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1.「2026福建福州期中」如图,利用一面墙(墙的长度不超过30 m),用80 m长的篱笆围一个矩形场地,设矩形场地面积为$S\ \mathrm{m}^2$,AD的长为$x\ \mathrm{m}$.
(1)求出$S$与$x$之间的表达式,并写出$x$的取值范围.
(2)当AD和AB分别为多少米时,矩形的面积最大?最大面积是多少?
(1)求出$S$与$x$之间的表达式,并写出$x$的取值范围.
(2)当AD和AB分别为多少米时,矩形的面积最大?最大面积是多少?
答案
(1)
∵ 四边形ABCD是矩形,AD的长度为x m,
∴ AD=BC=x m.
∵ 篱笆的总长为80 m,
∴ AB=(80-2x)m,且0＜80-2x≤30,
∴ 25≤x＜40,S=x(80-2x)=-2x²+80x,
∴ S与x之间的函数表达式为S=-2x²+80x(25≤x＜40).
(2)由(1)得S=-2x²+80x=-2(x-20)²+800(25≤x＜40),
∵ -2＜0,
∴ 当x＞20时,S随x的增大而减小,
∴ 当x=25时,S取最大值,最大值为750,
此时AD=25 m,AB=30 m,
∴ 当AD=25 m,AB=30 m时,矩形的面积最大,最大面积为750 m².
∵ 四边形ABCD是矩形,AD的长度为x m,
∴ AD=BC=x m.
∵ 篱笆的总长为80 m,
∴ AB=(80-2x)m,且0＜80-2x≤30,
∴ 25≤x＜40,S=x(80-2x)=-2x²+80x,
∴ S与x之间的函数表达式为S=-2x²+80x(25≤x＜40).
(2)由(1)得S=-2x²+80x=-2(x-20)²+800(25≤x＜40),
∵ -2＜0,
∴ 当x＞20时,S随x的增大而减小,
∴ 当x=25时,S取最大值,最大值为750,
此时AD=25 m,AB=30 m,
∴ 当AD=25 m,AB=30 m时,矩形的面积最大,最大面积为750 m².
解析
【分析】
(1) 首先利用矩形对边相等的性质，由AD的长度为x m可得BC也为x m，结合篱笆总长为80 m，可表示出AB的长度；再根据墙的长度不超过30 m、矩形边长为正数两个限制条件列不等式，求出x的取值范围；最后根据矩形面积公式即可得到S与x的函数表达式。
(2) 先将二次函数解析式配方为顶点式，根据二次项系数的正负判断函数开口方向，再结合x的取值范围判断函数在该区间内的增减性，进而找到面积最大时对应的x值，代入计算即可得到最大面积和对应边长。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，AD的长度为x m，
∴AD=BC=x m，
∵篱笆的总长为80 m，
∴AB=(80-2x)m，
结合墙长限制可得：0＜80-2x≤30，
解得25≤x＜40，
根据矩形面积公式可得：S=x(80-2x)=-2x²+80x，
∴S与x之间的函数表达式为$S=-2x^2+80x(25≤x＜40)$。
(2) 将(1)中函数解析式配方得：
$S=-2x^2+80x=-2(x-20)^2+800(25≤x＜40)$，
∵二次项系数-2＜0，
∴该二次函数开口向下，当x＞20时，S随x的增大而减小，
∵x的取值范围25≤x＜40位于对称轴x=20的右侧，
∴当x=25时，S取得最大值，最大值为$-2×(25-20)^2+800=750$，
此时AD=25 m，AB=80-2×25=30 m。
【答案】
(1) $S=-2x^2+80x(25≤x＜40)$；
(2) 当AD为25 m，AB为30 m时，矩形的面积最大，最大面积是$750\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数的图象与性质，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数的实际应用问题，解题时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，求最值时不能直接套用顶点坐标，需根据函数在自变量取值区间内的增减性判断，易错点是忽略墙长的限制条件直接按顶点取最值。
【难度系数】
0.65
(1) 首先利用矩形对边相等的性质，由AD的长度为x m可得BC也为x m，结合篱笆总长为80 m，可表示出AB的长度；再根据墙的长度不超过30 m、矩形边长为正数两个限制条件列不等式，求出x的取值范围；最后根据矩形面积公式即可得到S与x的函数表达式。
(2) 先将二次函数解析式配方为顶点式，根据二次项系数的正负判断函数开口方向，再结合x的取值范围判断函数在该区间内的增减性，进而找到面积最大时对应的x值，代入计算即可得到最大面积和对应边长。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，AD的长度为x m，
∴AD=BC=x m，
∵篱笆的总长为80 m，
∴AB=(80-2x)m，
