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三、综合运用
15. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=c$，$BC=a$，$AC=b$，$∠ B=90°$.
(1)已知$a=5$，$b=13$，求$c$；
(2)已知$a=8$，$c=15$，求$b$.
15. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=c$，$BC=a$，$AC=b$，$∠ B=90°$.
(1)已知$a=5$，$b=13$，求$c$；
(2)已知$a=8$，$c=15$，求$b$.
答案
15.解:(1)
∵ ∠B=90°,a=5,b=13,
∴ 由勾股定理,得c²=b²−a²=13²−5²=169−25=144,
∴ c=12.
(2)
∵ ∠B=90°,a=8,c=15,
∴ 由勾股定理,得b²=a²+c²=8²+15²=64+225=289,
∴ b=17.
∵ ∠B=90°,a=5,b=13,
∴ 由勾股定理,得c²=b²−a²=13²−5²=169−25=144,
∴ c=12.
(2)
∵ ∠B=90°,a=8,c=15,
∴ 由勾股定理,得b²=a²+c²=8²+15²=64+225=289,
∴ b=17.
16.已知$△ ABC$的三边长分别是$a$，$b,c$,且满足$a^2 + b^2 + c^2 + 50 = 6a + 8b + 10c$,试判断$△ ABC$是否为直角三角形，并说明理由.
答案
16.解:△ABC是直角三角形.
理由如下:
∵ a²+b²+c²+50=6a+8b+10c,
∴ (a²−6a+9)+(b²−8b+16)+(c²−10c+25)=0,
即(a−3)²+(b−4)²+(c−5)²=0,
∴ a=3,b=4,c=5.
∵ a²+b²=3²+4²=5²=c²,
∴ △ABC是直角三角形.
理由如下:
∵ a²+b²+c²+50=6a+8b+10c,
∴ (a²−6a+9)+(b²−8b+16)+(c²−10c+25)=0,
即(a−3)²+(b−4)²+(c−5)²=0,
∴ a=3,b=4,c=5.
∵ a²+b²=3²+4²=5²=c²,
∴ △ABC是直角三角形.
17.如图，在$4×4$的正方形网格中，每个小格的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下面的要求画三角形.
(1)在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
(3)在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数.
(1)在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
(3)在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数.
答案
17.解:(答案不唯一)(1)如图①,△ABC即为所求.(2)如图②,△ABC即为所求.
(3)如图③,△ABC即为所求.
