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11.若关于$x$的函数$y=kx^{-2k+3}-x+5(x≠0)$是一次函数，则$k$的值是
0或$\frac{3}{2}$
。答案
11.0或$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
首先明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数叫做一次函数，要求自变量的最高次数为1，且一次项系数不为0。本题中的函数包含$kx^{-2k+3}$和$-x$两个含$x$的项，因此需要分情况讨论所有符合一次函数要求的情形：
1. 若$kx^{-2k+3}$的系数为0，该项直接消失，剩余部分为一次函数；
2. 若$kx^{-2k+3}$是常数项（即$x$的指数为0），该项仅为常数，剩余含$x$的项只有$-x$，整体仍为一次函数；
3. 若$kx^{-2k+3}$是一次项（即$x$的指数为1），需要合并同类项后验证一次项系数是否不为0，不符合则舍去。
按照上述思路分别计算即可得到$k$的取值。
【解析】
解：根据一次函数的定义分情况讨论：
1. 当$k=0$时，函数化简为：
$y=0· x^{-2×0+3}-x+5=-x+5$，符合一次函数定义，故$k=0$成立；
2. 当$x$的指数$-2k+3=0$时，解得$k=\frac{3}{2}$，代入函数得：
$y=\frac{3}{2}x^0 -x +5=-x+\frac{13}{2}$，符合一次函数定义，故$k=\frac{3}{2}$成立；
3. 当$x$的指数$-2k+3=1$时，解得$k=1$，代入函数得：
$y=1· x^1 -x +5=5$，是常数函数，不符合一次函数定义，故舍去该情况。
综上，$k$的取值为$0$或$\frac{3}{2}$。
【答案】
$0$或$\frac{3}{2}$
【知识点】
一次函数的定义
分类讨论思想
指数运算性质
【点评】
本题属于易错题，解题时容易遗漏$k=0$或者指数为0的情况，也容易忽略验证指数为1时所得$k$值是否符合要求，解题时要全面梳理所有可能的情形，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
首先明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数叫做一次函数，要求自变量的最高次数为1，且一次项系数不为0。本题中的函数包含$kx^{-2k+3}$和$-x$两个含$x$的项，因此需要分情况讨论所有符合一次函数要求的情形：
1. 若$kx^{-2k+3}$的系数为0，该项直接消失，剩余部分为一次函数；
2. 若$kx^{-2k+3}$是常数项（即$x$的指数为0），该项仅为常数，剩余含$x$的项只有$-x$，整体仍为一次函数；
3. 若$kx^{-2k+3}$是一次项（即$x$的指数为1），需要合并同类项后验证一次项系数是否不为0，不符合则舍去。
按照上述思路分别计算即可得到$k$的取值。
【解析】
解：根据一次函数的定义分情况讨论：
1. 当$k=0$时，函数化简为：
$y=0· x^{-2×0+3}-x+5=-x+5$，符合一次函数定义，故$k=0$成立；
2. 当$x$的指数$-2k+3=0$时，解得$k=\frac{3}{2}$，代入函数得：
$y=\frac{3}{2}x^0 -x +5=-x+\frac{13}{2}$，符合一次函数定义，故$k=\frac{3}{2}$成立；
3. 当$x$的指数$-2k+3=1$时，解得$k=1$，代入函数得：
$y=1· x^1 -x +5=5$，是常数函数，不符合一次函数定义，故舍去该情况。
综上，$k$的取值为$0$或$\frac{3}{2}$。
【答案】
$0$或$\frac{3}{2}$
【知识点】
一次函数的定义
分类讨论思想
指数运算性质
【点评】