结合墙长限制可得：0＜80-2x≤30，
解得25≤x＜40，
根据矩形面积公式可得：S=x(80-2x)=-2x²+80x，
∴S与x之间的函数表达式为$S=-2x^2+80x(25≤x＜40)$。
(2) 将(1)中函数解析式配方得：
$S=-2x^2+80x=-2(x-20)^2+800(25≤x＜40)$，
∵二次项系数-2＜0，
∴该二次函数开口向下，当x＞20时，S随x的增大而减小，
∵x的取值范围25≤x＜40位于对称轴x=20的右侧，
∴当x=25时，S取得最大值，最大值为$-2×(25-20)^2+800=750$，
此时AD=25 m，AB=80-2×25=30 m。
【答案】
(1) $S=-2x^2+80x(25≤x＜40)$；
(2) 当AD为25 m，AB为30 m时，矩形的面积最大，最大面积是$750\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数的图象与性质，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数的实际应用问题，解题时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，求最值时不能直接套用顶点坐标，需根据函数在自变量取值区间内的增减性判断，易错点是忽略墙长的限制条件直接按顶点取最值。
【难度系数】
0.65
2.「2026安徽滁州天长期中」一家茶叶合作社计划用篱笆围成一个矩形茶叶加工区.加工区一面靠墙(墙的最大可用长度为18 m,此面不需要篱笆),在加工区中间有一道篱笆垂直于墙(用于分隔揉捻和干燥区域,厚度忽略不计),在平行于墙的边BC上开有两扇宽为1 m的门(门不用篱笆材料).现有的篱笆材料总长为34 m.设垂直于墙的边AB的长为x m(如图所示).
(1)设平行于墙的边BC的长为l m,求l关于x的函数表达式及自变量x的取值范围.
(2)设加工区面积为S m²,求S关于x的函数表达式,并求S的最大值及此时x的值.
(1)设平行于墙的边BC的长为l m,求l关于x的函数表达式及自变量x的取值范围.
(2)设加工区面积为S m²,求S关于x的函数表达式,并求S的最大值及此时x的值.
答案
(1)由题意得l=34-3x+2=-3x+36,
可知0＜-3x+36≤18,解得6≤x＜12,
即l=-3x+36(6≤x＜12).
(2)S=lx=(-3x+36)x=-3x²+36x=-3(x-6)²+108,
∵ -3＜0,
∴ 当x=6时,S取得最大值,最大值为108.
可知0＜-3x+36≤18,解得6≤x＜12,
即l=-3x+36(6≤x＜12).
(2)S=lx=(-3x+36)x=-3x²+36x=-3(x-6)²+108,
∵ -3＜0,
∴ 当x=6时,S取得最大值,最大值为108.
解析
【分析】
(1) 求解l与x的函数关系时，先明确篱笆构成：垂直于墙的篱笆共3段，每段长x m；平行于墙的篱笆需扣除2扇宽1m的门，所有篱笆总长34m，据此列等式整理即可得到l的表达式。再结合实际限制：BC的长度l需大于0，且不超过墙的最大可用长度18m，列不等式组求解即可得到x的取值范围。
(2) 矩形面积=长×宽，即S=AB·BC，将(1)中得到的l代入即可得到S关于x的函数式，将函数配方为顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量取值范围，即可求出S的最大值及对应的x值。
【解析】
(1) 由题意得，垂直于墙的篱笆总长度为3x m，平行于墙的篱笆需减去2扇门的总宽度2m，因此列等式：
$3x+(l-2)=34$
整理得：$l=34-3x+2=-3x+36$
结合实际限制，$0＜ l ≤18$，代入l的表达式得不等式组：
$\begin{cases}-3x+36＞0 \\ -3x+36≤18\end{cases}$
解得$6≤ x＜12$
即l关于x的函数表达式为$l=-3x+36(6≤ x＜12)$。
(2) 矩形加工区面积$S=l· x$，将$l=-3x+36$代入得：
$S=(-3x+36)x=-3x^2+36x$
配方得：$S=-3(x-6)^2+108$
$\because -3＜0$，二次函数图象开口向下，且$x=6$在自变量取值范围内，
$\therefore$当$x=6$时，S取得最大值，最大值为108。
【答案】
(1) $l=-3x+36(6≤ x＜12)$
(2) $S=-3x^2+36x$，S的最大值为$\boldsymbol{108}$，此时x的值为$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
1. 函数关系式建立
2. 二次函数最值求解
3. 实际问题自变量范围确定
【点评】
本题是二次函数实际应用的常规题型，解题关键是理清篱笆长度的构成，准确梳理数量关系列函数式，尤其要注意结合实际限制条件确定自变量范围，避免忽略实际约束直接求最值导致错误。
【难度系数】
0.6
