登录
10. (西安工大附中自主招生)李经理把他的手机充满电后,待机时间(手机在开机状态下不使用手机的时间)为35小时,如果只用于打电话,14小时就耗尽电量,如果只用于上网,10小时就耗尽电量.李经理要去外地出差,当他坐上高铁时,发现手机电量还有87%,在高铁上,他使用手机打电话和不使用手机的时长相同,上网时长是打电话时长的2倍.高铁到达目的地时,他发现手机电量还剩42%,则他坐高铁的时间为
6
小时.答案
10.6 [解析]由题意，将手机的总电量看作“1”，
∴待机耗电率为每小时$\dfrac{1}{35}$，打电话耗电率为每小时$\dfrac{1}{14}$，上网耗电率为每小时$\dfrac{1}{10}$.
设在高铁上，使用手机打电话时长为x小时，则不使用手机的时长为x小时，上网时长为2x小时，
∴$\dfrac{1}{14}x+\dfrac{1}{35}x+\dfrac{1}{10}×2x=87\%-42\%$，
∴$x=\dfrac{3}{2}$.
∴坐高铁的时间为$\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}×2=3+3=6$(小时).
∴待机耗电率为每小时$\dfrac{1}{35}$，打电话耗电率为每小时$\dfrac{1}{14}$，上网耗电率为每小时$\dfrac{1}{10}$.
设在高铁上，使用手机打电话时长为x小时，则不使用手机的时长为x小时，上网时长为2x小时，
∴$\dfrac{1}{14}x+\dfrac{1}{35}x+\dfrac{1}{10}×2x=87\%-42\%$，
∴$x=\dfrac{3}{2}$.
∴坐高铁的时间为$\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}×2=3+3=6$(小时).
解析
【分析】首先将手机总电量看作单位“1”，分别计算待机、打电话、上网每小时的耗电率；根据高铁上的使用时长关系，设打电话时长为x小时，则待机时长为x小时，上网时长为2x小时；消耗的电量为初始电量（87%）减去剩余电量（42%），即45%；根据“各部分耗电率×对应时长之和=消耗的电量”列一元一次方程，解出x后，再计算总时长（待机+打电话+上网的时长和）。
【解析】设手机总电量为单位“1”，则：
待机每小时耗电率为$\frac{1}{35}$，打电话每小时耗电率为$\frac{1}{14}$，上网每小时耗电率为$\frac{1}{10}$。
设在高铁上打电话时长为x小时，则待机时长为x小时，上网时长为2x小时。
消耗的电量为：$87\% - 42\% = 0.45$。
根据耗电总量列方程：
$\frac{1}{14}x + \frac{1}{35}x + \frac{1}{10}×2x = 0.45$
化简左边：
$\frac{5x}{70} + \frac{2x}{70} + \frac{14x}{70} = \frac{21x}{70} = \frac{3x}{10}$
解方程：$\frac{3x}{10}=0.45$，得$x=1.5=\frac{3}{2}$。
坐高铁的总时长为：$x + x + 2x = 4x = 4×1.5 = 6$（小时）。
【答案】6
【知识点】一元一次方程的应用、分数运算
【点评】本题将电量消耗问题转化为工程类问题，通过设定单位“1”建立一元一次方程求解，核心是理清各状态的耗电率与时长的对应关系，属于常规的方程应用题型，需掌握单位“1”的设定和方程列解方法。
【难度系数】0.5
【解析】设手机总电量为单位“1”，则：
待机每小时耗电率为$\frac{1}{35}$，打电话每小时耗电率为$\frac{1}{14}$，上网每小时耗电率为$\frac{1}{10}$。
设在高铁上打电话时长为x小时，则待机时长为x小时，上网时长为2x小时。
消耗的电量为：$87\% - 42\% = 0.45$。
根据耗电总量列方程：
$\frac{1}{14}x + \frac{1}{35}x + \frac{1}{10}×2x = 0.45$
化简左边：
$\frac{5x}{70} + \frac{2x}{70} + \frac{14x}{70} = \frac{21x}{70} = \frac{3x}{10}$
解方程：$\frac{3x}{10}=0.45$，得$x=1.5=\frac{3}{2}$。
坐高铁的总时长为：$x + x + 2x = 4x = 4×1.5 = 6$（小时）。
【答案】6
【知识点】一元一次方程的应用、分数运算
【点评】本题将电量消耗问题转化为工程类问题，通过设定单位“1”建立一元一次方程求解，核心是理清各状态的耗电率与时长的对应关系，属于常规的方程应用题型，需掌握单位“1”的设定和方程列解方法。
【难度系数】0.5
11. 制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，
$1\ \mathrm{m^{3}}$木材可制作20个桌面,或者制作400条桌腿,现有$12\ \mathrm{m^{3}}$木材,应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子?