本题属于易错题，解题时容易遗漏$k=0$或者指数为0的情况，也容易忽略验证指数为1时所得$k$值是否符合要求，解题时要全面梳理所有可能的情形，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
12.(教材P37练习T3变式)已知直线$y=k_1x,y=k_2x,y=k_3x$的图象如图所示,则$k_1,k_2,k_3$的大小关系为（
A.$k_1＞k_2＞k_3$
B.$k_1＞k_3＞k_2$
C.$k_3＞k_2＞k_1$
D.$k_2＞k_1＞k_3$
A
）A.$k_1＞k_2＞k_3$
B.$k_1＞k_3＞k_2$
C.$k_3＞k_2＞k_1$
D.$k_2＞k_1＞k_3$
答案
12.A
解析
【分析】
要判断三个正比例函数比例系数$k_1$、$k_2$、$k_3$的大小，需结合正比例函数的图象性质分析：首先根据直线经过的象限判断k的正负，正数大于负数，可确定最大的k值；再根据直线的陡峭程度判断负数k的绝对值大小，结合负数比较大小的规则“绝对值大的反而小”，即可得到剩余两个k的大小关系，最终得出三者的大小顺序。
【解析】
根据正比例函数$y=kx$的图象性质：
1. 当$k＞0$时，函数图象经过第一、三象限；当$k＜0$时，函数图象经过第二、四象限。
观察图象可知：$y=k_1x$经过第一、三象限，因此$k_1＞0$；$y=k_2x$、$y=k_3x$经过第二、四象限，因此$k_2＜0$，$k_3＜0$，由此可得$k_1$是三个数中最大的。
2. 对于比例系数为负数的正比例函数，直线越陡，$|k|$越大；负数比较大小时，绝对值越大的数越小。
观察图象可知，$y=k_3x$比$y=k_2x$更陡，因此$|k_3|＞|k_2|$，可得$k_2＞k_3$。
综上，三者大小关系为$k_1＞k_2＞k_3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 正比例函数的图象与性质
2. 有理数大小比较
【点评】
本题属于基础题，核心考查正比例函数的比例系数k与图象特征的对应关系，解题的关键是熟记k的正负决定图象经过的象限，k的绝对值决定直线的倾斜程度，熟练掌握该性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断三个正比例函数比例系数$k_1$、$k_2$、$k_3$的大小，需结合正比例函数的图象性质分析：首先根据直线经过的象限判断k的正负，正数大于负数，可确定最大的k值；再根据直线的陡峭程度判断负数k的绝对值大小，结合负数比较大小的规则“绝对值大的反而小”，即可得到剩余两个k的大小关系，最终得出三者的大小顺序。
【解析】
根据正比例函数$y=kx$的图象性质：
1. 当$k＞0$时，函数图象经过第一、三象限；当$k＜0$时，函数图象经过第二、四象限。
观察图象可知：$y=k_1x$经过第一、三象限，因此$k_1＞0$；$y=k_2x$、$y=k_3x$经过第二、四象限，因此$k_2＜0$，$k_3＜0$，由此可得$k_1$是三个数中最大的。
2. 对于比例系数为负数的正比例函数，直线越陡，$|k|$越大；负数比较大小时，绝对值越大的数越小。
观察图象可知，$y=k_3x$比$y=k_2x$更陡，因此$|k_3|＞|k_2|$，可得$k_2＞k_3$。
综上，三者大小关系为$k_1＞k_2＞k_3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 正比例函数的图象与性质
2. 有理数大小比较
【点评】
本题属于基础题，核心考查正比例函数的比例系数k与图象特征的对应关系，解题的关键是熟记k的正负决定图象经过的象限，k的绝对值决定直线的倾斜程度，熟练掌握该性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
13.如果一个正比例函数$y=kx$的图象经过不同象限的两点$(m,1),(2,n)$,那么一定有（
A.$m＞0,n＞0$
B.$m＜0,n＜0$
C.$m＞0,n＜0$
D.$m＜0,n＞0$
B
）A.$m＞0,n＞0$
B.$m＜0,n＜0$
