10. 面积为15的正方形的边长的整数部分是$a$,面积为55的正方形的边长的整数部分是$b$,则$a + b = $。

10（这里按照题目要求应填数值，若为选择题形式，根据选项对应填写）

1. 设面积为15的正方形的边长为$x$，则$x^2=15$，所以$x=\sqrt{15}$。
因为$3^2 = 9 \lt 15 \lt 16 = 4^2$，所以$3\lt\sqrt{15}\lt4$，那么$a = 3$。
2. 设面积为55的正方形的边长为$y$，则$y^2 = 55$，所以$y=\sqrt{55}$。
因为$7^2 = 49\lt55\lt64 = 8^2$，所以$7\lt\sqrt{55}\lt8$，那么$b = 7$。
3. 计算$a + b$的值：$a + b=3 + 7 = 10$。

11. 数学课上,好学的小明向老师提出了一个问题：无限循环小数是无理数吗？
以$0.\dot{3}$为例,老师给小明做了以下解答：
(注：$0.\dot{3}即0.33333…$)
解：设$0.\dot{3} = x$,
等式两边同时乘10,得$3.\dot{3} = 10x$,
即$3 + 0.\dot{3} = 10x$,$\therefore 3 + x = 10x$,
解得$x = \frac{1}{3}$,即$0.\dot{3} = \frac{1}{3}$,
$\because$分数是有理数,$\therefore 0.\dot{3}$是有理数。
同学们,你们学会了吗？请根据老师的解答过程,解决下列问题：
(1)无限循环小数$0.\dot{2}$写成分数的形式是；
(2)请用解方程的方法将$0.\dot{2}\dot{1}$写成分数的形式。

(1)设$0.\dot{2}=x$，
等式两边同时乘$10$，得$2.\dot{2}=10x$，
即$2 + 0.\dot{2}=10x$，
也就是$2 + x = 10x$，
移项可得$9x = 2$，
解得$x=\frac{2}{9}$。
(2)设$0.\dot{2}\dot{1}=x$，
等式两边同时乘$100$，得$21.\dot{2}\dot{1}=100x$，
即$21+0.\dot{2}\dot{1}=100x$，
因为$0.\dot{2}\dot{1}=x$，所以$21 + x = 100x$，
移项可得$99x = 21$，
解得$x=\frac{21}{99}=\frac{7}{33}$。
故答案为：(1)$\frac{2}{9}$；(2)$\frac{7}{33}$。

12. 如图,把一张长方形纸片$ABCD$折叠起来,使其对角顶点$A$,$C$重合,若其长$BC$为9,宽$AB$为3。
(1)求证：$AE = AF$；
(2)通过计算,判断$EF$的长是有理数还是无理数。

(1)证明：
∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=∠D=90°，AB=CD=3，AD=BC=9。
折叠后A与C重合，由折叠性质得AE=CE，AF=CF。
设AE=x，则CE=x，ED=AD-AE=9-x。
在Rt△CDE中，CD²+ED²=CE²，即3²+(9-x)²=x²，
解得x=5，∴AE=5。
设AF=y，则CF=y，BF=BC-CF=9-y。
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，即3²+(9-y)²=y²，
解得y=5，∴AF=5。
∴AE=AF。
(2)解：
以A为原点，AB为y轴，AD为x轴建立坐标系，
则A(0,0)，B(0,3)，D(9,0)，C(9,3)。
∵AE=5，E在AD上，∴E(5,0)。
∵AF=5，F在BC上，设F(m,3)，则m²+3²=5²，解得m=4，∴F(4,3)。
EF²=(5-4)²+(0-3)²=1+9=10，∴EF=√10。
∵√10是无理数，∴EF的长是无理数。