[二维码]
精题详解
$1\ \mathrm{m^{3}}$木材可制作20个桌面,或者制作400条桌腿,现有$12\ \mathrm{m^{3}}$木材,应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子?
[二维码]
精题详解
答案
11. 设共做了x张桌子，则桌面需要木材为$\dfrac{1}{20}x\ \mathrm{m^3}$，桌腿需要木材为$(4×\dfrac{1}{400}x)\ \mathrm{m^3}$.
由题意，得$\dfrac{1}{20}x+4×\dfrac{1}{400}x=12$，解得x=200.
则$\dfrac{1}{20}x=\dfrac{1}{20}×200=10$，$12-10=2(\mathrm{m^3})$.
故用$10\ \mathrm{m^3}$木材制作桌面，$2\ \mathrm{m^3}$木材制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子.
一题多解 设用$x\ \mathrm{m^3}$木材制作桌面，则用$(12-x)\mathrm{m^3}$木材制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子.
由题意，得$4×20x=400(12-x)$.
解得x=10，则$12-10=2(\mathrm{m^3})$.
故用$10\ \mathrm{m^3}$木材制作桌面，$2\ \mathrm{m^3}$木材制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子.
由题意，得$\dfrac{1}{20}x+4×\dfrac{1}{400}x=12$，解得x=200.
则$\dfrac{1}{20}x=\dfrac{1}{20}×200=10$，$12-10=2(\mathrm{m^3})$.
故用$10\ \mathrm{m^3}$木材制作桌面，$2\ \mathrm{m^3}$木材制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子.
一题多解 设用$x\ \mathrm{m^3}$木材制作桌面，则用$(12-x)\mathrm{m^3}$木材制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子.
由题意，得$4×20x=400(12-x)$.
解得x=10，则$12-10=2(\mathrm{m^3})$.
故用$10\ \mathrm{m^3}$木材制作桌面，$2\ \mathrm{m^3}$木材制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子.
解析
【分析】
本题是一元一次方程的配套应用问题，解题核心是利用“制作的桌腿数量恰好是桌面数量的4倍”这一配套关系。我们可以设制作桌面的木材体积为未知数，再表示出制作桌腿的木材体积，结合两种木材分别能制作的桌面、桌腿数量，根据配套关系列方程，求解后即可得到用料方案，从而制作尽可能多的桌子。
【解析】
设用$ x\ \mathrm{m^3} $木材制作桌面，则用$ (12 - x)\ \mathrm{m^3} $木材制作桌腿。
已知$ 1\ \mathrm{m^3} $木材可制作20个桌面，因此$ x\ \mathrm{m^3} $木材能制作$ 20x $个桌面；
$ 1\ \mathrm{m^3} $木材可制作400条桌腿，因此$ (12 - x)\ \mathrm{m^3} $木材能制作$ 400(12 - x) $条桌腿。
根据“桌腿数量是桌面数量的4倍”的配套要求，列方程：
$ 4 × 20x = 400(12 - x) $
解方程：
左边化简得$ 80x $，右边展开得$ 4800 - 400x $，