C.$m＞0,n＜0$
D.$m＜0,n＞0$
答案
13.B
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆正比例函数的图象性质：正比例函数$y=kx$的图象是过原点的直线，$k＞0$时过一、三象限，图象上点的横纵坐标同号；$k＜0$时过二、四象限，图象上点的横纵坐标异号。题目明确两点在不同象限，因此先排除$k＞0$的情况，再根据$k＜0$的符号规律，分别判断$m$、$n$的正负即可。
【解析】
解：已知正比例函数$y=kx$的图象经过不同象限的两点$(m,1)$、$(2,n)$。
1. 判断$k$的符号：
假设$k＞0$，此时函数图象过第一、三象限，图象上所有点的横、纵坐标同号。
对点$(m,1)$，纵坐标$1＞0$，因此横坐标$m＞0$，该点在第一象限；
对点$(2,n)$，横坐标$2＞0$，因此纵坐标$n＞0$，该点也在第一象限，与“两点在不同象限”矛盾，故$k＞0$不成立，得$k＜0$。
2. 判断$m$、$n$的符号：
当$k＜0$时，函数图象过第二、四象限，图象上所有点的横、纵坐标异号。
对点$(m,1)$，纵坐标$1＞0$，因此横坐标$m＜0$（横纵坐标异号）；
对点$(2,n)$，横坐标$2＞0$，因此纵坐标$n＜0$（横纵坐标异号）。
综上，$m＜0$，$n＜0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象与性质；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数性质的基础应用题型，解题核心是先根据两点的位置特征确定比例系数k的正负，再结合函数性质推导坐标的符号，熟练掌握正比例函数的图象规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先回忆正比例函数的图象性质：正比例函数$y=kx$的图象是过原点的直线，$k＞0$时过一、三象限，图象上点的横纵坐标同号；$k＜0$时过二、四象限，图象上点的横纵坐标异号。题目明确两点在不同象限，因此先排除$k＞0$的情况，再根据$k＜0$的符号规律，分别判断$m$、$n$的正负即可。
【解析】
解：已知正比例函数$y=kx$的图象经过不同象限的两点$(m,1)$、$(2,n)$。
1. 判断$k$的符号：
假设$k＞0$，此时函数图象过第一、三象限，图象上所有点的横、纵坐标同号。
对点$(m,1)$，纵坐标$1＞0$，因此横坐标$m＞0$，该点在第一象限；
对点$(2,n)$，横坐标$2＞0$，因此纵坐标$n＞0$，该点也在第一象限，与“两点在不同象限”矛盾，故$k＞0$不成立，得$k＜0$。
2. 判断$m$、$n$的符号：
当$k＜0$时，函数图象过第二、四象限，图象上所有点的横、纵坐标异号。
对点$(m,1)$，纵坐标$1＞0$，因此横坐标$m＜0$（横纵坐标异号）；
对点$(2,n)$，横坐标$2＞0$，因此纵坐标$n＜0$（横纵坐标异号）。
综上，$m＜0$，$n＜0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图象与性质；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数性质的基础应用题型，解题核心是先根据两点的位置特征确定比例系数k的正负，再结合函数性质推导坐标的符号，熟练掌握正比例函数的图象规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
14. 新定义 新趋势 定义运算 *：$a * b = \begin{cases}ab(b＞0), \\ -ab(b≤0).\end{cases}$ 如：$1 * (-2) = -1×(-2)=2$，则函数 $y=2*x$ 的大致图象是 ( )
答案
14.C
解析
【分析】
