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4.(2024·长春中考)区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度.小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20 km的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶$\frac{1}{12}$ h，再立即减速，以另一速度匀速行驶(减速时间忽略不计)，当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100 km/h.汽车在区间测速路段行驶的路程 y(km)与在此路段行驶的时间 x(h)之间的函数图象如图所示.
(1)a的值为
(2)当$\frac{1}{12}≤x≤a$时，求y与x之间的关系式；
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速.(此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120 km/h)
(1)a的值为
$\frac{1}{5}$
；(2)当$\frac{1}{12}≤x≤a$时，求y与x之间的关系式；
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速.(此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120 km/h)
答案
(1)$\dfrac{1}{5}$
(2)设当$\dfrac{1}{12}≤x≤\dfrac{1}{5}$时,y 与 x 之间的函数关系式为 $y=kx+b(k≠0)$. 把$(\dfrac{1}{6},17),(\dfrac{1}{5},20)$代入,得$\begin{cases} \dfrac{1}{6}k+b=17,\\\dfrac{1}{5}k+b=20, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=90,\\b=2. \end{cases}$所以 $y=90x+2(\dfrac{1}{12}≤x≤\dfrac{1}{5})$.
(3)当 $x=\dfrac{1}{12}$ 时,$y=90×\dfrac{1}{12}+2=9.5$. 所以前 $\dfrac{1}{12}$ h 的速度为 $9.5÷\dfrac{1}{12}=114$(km/h). 因为 114＜120,所以这辆汽车减速前没有超速.
(2)设当$\dfrac{1}{12}≤x≤\dfrac{1}{5}$时,y 与 x 之间的函数关系式为 $y=kx+b(k≠0)$. 把$(\dfrac{1}{6},17),(\dfrac{1}{5},20)$代入,得$\begin{cases} \dfrac{1}{6}k+b=17,\\\dfrac{1}{5}k+b=20, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=90,\\b=2. \end{cases}$所以 $y=90x+2(\dfrac{1}{12}≤x≤\dfrac{1}{5})$.
(3)当 $x=\dfrac{1}{12}$ 时,$y=90×\dfrac{1}{12}+2=9.5$. 所以前 $\dfrac{1}{12}$ h 的速度为 $9.5÷\dfrac{1}{12}=114$(km/h). 因为 114＜120,所以这辆汽车减速前没有超速.
解析
【分析】
(1) 已知区间测速路段总路程为20km，全程平均速度为100km/h，根据行程公式“时间=路程÷速度”，即可直接求出全程行驶总时间a的值。
(2) 当$\frac{1}{12}≤x≤a$时，y与x的函数关系为一次函数，已知图象过$(\frac{1}{6},17)$和$(a,20)$两个点，使用待定系数法，将两点坐标代入一次函数一般式$y=kx+b(k≠0)$，解方程组求出k、b的值，即可得到对应函数关系式，注意标注自变量的取值范围。
(3) 要判断减速前是否超速，需先求出减速前的行驶速度：将$x=\frac{1}{12}$代入第二问求出的函数关系式，得到前$\frac{1}{12}$h行驶的路程，再根据“速度=路程÷时间”计算减速前的速度，和限速120km/h比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 全程总路程为20km，平均速度为100km/h，因此总时间$a=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$。
(2) 设当$\frac{1}{12}≤x≤\frac{1}{5}$时，y与x之间的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$。
将$(\frac{1}{6},17)$、$(\frac{1}{5},20)$代入解析式，得：
$\begin{cases} \dfrac{1}{6}k+b=17\\\dfrac{1}{5}k+b=20 \end{cases}$
两式相减得$\frac{1}{30}k=3$，解得$k=90$；将$k=90$代入$\frac{1}{6}k+b=17$，得$15+b=17$，解得$b=2$。
因此函数关系式为$y=90x+2(\frac{1}{12}≤x≤\frac{1}{5})$。
(3) 当$x=\frac{1}{12}$时，代入$y=90x+2$，得$y=90×\frac{1}{12}+2=9.5$。
减速前$\frac{1}{12}$h行驶的路程为9.5km，因此减速前的速度为$9.5÷\frac{1}{12}=114$（km/h）。
因为$114＜120$，所以该辆汽车减速前没有超速。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{5}$
(2)$y=90x+2(\dfrac{1}{12}≤x≤\dfrac{1}{5})$
(3)这辆汽车减速前没有超速
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，行程问题计算
