63°$。
4. 若$∠ AOC=100°$，$∠ BOC=30°$，$OM$，$ON$分别是$∠ AOC$和$∠ BOC$的平分线，求$∠ MON$的度数.(自己画图,并写出解题过程)
答案
当射线OC位于$∠ AOB$内部时，
。$\because OM,ON$分别是$∠ AOC$和$∠ BOC$的平分线，$∠ AOC=100°$，$∠ BOC=30°$，
$\therefore ∠ COM=\frac{1}{2}∠ AOC=50°$，$∠ CON=\frac{1}{2}∠ BOC=15°$，
$\therefore ∠ MON=∠ COM+∠ CON=50°+15°=65°$；
当射线OC位于$∠ AOB$外部时，如图(2)，
$∠ MON=∠ MOC-∠ NOC=50°-15°=35°$。
综上所述，$∠ MON$的度数是$65°$或$35°$。