解这道题首先要理解新定义的运算规则，我们需要把函数$y=2*x$按照$x$的正负分类转化为熟悉的函数形式，再结合正比例函数的图象特征判断对应图象。第一步：确定新运算中$a=2$，$b=x$，按照规则中$b$的取值（也就是$x$的取值）分$x＞0$和$x≤0$两种情况讨论；第二步：分别写出两种情况下的函数解析式；第三步：结合正比例函数的性质和自变量的取值范围，判断每段函数的图象位置，最终匹配正确选项。
【解析】
根据题意，新运算*的规则为$a * b = \begin{cases}ab(b＞0), \\ -ab(b≤0).\end{cases}$，对于函数$y=2*x$，其中$a=2$，$b=x$：
1. 当$x＞0$时，满足$b＞0$，则$y=2× x=2x$，这是正比例函数，比例系数$2＞0$，且自变量$x＞0$，因此图象是过原点、位于第一象限的射线；
2. 当$x≤0$时，满足$b≤0$，则$y=-2× x=-2x$，比例系数$-2＜0$，自变量$x≤0$，因此对应的函数值$y≥0$，图象是过原点、位于第二象限的射线。
两段图象组合后为顶点在原点、开口向上的V字形，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，分段函数图象，正比例函数图象性质
【点评】
本题将新定义运算与正比例函数的图象知识结合，解题的核心是正确根据新定义将函数转化为分段函数，同时要注意自变量的取值范围，避免忽略范围选错图象。
【难度系数】
0.7
解这道题首先要理解新定义的运算规则，我们需要把函数$y=2*x$按照$x$的正负分类转化为熟悉的函数形式，再结合正比例函数的图象特征判断对应图象。第一步：确定新运算中$a=2$，$b=x$，按照规则中$b$的取值（也就是$x$的取值）分$x＞0$和$x≤0$两种情况讨论；第二步：分别写出两种情况下的函数解析式；第三步：结合正比例函数的性质和自变量的取值范围，判断每段函数的图象位置，最终匹配正确选项。
【解析】
根据题意，新运算*的规则为$a * b = \begin{cases}ab(b＞0), \\ -ab(b≤0).\end{cases}$，对于函数$y=2*x$，其中$a=2$，$b=x$：
1. 当$x＞0$时，满足$b＞0$，则$y=2× x=2x$，这是正比例函数，比例系数$2＞0$，且自变量$x＞0$，因此图象是过原点、位于第一象限的射线；
2. 当$x≤0$时，满足$b≤0$，则$y=-2× x=-2x$，比例系数$-2＜0$，自变量$x≤0$，因此对应的函数值$y≥0$，图象是过原点、位于第二象限的射线。
两段图象组合后为顶点在原点、开口向上的V字形，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，分段函数图象，正比例函数图象性质
【点评】
本题将新定义运算与正比例函数的图象知识结合，解题的核心是正确根据新定义将函数转化为分段函数，同时要注意自变量的取值范围，避免忽略范围选错图象。
【难度系数】
0.7
15. 一题多问 思维递进 已知$y$关于$x$的函数$y=(2m+6)x + m -3$，且该函数是正比例函数.
(1)求$m$的值；
(2)若点$(-2,n)$在该函数图象上，则$n$的值为
(3)若点$(a,y_1),(a+1,y_2)$在该函数的图象上，请直接写出$y_1,y_2$的大小关系；
(4)当$-12＜y≤5$时，求$x$的取值范围.
思维拓展 强化素养
(1)求$m$的值；
(2)若点$(-2,n)$在该函数图象上，则$n$的值为
-24
；(3)若点$(a,y_1),(a+1,y_2)$在该函数的图象上，请直接写出$y_1,y_2$的大小关系；
(4)当$-12＜y≤5$时，求$x$的取值范围.
思维拓展 强化素养
答案
15.解:(1)因为函数$y=(2m+6)x+m-3$是正比例函数,所以$\begin{cases}2m+6≠0,\\m-3=0,\end{cases}$解得$m=3$.(2)$-24$ (3)$y_1＜y_2$.(4)当$m=3$时,$y=12x$.当$y=-12$时,$x=-1$;当$y=5$时,$x=\frac{5}{12}$.因为$-12＜y≤5$,所以$-1＜x≤\frac{5}{12}$.