移项得$ 80x + 400x = 4800 $，
合并同类项得$ 480x = 4800 $，
解得$ x = 10 $。
则制作桌腿的木材体积为$ 12 - 10 = 2\ \mathrm{m^3} $。
【答案】
用$ 10\ \mathrm{m^3} $木材制作桌面，$ 2\ \mathrm{m^3} $木材制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子。
【知识点】
一元一次方程应用、配套问题
【点评】
本题是一元一次方程应用中的典型配套问题，重点考查学生对实际问题中等量关系的分析能力，解题时需明确桌面与桌腿的数量比例关系，通过设未知数建立方程求解，难度适中，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6
本题是一元一次方程的配套应用问题，解题核心是利用“制作的桌腿数量恰好是桌面数量的4倍”这一配套关系。我们可以设制作桌面的木材体积为未知数，再表示出制作桌腿的木材体积，结合两种木材分别能制作的桌面、桌腿数量，根据配套关系列方程，求解后即可得到用料方案，从而制作尽可能多的桌子。
【解析】
设用$ x\ \mathrm{m^3} $木材制作桌面，则用$ (12 - x)\ \mathrm{m^3} $木材制作桌腿。
已知$ 1\ \mathrm{m^3} $木材可制作20个桌面，因此$ x\ \mathrm{m^3} $木材能制作$ 20x $个桌面；
$ 1\ \mathrm{m^3} $木材可制作400条桌腿，因此$ (12 - x)\ \mathrm{m^3} $木材能制作$ 400(12 - x) $条桌腿。
根据“桌腿数量是桌面数量的4倍”的配套要求，列方程：
$ 4 × 20x = 400(12 - x) $
解方程：
左边化简得$ 80x $，右边展开得$ 4800 - 400x $，
移项得$ 80x + 400x = 4800 $，
合并同类项得$ 480x = 4800 $，
解得$ x = 10 $。
则制作桌腿的木材体积为$ 12 - 10 = 2\ \mathrm{m^3} $。
【答案】
用$ 10\ \mathrm{m^3} $木材制作桌面，$ 2\ \mathrm{m^3} $木材制作桌腿，才能制作尽可能多的桌子。
【知识点】
一元一次方程应用、配套问题
【点评】
本题是一元一次方程应用中的典型配套问题，重点考查学生对实际问题中等量关系的分析能力，解题时需明确桌面与桌腿的数量比例关系，通过设未知数建立方程求解，难度适中，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6
12. (2025·湖北孝感期末)某服装公司由甲、乙两个小组共同完成一批羽绒服订单,甲组的5名工人12月份完成的总工作量比此月人均定额的5倍多40件,乙组的6名工人12月份完成的总工作量比此月人均定额的8倍少72件.
(1)如果两个小组此月一共实际完成了683件,那么此月人均定额是多少件?
(2)如果两组工人此月人均实际完成的工作量相等,那么此月人均定额是多少件?
(1)如果两个小组此月一共实际完成了683件,那么此月人均定额是多少件?
(2)如果两组工人此月人均实际完成的工作量相等,那么此月人均定额是多少件?
答案
12.(1)设此月人均定额是x件，
根据题意，得5x+40+8x−72=683，
解得x=55.
故此月人均定额是55件.
(2)设此月人均定额是y件，
根据题意，得$\dfrac{5y+40}{5}=\dfrac{8y-72}{6}$，
解得y=60，
故此月人均定额是60件.
根据题意，得5x+40+8x−72=683，
解得x=55.
故此月人均定额是55件.
(2)设此月人均定额是y件，
根据题意，得$\dfrac{5y+40}{5}=\dfrac{8y-72}{6}$，
解得y=60，
故此月人均定额是60件.