【点评】
本题结合生活中常见的区间测速场景考查一次函数的实际应用，要求学生能从函数图象中提取有效信息，结合行程基本公式求解，既考察了数学知识的掌握程度，也体现了数学与生活的紧密联系，解题时要注意计算准确性，不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
(1) 已知区间测速路段总路程为20km，全程平均速度为100km/h，根据行程公式“时间=路程÷速度”，即可直接求出全程行驶总时间a的值。
(2) 当$\frac{1}{12}≤x≤a$时，y与x的函数关系为一次函数，已知图象过$(\frac{1}{6},17)$和$(a,20)$两个点，使用待定系数法，将两点坐标代入一次函数一般式$y=kx+b(k≠0)$，解方程组求出k、b的值，即可得到对应函数关系式，注意标注自变量的取值范围。
(3) 要判断减速前是否超速，需先求出减速前的行驶速度：将$x=\frac{1}{12}$代入第二问求出的函数关系式，得到前$\frac{1}{12}$h行驶的路程，再根据“速度=路程÷时间”计算减速前的速度，和限速120km/h比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 全程总路程为20km，平均速度为100km/h，因此总时间$a=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$。
(2) 设当$\frac{1}{12}≤x≤\frac{1}{5}$时，y与x之间的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$。
将$(\frac{1}{6},17)$、$(\frac{1}{5},20)$代入解析式，得：
$\begin{cases} \dfrac{1}{6}k+b=17\\\dfrac{1}{5}k+b=20 \end{cases}$
两式相减得$\frac{1}{30}k=3$，解得$k=90$；将$k=90$代入$\frac{1}{6}k+b=17$，得$15+b=17$，解得$b=2$。
因此函数关系式为$y=90x+2(\frac{1}{12}≤x≤\frac{1}{5})$。
(3) 当$x=\frac{1}{12}$时，代入$y=90x+2$，得$y=90×\frac{1}{12}+2=9.5$。
减速前$\frac{1}{12}$h行驶的路程为9.5km，因此减速前的速度为$9.5÷\frac{1}{12}=114$（km/h）。
因为$114＜120$，所以该辆汽车减速前没有超速。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{5}$
(2)$y=90x+2(\dfrac{1}{12}≤x≤\dfrac{1}{5})$
(3)这辆汽车减速前没有超速
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，行程问题计算
【点评】
本题结合生活中常见的区间测速场景考查一次函数的实际应用，要求学生能从函数图象中提取有效信息，结合行程基本公式求解，既考察了数学知识的掌握程度，也体现了数学与生活的紧密联系，解题时要注意计算准确性，不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
5.(2024－2025·天长期末改编)由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完.小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天(x取整数)时，日销售量y(kg)与x之间的函数关系式为$y=\begin{cases}12x(0≤ x≤10),\\-20x+320(10＜ x≤16),\end{cases}$草莓的价格m(元/kg)与x之间的函数关系如图所示.
(1)第14天小颖家草莓的日销售量为
(2)当4≤x≤12时，求草莓的价格m与x之间的函数关系式；
(3)试比较第8天与第10天的销售金额哪天多.
(1)第14天小颖家草莓的日销售量为
40
kg；(2)当4≤x≤12时，求草莓的价格m与x之间的函数关系式；
(3)试比较第8天与第10天的销售金额哪天多.
答案
(1)40
(2)当 4≤x≤12 时,设草莓的价格 m 与 x 之间的函数关系式为 $m=kx+b$. 把(4,24),(12,16)代入,得$\begin{cases} 4k+b=24,\\12k+b=16, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-1,\\b=28. \end{cases}$所以 m 与 x 之间的函数关系式为 $m=-x+28$.
(3)当 0≤x≤10 时,$y=12x$,所以当 $x=8$ 时,$y=12×8=96$;当 $x=10$ 时,$y=12×10=120$;当 4≤x≤12 时,$m=-x+28$. 所以当 $x=8$ 时,$m=-8+28=20$;当 $x=10$ 时,$m=-10+28=18$. 所以第 8 天的销售金额为 96×20=1920(元);第 10 天的销售金额为 120×18=2160(元). 因为 2160＞1920,所以第 10 天的销售金额多.
(2)当 4≤x≤12 时,设草莓的价格 m 与 x 之间的函数关系式为 $m=kx+b$. 把(4,24),(12,16)代入,得$\begin{cases} 4k+b=24,\\12k+b=16, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-1,\\b=28. \end{cases}$所以 m 与 x 之间的函数关系式为 $m=-x+28$.
(3)当 0≤x≤10 时,$y=12x$,所以当 $x=8$ 时,$y=12×8=96$;当 $x=10$ 时,$y=12×10=120$;当 4≤x≤12 时,$m=-x+28$. 所以当 $x=8$ 时,$m=-8+28=20$;当 $x=10$ 时,$m=-10+28=18$. 所以第 8 天的销售金额为 96×20=1920(元);第 10 天的销售金额为 120×18=2160(元). 因为 2160＞1920,所以第 10 天的销售金额多.