(1) 求解l与x的函数关系时，先明确篱笆构成：垂直于墙的篱笆共3段，每段长x m；平行于墙的篱笆需扣除2扇宽1m的门，所有篱笆总长34m，据此列等式整理即可得到l的表达式。再结合实际限制：BC的长度l需大于0，且不超过墙的最大可用长度18m，列不等式组求解即可得到x的取值范围。
(2) 矩形面积=长×宽，即S=AB·BC，将(1)中得到的l代入即可得到S关于x的函数式，将函数配方为顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量取值范围，即可求出S的最大值及对应的x值。
【解析】
(1) 由题意得，垂直于墙的篱笆总长度为3x m，平行于墙的篱笆需减去2扇门的总宽度2m，因此列等式：
$3x+(l-2)=34$
整理得：$l=34-3x+2=-3x+36$
结合实际限制，$0＜ l ≤18$，代入l的表达式得不等式组：
$\begin{cases}-3x+36＞0 \\ -3x+36≤18\end{cases}$
解得$6≤ x＜12$
即l关于x的函数表达式为$l=-3x+36(6≤ x＜12)$。
(2) 矩形加工区面积$S=l· x$，将$l=-3x+36$代入得：
$S=(-3x+36)x=-3x^2+36x$
配方得：$S=-3(x-6)^2+108$
$\because -3＜0$，二次函数图象开口向下，且$x=6$在自变量取值范围内，
$\therefore$当$x=6$时，S取得最大值，最大值为108。
【答案】
(1) $l=-3x+36(6≤ x＜12)$
(2) $S=-3x^2+36x$，S的最大值为$\boldsymbol{108}$，此时x的值为$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
1. 函数关系式建立
2. 二次函数最值求解
3. 实际问题自变量范围确定
【点评】
本题是二次函数实际应用的常规题型，解题关键是理清篱笆长度的构成，准确梳理数量关系列函数式，尤其要注意结合实际限制条件确定自变量范围，避免忽略实际约束直接求最值导致错误。
【难度系数】
0.6
3.「2026福建厦门期中」某学校计划在一块足够大的场地上，利用已有的直角围墙建造一个矩形花圃，已知墙$AB=5\ \mathrm{m}$，$AC=10\ \mathrm{m}$.
(1)如图1，若矩形花圃使用的篱笆总长为$13\ \mathrm{m}$，花圃两边靠墙，其余两边用篱笆围成，围成的花圃面积为$30\ \mathrm{m}^2$，求这个花圃较短边的长度.
(2)如图2，若矩形花圃使用的篱笆总长为$29\ \mathrm{m}$，花圃的一边$AD$由墙$AB$和篱笆$BD$构成，另一边$AF$由墙$AC$和篱笆$CF$构成，其余两边$DE$，$EF$由剩下的篱笆围成.当篱笆$CF$的长为多少时，围成的花圃面积最大？求出最大面积，并说明理由.
(1)如图1，若矩形花圃使用的篱笆总长为$13\ \mathrm{m}$，花圃两边靠墙，其余两边用篱笆围成，围成的花圃面积为$30\ \mathrm{m}^2$，求这个花圃较短边的长度.
(2)如图2，若矩形花圃使用的篱笆总长为$29\ \mathrm{m}$，花圃的一边$AD$由墙$AB$和篱笆$BD$构成，另一边$AF$由墙$AC$和篱笆$CF$构成，其余两边$DE$，$EF$由剩下的篱笆围成.当篱笆$CF$的长为多少时，围成的花圃面积最大？求出最大面积，并说明理由.
答案
(1)设这个花圃较短边的长度为x m,
由题意得,x(13-x)=30,
整理,得x²-13x+30=0,
解得x₁=3,x₂=10(不合题意,舍去),
当x=3时,较长边的长度为13-3=10(m),符合题意,
故这个花圃较短边的长度为3 m.
(2)由题意知,矩形花圃的周长为29+AB+AC=29+5+10=44(m),
∴ AD+AF=$\frac{1}{2}$×44=22(m),
设篱笆CF的长为x m,则AF=(10+x)m,
∴ AD=22-AF=22-(10+x)=(12-x)m,
设花圃的面积为S m²,则S=(10+x)(12-x)=-x²+2x+120=-(x-1)²+121,
当x=1时,S取最大值,最大值为121,
即当篱笆CF的长为1 m时,围成的花圃面积最大,最大面积为121 m².
由题意得,x(13-x)=30,
整理,得x²-13x+30=0,
解得x₁=3,x₂=10(不合题意,舍去),
当x=3时,较长边的长度为13-3=10(m),符合题意,
故这个花圃较短边的长度为3 m.
(2)由题意知,矩形花圃的周长为29+AB+AC=29+5+10=44(m),
∴ AD+AF=$\frac{1}{2}$×44=22(m),
设篱笆CF的长为x m,则AF=(10+x)m,
∴ AD=22-AF=22-(10+x)=(12-x)m,
设花圃的面积为S m²,则S=(10+x)(12-x)=-x²+2x+120=-(x-1)²+121,
当x=1时,S取最大值,最大值为121,
即当篱笆CF的长为1 m时,围成的花圃面积最大,最大面积为121 m².