解析
【分析】
解决本题需先明确人均定额的含义，设此月人均定额为未知数。第(1)问的等量关系是：甲组总工作量 + 乙组总工作量 = 683件，结合“甲组总工作量为5倍人均定额多40件、乙组总工作量为8倍人均定额少72件”列方程；第(2)问的等量关系是：甲组人均实际工作量 = 乙组人均实际工作量，人均工作量等于总工作量除以人数，据此列方程，最后解方程得到结果。
【解析】
(1)设此月人均定额是$x$件。
根据题意，甲组总工作量为$(5x + 40)$件，乙组总工作量为$(8x - 72)$件，两组总工作量和为683件，可列方程：
$5x + 40 + 8x - 72 = 683$
合并同类项得：$13x - 32 = 683$
移项得：$13x = 715$
解得：$x = 55$
故此月人均定额是55件。
(2)设此月人均定额是$y$件。
甲组人均实际工作量为$\frac{5y + 40}{5}$件，乙组人均实际工作量为$\frac{8y - 72}{6}$件，根据两组人均工作量相等，可列方程：
$\frac{5y + 40}{5} = \frac{8y - 72}{6}$
化简得：$y + 8 = \frac{4y - 36}{3}$
两边同乘3消分母：$3y + 24 = 4y - 36$
移项得：$y = 60$
故此月人均定额是60件。
【答案】
(1)55件；(2)60件
【知识点】
一元一次方程的应用
【点评】
本题为一元一次方程的实际应用问题，通过两个不同的等量关系设置小问，考查学生分析问题、提取等量关系并列方程求解的能力，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
解决本题需先明确人均定额的含义，设此月人均定额为未知数。第(1)问的等量关系是：甲组总工作量 + 乙组总工作量 = 683件，结合“甲组总工作量为5倍人均定额多40件、乙组总工作量为8倍人均定额少72件”列方程；第(2)问的等量关系是：甲组人均实际工作量 = 乙组人均实际工作量，人均工作量等于总工作量除以人数，据此列方程，最后解方程得到结果。
【解析】
(1)设此月人均定额是$x$件。
根据题意，甲组总工作量为$(5x + 40)$件，乙组总工作量为$(8x - 72)$件，两组总工作量和为683件，可列方程：
$5x + 40 + 8x - 72 = 683$
合并同类项得：$13x - 32 = 683$
移项得：$13x = 715$
解得：$x = 55$
故此月人均定额是55件。
(2)设此月人均定额是$y$件。
甲组人均实际工作量为$\frac{5y + 40}{5}$件，乙组人均实际工作量为$\frac{8y - 72}{6}$件，根据两组人均工作量相等，可列方程：
$\frac{5y + 40}{5} = \frac{8y - 72}{6}$
化简得：$y + 8 = \frac{4y - 36}{3}$
两边同乘3消分母：$3y + 24 = 4y - 36$
移项得：$y = 60$
故此月人均定额是60件。
【答案】
(1)55件；(2)60件
【知识点】
一元一次方程的应用
【点评】
本题为一元一次方程的实际应用问题，通过两个不同的等量关系设置小问，考查学生分析问题、提取等量关系并列方程求解的能力，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
13. 传统文化 对联 （2023·北京中考）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边。一般情况下，天头长与地头长的比是$6:4$，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的$\dfrac{1}{10}$。某人要装裱一副对联，对联的长为100 cm，宽为27 cm。若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长。
精题详解
精题详解
答案
13. 设天头长为6x cm，地头长为4x cm，则左、右边的宽为x cm，
根据题意，得100+(6x+4x)=4×(27+x+x)，
解得x=4，
∴6x=6×4=24.
故边的宽为4 cm，天头长为24 cm.
归纳总结 本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握列一元一次方程解应用题的五个步骤：①审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系；②设：设未知数，根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数；③列：根据等量关系列出方程；④解：解方程，求得未知数的值；⑤答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，并完整地写出答句.
根据题意，得100+(6x+4x)=4×(27+x+x)，
解得x=4，
∴6x=6×4=24.
故边的宽为4 cm，天头长为24 cm.
归纳总结 本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握列一元一次方程解应用题的五个步骤：①审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系；②设：设未知数，根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数；③列：根据等量关系列出方程；④解：解方程，求得未知数的值；⑤答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，并完整地写出答句.