解析
【分析】
(1) 求第14天的日销售量，先判断x=14所属的y的取值区间，代入对应函数解析式计算即可。
(2) 当4≤x≤12时，m与x的函数图像为直线，属于一次函数，可用待定系数法，代入图像给出的两个已知点(4,24)和(12,16)，解二元一次方程组求出系数k、b，即可得到函数关系式。
(3) 销售金额=日销售量×草莓单价，分别找到x=8和x=10对应的y、m的解析式，代入计算出两天的销售金额，再比较大小即可。
【解析】
(1)
∵10＜14≤16，
∴将x=14代入$y=-20x+320$，得$y=-20×14+320=40(\mathrm{kg})$。
(2) 当4≤x≤12时，设草莓的价格m与x之间的函数关系式为$m=kx+b(k≠0)$。
将点$(4,24)$、$(12,16)$代入解析式，得：
$\begin{cases} 4k+b=24 \\ 12k+b=16 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$8k=-8$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$4k+b=24$，得$-4+b=24$，解得$b=28$，
∴m与x之间的函数关系式为$m=-x+28(4≤x≤12)$。
(3) 销售金额=日销售量y×单价m。
①计算第8天的销售金额：
当x=8时，0≤8≤10，代入$y=12x$，得$y=12×8=96(\mathrm{kg})$；
4≤8≤12，代入$m=-x+28$，得$m=-8+28=20(\mathrm{元/kg})$；
∴第8天销售金额为$96×20=1920(\mathrm{元})$。
②计算第10天的销售金额：
当x=10时，0≤10≤10，代入$y=12x$，得$y=12×10=120(\mathrm{kg})$；
4≤10≤12，代入$m=-x+28$，得$m=-10+28=18(\mathrm{元/kg})$；
∴第10天销售金额为$120×18=2160(\mathrm{元})$。
∵2160＞1920，
∴第10天的销售金额更多。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$
(2) $\boldsymbol{m=-x+28(4≤x≤12)}$
(3) $\boldsymbol{第10天的销售金额多}$
【知识点】
一次函数应用，待定系数法，分段函数求值
【点评】
本题结合实际销售情境考查一次函数的相关知识，需要准确识别自变量的取值范围，选择对应的函数解析式计算，既考查了从函数图像提取信息的能力，也考查了代入求值的计算能力，是一次函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求第14天的日销售量，先判断x=14所属的y的取值区间，代入对应函数解析式计算即可。
(2) 当4≤x≤12时，m与x的函数图像为直线，属于一次函数，可用待定系数法，代入图像给出的两个已知点(4,24)和(12,16)，解二元一次方程组求出系数k、b，即可得到函数关系式。
(3) 销售金额=日销售量×草莓单价，分别找到x=8和x=10对应的y、m的解析式，代入计算出两天的销售金额，再比较大小即可。
【解析】
(1)
∵10＜14≤16，
∴将x=14代入$y=-20x+320$，得$y=-20×14+320=40(\mathrm{kg})$。
(2) 当4≤x≤12时，设草莓的价格m与x之间的函数关系式为$m=kx+b(k≠0)$。
将点$(4,24)$、$(12,16)$代入解析式，得：
$\begin{cases} 4k+b=24 \\ 12k+b=16 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$8k=-8$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$4k+b=24$，得$-4+b=24$，解得$b=28$，
∴m与x之间的函数关系式为$m=-x+28(4≤x≤12)$。
(3) 销售金额=日销售量y×单价m。
①计算第8天的销售金额：
当x=8时，0≤8≤10，代入$y=12x$，得$y=12×8=96(\mathrm{kg})$；
4≤8≤12，代入$m=-x+28$，得$m=-8+28=20(\mathrm{元/kg})$；
∴第8天销售金额为$96×20=1920(\mathrm{元})$。
②计算第10天的销售金额：
当x=10时，0≤10≤10，代入$y=12x$，得$y=12×10=120(\mathrm{kg})$；
4≤10≤12，代入$m=-x+28$，得$m=-10+28=18(\mathrm{元/kg})$；
∴第10天销售金额为$120×18=2160(\mathrm{元})$。
∵2160＞1920，
∴第10天的销售金额更多。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$
(2) $\boldsymbol{m=-x+28(4≤x≤12)}$
(3) $\boldsymbol{第10天的销售金额多}$
【知识点】
一次函数应用，待定系数法，分段函数求值
【点评】
本题结合实际销售情境考查一次函数的相关知识，需要准确识别自变量的取值范围，选择对应的函数解析式计算，既考查了从函数图像提取信息的能力，也考查了代入求值的计算能力，是一次函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