解析
【分析】
(1) 第一小问中，矩形花圃两边靠墙，剩余两边篱笆总长为13m，设较短边长为x m，则较长边为(13-x)m，根据矩形面积=长×宽列方程求解，最后结合墙的长度限制和“短边”的定义舍去不符合实际的解。
(2) 第二小问中，先推导矩形相邻两边的和：矩形总周长为篱笆总长加两段墙AB、AC的长度，因此相邻两边AD与AF的和为周长的一半；设CF长为x m，用含x的代数式分别表示AF和AD的长度，再列出面积关于x的二次函数表达式，配方为顶点式即可求出面积最大值及对应x的值。
【解析】
(1) 设这个花圃较短边的长度为x m，则较长边的长度为(13-x)m，
由题意得：$x(13-x)=30$，
整理得：$x^2-13x+30=0$，
解得：$x_1=3$，$x_2=10$，
当x=10时，较长边为$13-10=3\ \mathrm{m}$，与“x是较短边”的设定矛盾，故舍去$x_2=10$，
当x=3时，较长边长度为$13-3=10\ \mathrm{m}$，与墙AC长度一致，符合题意。
(2) 由题意可知，矩形花圃的总周长为篱笆总长加两段墙的长度，即$29+AB+AC=29+5+10=44\ \mathrm{m}$，
∴矩形相邻两边的和$AD+AF=\frac{1}{2}×44=22\ \mathrm{m}$，
设篱笆CF的长为x m，则$AF=AC+CF=(10+x)\ \mathrm{m}$，
∴$AD=22-AF=22-(10+x)=(12-x)\ \mathrm{m}$，
设花圃的面积为S $\mathrm{m}^2$，则：
$\begin{aligned}S&=(10+x)(12-x)\\&=-x^2+2x+120\\&=-(x-1)^2+121\end{aligned}$
∵二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=1$时，S取得最大值，最大值为$121\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 这个花圃较短边的长度为$\boldsymbol{3\ \mathrm{m}}$；
(2) 当篱笆CF的长为$\boldsymbol{1\ \mathrm{m}}$时，围成的花圃面积最大，最大面积为$\boldsymbol{121\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题结合实际围建场景考查方程与函数的应用，解题时需注意结合实际限制条件验证解的合理性，求二次函数最值时熟练运用配方法将一般式转化为顶点式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 第一小问中，矩形花圃两边靠墙，剩余两边篱笆总长为13m，设较短边长为x m，则较长边为(13-x)m，根据矩形面积=长×宽列方程求解，最后结合墙的长度限制和“短边”的定义舍去不符合实际的解。
(2) 第二小问中，先推导矩形相邻两边的和：矩形总周长为篱笆总长加两段墙AB、AC的长度，因此相邻两边AD与AF的和为周长的一半；设CF长为x m，用含x的代数式分别表示AF和AD的长度，再列出面积关于x的二次函数表达式，配方为顶点式即可求出面积最大值及对应x的值。
【解析】
(1) 设这个花圃较短边的长度为x m，则较长边的长度为(13-x)m，
由题意得：$x(13-x)=30$，
整理得：$x^2-13x+30=0$，
解得：$x_1=3$，$x_2=10$，
当x=10时，较长边为$13-10=3\ \mathrm{m}$，与“x是较短边”的设定矛盾，故舍去$x_2=10$，
当x=3时，较长边长度为$13-3=10\ \mathrm{m}$，与墙AC长度一致，符合题意。
(2) 由题意可知，矩形花圃的总周长为篱笆总长加两段墙的长度，即$29+AB+AC=29+5+10=44\ \mathrm{m}$，
∴矩形相邻两边的和$AD+AF=\frac{1}{2}×44=22\ \mathrm{m}$，
设篱笆CF的长为x m，则$AF=AC+CF=(10+x)\ \mathrm{m}$，
∴$AD=22-AF=22-(10+x)=(12-x)\ \mathrm{m}$，
设花圃的面积为S $\mathrm{m}^2$，则：
$\begin{aligned}S&=(10+x)(12-x)\\&=-x^2+2x+120\\&=-(x-1)^2+121\end{aligned}$
∵二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=1$时，S取得最大值，最大值为$121\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 这个花圃较短边的长度为$\boldsymbol{3\ \mathrm{m}}$；
(2) 当篱笆CF的长为$\boldsymbol{1\ \mathrm{m}}$时，围成的花圃面积最大，最大面积为$\boldsymbol{121\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题结合实际围建场景考查方程与函数的应用，解题时需注意结合实际限制条件验证解的合理性，求二次函数最值时熟练运用配方法将一般式转化为顶点式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