解析
【分析】
本题是结合传统文化的一元一次方程应用题，解题思路为：先根据天头长与地头长的比例设未知数，再根据边宽与天头、地头长度和的关系表示边宽，接着根据“装裱后的长是装裱后的宽的4倍”这一等量关系列出方程，最后求解得到边的宽和天头长。
【解析】
设天头长为$6x$ cm，因为天头长与地头长的比是$6:4$，所以地头长为$4x$ cm。
根据题意，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的$\dfrac{1}{10}$，则边的宽为$(6x + 4x)×\dfrac{1}{10}=x$ cm。
装裱后的长为对联的长加上天头和地头的长度，即$100 + (6x + 4x)=100 + 10x$；
装裱后的宽为对联的宽加上左右两边的宽度，即$27 + x + x=27 + 2x$。
由装裱后的长是装裱后的宽的4倍，可列方程：
$100 + 10x = 4×(27 + 2x)$
解方程：
$100 + 10x = 108 + 8x$
$10x - 8x = 108 - 100$
$2x = 8$
$x = 4$
因此，边的宽为$x = 4$ cm，天头长为$6x = 6×4 = 24$ cm。
【答案】
边的宽为4 cm，天头长为24 cm。
【知识点】
一元一次方程的应用；比例的应用
【点评】
本题以对联装裱为背景，考查一元一次方程的实际应用，关键是找准等量关系，合理设未知数，难度适中，属于基础应用题，能较好地结合传统文化知识考查数学应用能力。
【难度系数】
0.6
本题是结合传统文化的一元一次方程应用题，解题思路为：先根据天头长与地头长的比例设未知数，再根据边宽与天头、地头长度和的关系表示边宽，接着根据“装裱后的长是装裱后的宽的4倍”这一等量关系列出方程，最后求解得到边的宽和天头长。
【解析】
设天头长为$6x$ cm，因为天头长与地头长的比是$6:4$，所以地头长为$4x$ cm。
根据题意，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的$\dfrac{1}{10}$，则边的宽为$(6x + 4x)×\dfrac{1}{10}=x$ cm。
装裱后的长为对联的长加上天头和地头的长度，即$100 + (6x + 4x)=100 + 10x$；
装裱后的宽为对联的宽加上左右两边的宽度，即$27 + x + x=27 + 2x$。
由装裱后的长是装裱后的宽的4倍，可列方程：
$100 + 10x = 4×(27 + 2x)$
解方程：
$100 + 10x = 108 + 8x$
$10x - 8x = 108 - 100$
$2x = 8$
$x = 4$
因此，边的宽为$x = 4$ cm，天头长为$6x = 6×4 = 24$ cm。
【答案】
边的宽为4 cm，天头长为24 cm。
【知识点】
一元一次方程的应用；比例的应用
【点评】
本题以对联装裱为背景，考查一元一次方程的实际应用，关键是找准等量关系，合理设未知数，难度适中，属于基础应用题，能较好地结合传统文化知识考查数学应用能力。
【难度系数】
0.6
14. (2024·扬州中考)《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他. 问速度快的人追上他需要
2.5
分钟.答案
14.2.5 [解析]设速度快的人需要x分钟才能追上速度慢的人，根据题意，得100+60x=100x，
解得x=2.5.
解得x=2.5.
解析
【分析】本题是行程中的追及问题，核心等量关系为：速度快的人追上速度慢的人时，快的人走的总路程 = 慢的人先走的路程 + 慢的人在追及时间内走的路程。我们通过设追及时间为未知数，根据该等量关系列一元一次方程求解。
【解析】设速度快的人追上速度慢的人需要$x$分钟。
根据题意，快的人$x$分钟走的路程为$100x$米，慢的人先走100米，$x$分钟走的路程为$60x$米，因此可列方程：
$100x = 100 + 60x$
移项得：$100x - 60x = 100$
合并同类项得：$40x = 100$
系数化为1得：$x = 2.5$
【答案】2.5
【知识点】一元一次方程应用、追及问题
【点评】本题结合古代数学著作《九章算术》的内容，考查一元一次方程在行程追及问题中的应用，属于基础题型，关键是找准追及问题的等量关系，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】设速度快的人追上速度慢的人需要$x$分钟。
根据题意，快的人$x$分钟走的路程为$100x$米，慢的人先走100米，$x$分钟走的路程为$60x$米，因此可列方程：
$100x = 100 + 60x$
移项得：$100x - 60x = 100$
合并同类项得：$40x = 100$
系数化为1得：$x = 2.5$
【答案】2.5
【知识点】一元一次方程应用、追及问题
【点评】本题结合古代数学著作《九章算术》的内容，考查一元一次方程在行程追及问题中的应用，属于基础题型，关键是找准追及问题的等量关系，难度适中。
【难度系数】0.6