解析
【分析】
(1) 求解m的值需紧扣正比例函数的定义：正比例函数形如$y=kx$（k为常数且$k≠0$），因此需要同时满足两个条件：x的系数不为0，常数项为0，据此列方程组求解即可。
(2) 先将(1)中求得的m代入原式得到具体的函数解析式，再把点的横坐标$x=-2$代入解析式，计算得到的y值即为n的值。
(3) 先判断正比例函数的比例系数k的正负，k＞0时y随x的增大而增大，k＜0时y随x的增大而减小；再比较两个点横坐标a和$a+1$的大小，结合增减性即可判断$y_1$和$y_2$的大小关系。
(4) 将函数解析式代入y的取值范围，得到关于x的一元一次不等式，解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
(1)
∵函数$y=(2m+6)x + m -3$是正比例函数
∴根据定义列方程组：$\begin{cases}2m+6≠0\\m-3=0\end{cases}$
解得$m=3$，代入验证$2×3+6=12≠0$，符合条件。
(2) 将$m=3$代入原函数，得解析式为$y=12x$
把$x=-2$代入$y=12x$，得$n=12×(-2)=-24$。
(3) 函数$y=12x$中$k=12＞0$，
∴y随x的增大而增大
∵$a ＜ a+1$，
∴$y_1 ＜ y_2$。
(4) 将$y=12x$代入$-12＜y≤5$，得：
$-12 ＜ 12x ≤ 5$
不等式三边同时除以12，不等号方向不变，解得：
$-1 ＜ x ≤ \frac{5}{12}$
【答案】
(1)$m=3$；(2)$-24$；(3)$y_1＜y_2$；(4)$-1＜x≤\frac{5}{12}$
【知识点】
正比例函数的定义，正比例函数的性质，一元一次不等式的解法
【点评】
本题围绕正比例函数核心知识点层层递进设置问题，从基础概念识别到性质应用，再到结合不等式求取值范围，全面考查了对正比例函数相关知识的掌握与应用能力，贴合基础阶段的考查要求。
【难度系数】
0.8
(1) 求解m的值需紧扣正比例函数的定义：正比例函数形如$y=kx$（k为常数且$k≠0$），因此需要同时满足两个条件：x的系数不为0，常数项为0，据此列方程组求解即可。
(2) 先将(1)中求得的m代入原式得到具体的函数解析式，再把点的横坐标$x=-2$代入解析式，计算得到的y值即为n的值。
(3) 先判断正比例函数的比例系数k的正负，k＞0时y随x的增大而增大，k＜0时y随x的增大而减小；再比较两个点横坐标a和$a+1$的大小，结合增减性即可判断$y_1$和$y_2$的大小关系。
(4) 将函数解析式代入y的取值范围，得到关于x的一元一次不等式，解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
(1)
∵函数$y=(2m+6)x + m -3$是正比例函数
∴根据定义列方程组：$\begin{cases}2m+6≠0\\m-3=0\end{cases}$
解得$m=3$，代入验证$2×3+6=12≠0$，符合条件。
(2) 将$m=3$代入原函数，得解析式为$y=12x$
把$x=-2$代入$y=12x$，得$n=12×(-2)=-24$。
(3) 函数$y=12x$中$k=12＞0$，
∴y随x的增大而增大
∵$a ＜ a+1$，
∴$y_1 ＜ y_2$。
(4) 将$y=12x$代入$-12＜y≤5$，得：
$-12 ＜ 12x ≤ 5$
不等式三边同时除以12，不等号方向不变，解得：
$-1 ＜ x ≤ \frac{5}{12}$
【答案】
(1)$m=3$；(2)$-24$；(3)$y_1＜y_2$；(4)$-1＜x≤\frac{5}{12}$
【知识点】
正比例函数的定义，正比例函数的性质，一元一次不等式的解法
【点评】
本题围绕正比例函数核心知识点层层递进设置问题，从基础概念识别到性质应用，再到结合不等式求取值范围，全面考查了对正比例函数相关知识的掌握与应用能力，贴合基础阶段的考查要求。
【难度系数】
0.8
16. 分类讨论 新理念 正比例函数 $y=-\frac{2}{3}x$ 的图象如图所示，点 H 的坐标为 (4,0)，函数 $y=-\frac{2}{3}x$ 的图象上是否存在一点 P，使三角形 POH 的面积为 5？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由。
答案
16.解:存在.因为点$H$的坐标为$(4,0)$,所以$OH=4$.设点$P$的坐标为$(m,-\frac{2}{3}m)$.因为三角形$POH$的面积为5,所以$\frac{1}{2}OH×|y_P|=5$,即$\frac{1}{2}×4×\left|-\frac{2}{3}m\right|=5$,解得$m=±\frac{15}{4}$.所以点$P$的坐标为$(\frac{15}{4},-\frac{5}{2})$或$(-\frac{15}{4},\frac{5}{2})$.
