1[2025四川成都期中,中]如图是由9个完全相同的小正方形拼接而成的3×3网格,图形ABCD中各个顶点均为格点,设∠ABC=α,∠BCD=β,∠BAD=γ,则α-β-γ的值为()

A.45°
B.60°
C.75°
D.135°

(第1题图) (第2题图)

A 【解析】如图, 根据题意知, BE = AG,∠BEC = ∠AGB = 90°, EC = GB,
∴ △BEC ≌ △AGB(SAS),
∴ ∠ECB = ∠GBA.
∵ ∠ECB + ∠EBC = 90°,
∴ ∠GBA + ∠EBC = 90°,
∴ ∠ABC = 90° = α.
∵ ∠BCD + ∠CBD = β + ∠CBD = 90°,∠CBD+∠ABD=90°,
∴ ∠ABD = β.
∵ ∠ADF = ∠ABD + ∠BAD = 45°,
∴ β+γ = 45°,
∴ α-β-γ=α-(β+γ)=90°-45°=45°,故选 A.
思路分析：根据全等三角形的判定与性质可得∠ECB=∠GBA，从而可得∠ABC = 90° = α，即可推出∠ABD = β，再根据三角形外角的性质可得 β + γ = 45°，即可求解.

2[2025河南周口质检,中]如图,点A在点O正北方向,点B在点O正东方向,且点A,B到点O的距离相等,甲从点A出发,以每小时50千米的速度朝正东方向行驶,乙从点B出发,以每小时30千米的速度朝正北方向行驶,1小时后,甲位于点C处,乙位于点D处,∠COD=45°,此时甲、乙两人相距 ()

A.60千米
B.70千米
C.80千米
D.90千米

C 【解析】如图,延长 CA 至 B',使 AB' = DB,连接 B' O. 在 △DBO 和 △B'AO 中，$\begin{cases} DB=B'A, \\ ∠DBO=∠B'AO=90°, \\ BO=AO, \end{cases}$
∴ △DBO ≌ △B'AO(SAS),
∴ ∠AOB' = ∠BOD,OB'=OD.
∵ ∠COD=45°,∠AOB=90°,
∴ ∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠AOB'=45°,
∴ ∠B'OC = ∠DOC = 45°. 在△B'OC 和 △DOC 中，$\begin{cases} OB'=OD, \\ ∠B'OC=∠DOC, \\ OC=OC, \end{cases}$
∴ △B'OC≌△DOC(SAS),
∴ CD = CB' = AC + AB' = AC+BD = 50+30 = 80(千米),
∴ 甲、乙两人相距 80 千米. 故选 C.

3[2026四川达州期中,中]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$BD$是$△ ABC$的高,$E$是$△ ABC$外一点,$BE=BA$,$∠ E=∠ C$,若$DE=\dfrac{2}{5}BD$,$AD=16$,$BD=20$,求$△ BDE$的面积.小颖思考后认为可以这样添加辅助线:在$BD$上截取$BF=DE$,连接$AF$.根据小颖的思路可得$△ BDE$的面积为.

64 【解析】
∵ BD 是△ABC 的高,
∴ BD⊥AC,
∴ ∠BAD + ∠ABD = 90°.
∵ ∠ABC = 90°,
∴ ∠BAD+∠C=90°,
∴ ∠ABD = ∠C.
∵ ∠E=∠C,
∴ ∠ABD = ∠E. 在△ABF 和△BED 中，$\begin{cases} BA=EB, \\ ∠ABF=∠E, \\ BF=ED, \end{cases}$
∴ △ABF ≌ △BED (SAS),
∴ $S_{△ABF}=S_{△BED}$.
∵ $DE=\frac{2}{5}BD$, BD = 20, BF = DE,
∴ $BF=DE=\frac{2}{5}BD=\frac{2}{5}×20=8$,
∴ $S_{△ABF}=\frac{1}{2}BF·AD=\frac{1}{2}×8×16=64$,
∴ $S_{△BED}=S_{△ABF}=64$. 故答案为 64.

4[中]已知一个三角形的两条边长分别是1 cm和2 cm，一个内角为$40°$。
(1)请你借助如图所示图形画出一个满足题中条件的三角形。
(2)你是否还能画出既满足题中条件，又与(1)中所画三角形不全等的三角形？若能，请你用尺规画出一个这样的三角形；若不能，请说明理由。(友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度。不要求写作法，保留作图痕迹)
(3)如果将题中条件改为“三角形的两条边长分别是3 cm和4 cm，一个内角为$40°$”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有个。

(1)在40°角的两边上分别以顶点为端点截取1 cm和2 cm长的线段,连接得到的两个线段端点即可得到符合条件的三角形,如图所示.(作法不唯一)
(2)能. 如图所示的三角形即为所求.(作法不唯一,与(1)中图形不全等即可)
(3)当40°角是边长为3 cm 与4 cm 两边的夹角时,△ABC 如图所示;当40°角是3 cm 边的对角时,△A₁B₁C₁ 及△A₁B₂C₁ 如图所示;当40°角是4 cm 边的对角时,△DEF 如图所示. 综上,共有4个这样的三角形满足条件. 故答案为4.

5 核心素养推理能力[2026上海崇明区期中,较难]
如图(1),AB=7 cm,AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B,AC=5 cm.点P在线段AB上以2 cm/s的速度由点A向点B运动,同时点Q在射线BD上运动.它们运动的时间为t s,当点P运动结束时,点Q运动随之结束.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,请分别说明理由;
(2)如图(2),若“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”,点Q的运动速度为x cm/s,其他条件不变,当点P,Q运动到某处时,有△ACP与△BPQ全等,求出相应的x,t的值.

【解】(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ. 理由如下:
∵ AC⊥AB,BD⊥AB,
∴ ∠A = ∠B = 90°.
∵ 点 Q 与点 P 的运动速度相等,
∴ 当 t = 1 时,AP = BQ = 2 cm.
∵ AB = 7 cm,
∴ BP = 5 cm,
∴ BP = AC. 在△ACP 和△BPQ 中，$\begin{cases} AP=BQ, \\ ∠A=∠B, \\ AC=BP, \end{cases}$
∴ △ACP≌△BPQ(SAS),
∴ ∠C = ∠BPQ.
∵ ∠C+∠APC = 90°,
∴ ∠APC+∠BPQ = 90°,
∴ ∠CPQ=90°,
∴ PC ⊥ PQ.
(2)分两种情况讨论:①若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ,可得 5 = 7-2t,2t = xt,解得 t = 1,x = 2;
②若△ACP≌△BQP,则 AC = BQ,AP = BP,可得 5 = xt,2t = 7-2t,解得 $t=\frac{7}{4},x=\frac{20}{7}$.
综上所述,当 t = 1, x = 2 或 $t=\frac{7}{4},x=\frac{20}{7}$ 时,△ACP 与△BPQ 全等.