6. 新趋势·传统文化 在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均为1)中,根据“马走日”的规则,“马”应落在下列哪个位置,能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似？
（）


A.①处
B.②处
C.③处
D.④处

6 B “帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为$2,2\sqrt{5},4\sqrt{2}$，“车”与“炮”所在位置格点之间的距离为1，“炮”与“②”所在位置格点之间的距离为$\sqrt{5}$，“车”与“②”所在位置格点之间的距离为$2\sqrt{2}$.$\because \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$，$\therefore$“马”应该落在②处.

7. [2026合肥包河区期末]已知在$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$中,点$D,D_1$分别在边$BC,B_1C_1$上(点$D$不与点$B,C$重合,点$D_1$不与点$B_1,C_1$重合),$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BD}{B_1D_1}=\frac{AD}{A_1D_1}$.如果从下列条件中增添一个条件,那么一定可以判定$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$相似的是（）
①$AD,A_1D_1$分别是$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$的角平分线;
②$AD,A_1D_1$分别是$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$的中线;
③$AD,A_1D_1$分别是$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$的高.

A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③

7 A $\because \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BD}{B_1D_1}=\frac{AD}{A_1D_1}$,$\therefore △ ABD ∽ △ A_1B_1D_1$,$\therefore ∠ B = ∠ B_1$,$∠ BAD = ∠ B_1A_1D_1$. 当$AD$,$A_1D_1$分别是$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$的角平分线时,$∠ BAC = 2∠ BAD$,$∠ B_1A_1C_1 = 2∠ B_1A_1D_1$,$\therefore ∠ BAC = ∠ B_1A_1C_1$,$\therefore △ ABC ∽ △ A_1B_1C_1$,故①正确; 当$AD$,$A_1D_1$分别是$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$的中线时,$BC = 2BD$,$B_1C_1 = 2B_1D_1$,$\therefore \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{2BD}{2B_1D_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$, 而$∠ B = ∠ B_1$,$\therefore △ ABC ∽ △ A_1B_1C_1$,故②正确; 当$AD$,$A_1D_1$分别是$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$的高时,不能判定$△ ABC ∽ △ A_1B_1C_1$,所以③不正确. 综上,可知正确的是①②.

8. 教材P97 T2 变式 [2026合肥庐阳区期中] 一个钢筋三角架边长分别是20 cm,50 cm,60 cm,现在要做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边,有几种不同的截法？

8 解:由题意可知,只能以30 cm的钢筋为一边,把50 cm的钢筋截成两段,设截成的两段分别为$x$ cm,$y$ cm,其中$x ＜ y$.
由题意,得$\frac{x}{20}=\frac{30}{50}=\frac{y}{60}$①,或$\frac{x}{20}=\frac{y}{50}=\frac{30}{60}$②.
由①,得$x=12$,$y=36$,$12+36=48＜50$,符合题意;
由②,得$x=10$,$y=25$,$10+25＜50$,符合题意.
综上,共有2种不同的截法.

9. 推理能力 如图,在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中,$D,D'$分别是$AB,A'B'$上的一点,$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$.
(1) 当$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$时,求证:$△ ABC ∽ △ A'B'C'$.
证明的途径可以用下面的框图表示,请填写其中的空格.

(2) 当$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$时,判断$△ ABC$与$△ A'B'C'$是否相似,并说明理由.

9 解:
(1) $\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AD}{A'D'}$ $∠ A = ∠ A'$
(2) 相似. 理由如下:
如图,分别过点$D,D'$作$DE // BC$,$D'E' // B'C'$,$DE$交$AC$于点$E$,$D'E'$交$A'C'$于点$E'$.


$\because DE // BC$,$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$,
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$.
同理$\frac{A'D'}{A'B'}=\frac{D'E'}{B'C'}=\frac{A'E'}{A'C'}$.
又$\because \frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$,
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{D'E'}{B'C'}$,$\frac{AE}{AC}=\frac{A'E'}{A'C'}$,
$\therefore \frac{DE}{D'E'}=\frac{BC}{B'C'}$,$\frac{AC-AE}{AC}=\frac{A'C'-A'E'}{A'C'}$,
$\therefore \frac{EC}{AC}=\frac{E'C'}{A'C'}$,$\therefore \frac{EC}{E'C'}=\frac{AC}{A'C'}$.
又$\because \frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$,$\therefore \frac{CD}{C'D'}=\frac{EC}{E'C'}=\frac{DE}{D'E'}$,
$\therefore △ DCE ∽ △ D'C'E'$,$\therefore ∠ CED = ∠ C'E'D'$.
$\because DE // BC$,$\therefore ∠ CED + ∠ ACB = 180°$.
同理$∠ C'E'D' + ∠ A'C'B' = 180°$,
$\therefore ∠ ACB = ∠ A'C'B'$.
又$\because \frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$,$\therefore △ ABC ∽ △ A'B'C'$.