解析
【分析】
要判断是否存在符合条件的点P，可按以下思路推导：首先已知点H在x轴上，OH长度为4，可将OH作为△POH的底，此时三角形的高就是点P到x轴的距离，即点P纵坐标的绝对值。由于点P在正比例函数$y=-\frac{2}{3}x$上，因此可设P的坐标为$(m,-\frac{2}{3}m)$，代入三角形面积公式建立关于m的方程，若方程有解则存在对应点P，求解时注意绝对值方程会对应两种情况，不要漏解。
【解析】
解：存在满足条件的点P。
∵点H的坐标为$(4,0)$，
∴$OH=4$。
设点P的坐标为$(m,-\frac{2}{3}m)$，则△POH中OH边上的高为点P纵坐标的绝对值，即$\left|-\frac{2}{3}m\right|$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知$S_{△ POH}=5$，代入得：
$\frac{1}{2}×4×\left|-\frac{2}{3}m\right|=5$
化简得：$2×\frac{2}{3}|m|=5$，即$\frac{4}{3}|m|=5$，解得$|m|=\frac{15}{4}$，因此$m=\frac{15}{4}$或$m=-\frac{15}{4}$。
当$m=\frac{15}{4}$时，$y=-\frac{2}{3}×\frac{15}{4}=-\frac{5}{2}$；当$m=-\frac{15}{4}$时，$y=-\frac{2}{3}×(-\frac{15}{4})=\frac{5}{2}$。
【答案】
$(\frac{15}{4},-\frac{5}{2})$或$(-\frac{15}{4},\frac{5}{2})$
【知识点】
正比例函数的性质，三角形面积计算，绝对值方程求解
【点评】
本题是函数与几何的综合基础题，解题关键是将面积条件转化为关于点坐标的方程，求解时需注意点P可在x轴上方或下方，要考虑绝对值对应的两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要判断是否存在符合条件的点P，可按以下思路推导：首先已知点H在x轴上，OH长度为4，可将OH作为△POH的底，此时三角形的高就是点P到x轴的距离，即点P纵坐标的绝对值。由于点P在正比例函数$y=-\frac{2}{3}x$上，因此可设P的坐标为$(m,-\frac{2}{3}m)$，代入三角形面积公式建立关于m的方程，若方程有解则存在对应点P，求解时注意绝对值方程会对应两种情况，不要漏解。
【解析】
解：存在满足条件的点P。
∵点H的坐标为$(4,0)$，
∴$OH=4$。
设点P的坐标为$(m,-\frac{2}{3}m)$，则△POH中OH边上的高为点P纵坐标的绝对值，即$\left|-\frac{2}{3}m\right|$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知$S_{△ POH}=5$，代入得：
$\frac{1}{2}×4×\left|-\frac{2}{3}m\right|=5$
化简得：$2×\frac{2}{3}|m|=5$，即$\frac{4}{3}|m|=5$，解得$|m|=\frac{15}{4}$，因此$m=\frac{15}{4}$或$m=-\frac{15}{4}$。
当$m=\frac{15}{4}$时，$y=-\frac{2}{3}×\frac{15}{4}=-\frac{5}{2}$；当$m=-\frac{15}{4}$时，$y=-\frac{2}{3}×(-\frac{15}{4})=\frac{5}{2}$。
【答案】
$(\frac{15}{4},-\frac{5}{2})$或$(-\frac{15}{4},\frac{5}{2})$
【知识点】
正比例函数的性质，三角形面积计算，绝对值方程求解
【点评】
本题是函数与几何的综合基础题，解题关键是将面积条件转化为关于点坐标的方程，求解时需注意点P可在x轴上方或下方，要考虑绝对值对应的两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
